Excerpt
Išmatuojamų aibių savybės 109 Antra vertus, iš 4 ir 2 teoremų turime, kad kiekvienam m n n X m A,=M 2 A, 90 t. y. 0 m 3 A„=lim m A,, Ii kai seka yra monotoniškai didėjanti (ir aibių sekos riba yra aprėžta), i m r ru m A,, k=l L kai ji — mažėjanti. …
Excerpt
Dar apie vidinį ir išorinį matą 111 Įrodymas. Naudodamiesi išorinio mato apibrėžimu, galime rasti baigtinę arba suskaičiuojamą sistemą intervalų (7,) su savybėmis: SP I,, mA> S ml; — > . k k Praplėskime kiekvieną intervalą /;, jei jis nėra atviras, iki …
Excerpt
112 Aibių matas Pažymėję B = pa F. , k turime, kad BcCA. Iš 4.2 teoremos gauname: mAzZmB. Aibės F, kas dvi neturi bendrų taškų, tai, pritaikius 6.4 bei 6.6 teoremas, gauname: mA> S mF> S m Ap -z. k k Kadangi = yra bet koks, tai iš čia išplaukia reikiama …
Excerpt
114 Aibių matas Suskaičiuojamos sistemos atvirų aibių piūvis gali ir nebūti atvira aibė. Aibė vadinama G; tipo aibe, jei ji yra suskaičiuojamos sistemos atvirų aibių piūvis. Visos atviros aibės yra G5 tipo aibės. Visos G; tipo aibės yra išmatuo- jamos. Sį …
Excerpt
— Išmatuojamos ir neišmatuojamos aibės 115 Tačiau, nors visų išmatuojamų aibių sistemos ir visų aibių sistemos yra ekvivalenčios, egzistuoja aibės, neišmatuojamos Lebego prasme. 2 teorema. Egzistuoja neišmatuojamos aibės. Įrodymas. Suskirstykime segmento …
Excerpt
116 Aibių matas Vadinasi, x 0. Kadangi x+ …
Excerpt
Mato problema LL funkcijos 4, kuri būtų nusakyta visoms erdvės R* taškų aibėms ir būtų il- gio, ploto, tūrio apibendrinimas. Kokias sąlygas turėtų tenkinti ta funkcija? Pirma, ji turėtų būti neneigiama, 4 > 0. Antra, ji turėtų būti adityvinė: jei …
Excerpt
118 Aibių matas Lebego matas, nors jis egzistuoja ir ne visoms aibėms, šiandien yra visų bendrai priimtas. 12. Lebego— Styltjeso matas Lebego matą naudinga apibendrinti, atsisakant reikalavimo, kad viene- tinio segmento matas būtų lygus 1 ir kad matas …
Excerpt
120 Aibių matas 1) u4> 0 visoms AeL; 2) jei A,, A;,... yra sistemos L aibių seka ir kas dvi aibės neturi bendrų elementų, tai L > AB L Ar k=1 k=l (pilnasis adityvumas). Šitaip nusakytą aibės funkciją A vadiname matu. Trivialiai įrodoma,kad ir šiuo atveju …
Excerpt
Funkcija, jos rėžiai ir svyravimas 123 vadiname jos reikšmių aibės viršutinį (apatinį) rėžį. Aprėžtos iš viršaus funk- cijos viršutinis rėžis yra baigtinis; jei funkcija nėra aprėžta iš viršaus, tai jos viršutinis rėžis yra oo. Analogiškai, funkcijos …
Excerpt
124 ; Funkcijos ir M,> zM,.> z M, > Abi šios sekos turės baigtines arba begalines ribas 2 ir M. Parodysime, kad ribos nepriklauso nuo (1) sekos parinkimo. Sakykime, turime dar vieną seg- mentų seką Iž > Iž > Iž > ..., susitraukiančią į tašką x;. Imkime, …
Excerpt
126 Funkcijos Jei tolydumą Košy, Heinės ir Bero prasmėmis žymėsime atitinkamai C, H, B, tai mūsų teorema seks iš įrodytų teiginių ir schemos C—-H R K B Remdamiesi šia teorema, galime kalbėti tiesiog apie funkcijos f(x) toly- dumą taške x,, apibrėžiant jį …
Excerpt
128 Funkcijos f(x) yra tolydinė taške x;, todėl seka f 7 (x); konverguos į f (x,). Antra ver- tus, iš (1) turime, kad f (*,)> a > todėl f(x,)=a. Viršutinio rėžio atveju teorema įrodoma analogiškai. Teoremos sąlygos, kad aibė F'yra uždara ir aprėžta, yra …
Excerpt
Tolygus tolydumas 129 4. Tolygus tolydumas Jei funkcija / (x) yra apibrėžta ir tolydinė aibėje A, tai pagal apibrėžimą kiekvienam 0 ir kiekvienam x 0, kad visiems yeA, kurių atstumas nuo x mažesnis už O, teisinga nelygybė 70) - 7 6) | 0, kad visiems x€4 …
Excerpt
Trūkio kraštai 131 pinami: f (—0), f (--0). Jei į kairę nuo x, nėra aibės A taškų, tai laikoma, kad vis tiek funkcijos 7 (x) riba taške x, iš kairės f (x4—0) egzistuoja ir lygi J (Xo)- Analogiškai, jei į dešinę nuo x, nėra aibės A taškų, tai laikome, kad …
Excerpt
132 Funkcijos Trūkio taškai, kurie nėra pirmosios rūšies trūkio taškai, vadinami antro- sios rūšies trūkio taškais. Si terminologija nėra visų priimta. Kai kurie auto- riai prie antrosios rūšies trūkio taškų priskiria ir tuos pirmosios rūšies trūkio …
Excerpt
1 Monotoniškos funkcijos 133 y Y X 0 X 1 28 a 11 brėž. 12 brėž. 5. Dirichlė funkcija 1ž jei x racionalinis, T0)= Pa MO 0, jei x iracionalinis, kiekviename taške turi antrosios rūšies trūkio tašką. 6. Rymano funkcija f (x)= O, kai x yra iracionalinis …
Excerpt
4 Monotoniškos funkcijos 135 Įrodymas. Imkime skaičius y, 74, ---, V,„ nusakytus šitaip: Vo- 3, Ar 0. Tada iš lemos nelygybės gauname, kad . ns „ Tada E=E + E,+E, as i Pagal lemos išvadą kiekviena iš aibių E, yra baigtinė, todėl E yra arba baigtinė, arba …
Excerpt
136 Funkcijos Čia 4 s)= X U4+0)—/(4—0)1+7(x)-/ (x—0), Xk …
Excerpt
138 L Funkcijos T) -f(0)| < Va/ 6) | c; čia c — teigiama konstanta. Įrodymas. 1. Kadangi D, 6) + (1-1) + 8 (41) 1 < k=l < X. V) —-f 04) + X Ig) ga) I < VE/+Vėg, k=l k=l tai Vė(f+8) < VEf1Vėg. 2. Analogiškai įrodome, kad Va(/—g) < Vš/+ Vl g. 3. Remiantis 2 …