Excerpt
* Išmatuojamų funkcijų struktūra 181 skirtingų tik vienos iš aibių P, nes jei būtų kelių aibių be galo daug elementų, tai x, būtų visų tų aibių ribinis taškas ir dėl jų uždarumo turėtų visoms joms priklausyti. To būti negali, nes aibės F, kas dvi neturi …
Excerpt
182 Išmatuojamos funkcijos Įvertinsime aibės F matą. Turime: m(A-F)=m(A-B)+m(B-F) 9. m Bai — psi MB — pri š k=l Todėl m(B-F) < = 1T ; e £ Teorema įrodyta, kai mA < oo. 2. Tarkime dabar, kad aibės A matas yra begalinis. Pažymėkime I, seg- mentą, sudarytą …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų struktūra 183 To būti negali, nes aibės F., kas dvi neturi bendrų taškų. Taigi kokia bebūtų seka (x,x|, visi jos taškai su pakankamai dideliais indeksais priklauso vienai "iš tų aibių, sakykime F. Todėl xeF,, taigi xeF. Toliau, mF= Y …
Excerpt
""7T* 184 , Išmatuojamos funkcijos 3 lema. Sakykime, F, ir F, — dvi uždaros aibės erdvėje RS, neturinčios bendrų taškų, a ir b — du realieji skaičiai, …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų struktūra 185 Tęsdami šį procesą neaprėžtai, gausime seką tolydinių erdvėje RS funkci- jų Vo (A), Vi (A), V> (X), ... ir seką tolydinių aibėje F funkcijų g, (> ), 1 (A), 95 (X), | 9n+1 0)=9, (X) —-V, (2). (1) Jei 4,=SUp |9, (7)! > yeF …
Excerpt
Lždaviniai 187 Daugelis išmatuojamų Lebego prasme funkcijų savybių, kurias įrodėme ankstesniuose paragrafuose, buvo pagrįstos tik ta išmatuojamų Lebego prasme aibių savybe, kad visos jos sudaro c-algebrą. Visos tokios teoremos lieka tei- singos ir bendru …
Excerpt
188 Išmatuojamos funkcijos | ciją f (x), o funkcijų seka (g, (x) Į konverguoja pagal matą į funkciją g (2). Įrodykite, kad tada funkcijų sekos (c56)), £(|10)13, (fr O)+22 00 L (frb)zdl x)) konverguoja pagal matą atitinkamai į funkcijas cf (+), | f) |, …
Excerpt
VII skyrius LEBEGO INTEGRALAS 1. Rymano integralas O. Košy pasiūlė klasikinį integralo apibrėžimą ir įrodė jo egzistavimą tolydinėms funkcijoms. B. Rymanas praplėtė šį apibrėžimą ir ištyrė funkci- jų integruojamumo sąlygas. Matematinės analizės kursuose …
Excerpt
190 Lebego integralas Integruojamumo sąlygomis tirti dažnai įvedamos paprastesnės vadina- mosios Darbu! sumos. Jų idėja paprasta. Tiriamą funkciją f (x) aproksimuo- jame laiptuotomis funkcijomis, o jos integralinę sumą — tų laiptuotų funk- cijų …
Excerpt
Rymano integralas 191 Jei vietoj vieno taško pridėtume kelis naujus suskaidymo taškus, tai analogiš- kai įsitikintume, kad ir tada suma s; gali tik padidėti. Analogiškai įrodome, kad S, gali tik sumažėti. 4. Bet kuriems segmento [a, 5] suskaidymams T, ir …
Excerpt
192 ; Lebego integralas 1 teorema. Aprėžia funkcija f (x), apibrėžta segmente [a, bl, yra integruo- jama Rymano prasme tada ir tik tada, kai jos apatinis ir viršutinis Darbu integralai sutampa. Tuo atveju b I=I= | f(4) dx. Įrodymas. Būtinumas. Tarkime, …
Excerpt
"B Rymano integralas 193 2 teorema. Aprėžta funkcija f (x), apibrėžta segmente [a, b], yra integruo- jama Rymano prasme tada ir tik tada, kai suma Ž Ok (Xk — Xk-1); k kur sumuojama pagal visus suskaidymo segmentus [Xp 1, Xyl, 0 o;= M; — Mg yra funkcijos f …
Excerpt
194 Lebego integralas Suskaidykime segmentą [a, 5] į segmentus [xp-;, X] (k=1, -.., n) ir sudarykime sumą n > Ox (Xx — Xk-i) (1) k=l kur «į yra funkcijos f(x) svyravimas segmente [Xx-1, X;|. Iš šios sumos atmeskime tuos dėmenis, kuriuos atitinką segmentai …
Excerpt
196 Lebego integralas galima laikyti kiek norima mažu, nes 1 gali būti kiek norima didelis. Todėl taške x' funkcijos f (x) svyravimas yra > o „ Vadinasi, x'eF.. Iš čia ir išplaukia, jog DcF.. Iš (6) gauname: £ mF.zmD iM ž Kadangi 2 Žž F p-! tai E> F. ir, …
Excerpt
Išorinis ir vidinis matai 99 Iš išorinio mato apibrėžimo išplaukia, jog kiekvienam => 0 galime rasti baigtinę arba suskaičiuojamą intervalų sistemą (/,), padengiančią aibę I— A ir turinčią savybę 2. mI; /;— A 0= L I Tadėl m(I—A) < > mIy lų, m(I-I) < > mk …
Excerpt
100 Aibių matas kur 7 — bet koks padengiantis aibę A intervalas. Iš lemos turime, kad mA nepriklauso nuo intervalo I parinkimo. Be to, iš vidinio mato apibrėžimo iš- plaukia lygybė mA+m(I-A)=mI. Jei A — elementarinė aibė, priklausanti intervalui I, tai J— …
Excerpt
MA Išmatuojamos aibės į 101 Sakykime, / yra koks nors padengiąs aibę A intervalas. Iš vidinio mato apibrėžimo turime, jog aibė A yra išmatuojama tada ir tik tada, kai mI-—m(I-—- A)=m A, t. y. mA+m(I-— A)=m I. Iš čia matome, kad aibės Air /— A abi kartu …
Excerpt
102 Aibių matas Tuo būdu, remiantis 4.3 teorema, m;A …
Excerpt
N Išmatuojamos aibės 103 Iš čia ir iš (1) išplaukia: |mA-mE+m(I-A)-m(I- E)| …
Excerpt
"mr 104 Aibių matas“ (4) nelygybė teisinga abiem atvejais: ir kai sistema (/,| yra baigtinė, ir kai ji begalinė. Parodysime, kad E yra ieškomoji aibė. Pastebėsime, kad aibė S k> n padengia aibę 4— E, o aibė GEB I — aibę £— 4. Todėl AAECB+C ir pagal 4.1 …
Excerpt
106 Aibių matas 4 teorema. Jei išmatuojamos aibės A,, ..., A, kas dvi neturi bendrų elemen- tų, tai m o A m Ap. k=1 k=l Įrodymas. Ir šią teoremą įrodysime tik dviem aibėms. Bendrą atvejį iš čia gausime matematinės indukcijos metodu. Paėmę bet kokį => 0 ir …
Excerpt
Išmatuojamų aibių savybės 107 Iš abiejų pastarųjų nelygybių pagaliau turime, kad mA=mA,-+-mA,. Išvada. Jei aibės A ir B yra išmatuojamos ir ACB, tai m(B- A)=mB-mA. Įrodymas. Kadangi B= 4+(B- A)ir aibės A, B- A neturi bendrų elemen- tų, tai mB=mA+m (B- A). …
Excerpt
108 Aibių matas Kadangi aibė B= V Aš 1 TM yra išmatuojama, tai, pritaikius 5.1 teoremą, galime rasti tokią elementarinę aibę E, kad m(BAE) n todėl iš (1) ir (2), remiantis 4.1 teorema, turime: m (ANE) m Ar k=l (kai suma yra aprėžta aibė). Nusakyta šioje …