Excerpt
Uždaviniai 149 28. Jei funkcija tenkina « eilės Lipšico sąlygą, tai ji tenkina ir 8 eilės Lipšico są- lygą; čia O0 …
Excerpt
Kreivės sąvoka. Žordano kreivės 151 13 brėž. 14 brėž. Žordanas įrodė, kad uždara Žordano kreivė be kartotinių taškų dalija plokštumą į dvi dalis. Du taškus, priklausančius vienai daliai galima sujungti laužte, neperkertančia kreivės, o skirtingų dalių …
Excerpt
152 Kreivės Kadangi šią eilutę mažoruoja neaprėžtai mažėjanti progresija = 1 "2 2.4k > k=0 tai eilutė konverguoja tolygiai, jos suma f (x) yra tolydinė funkcija. Jos apytikrį vaizdą galima susidaryti iš 16 brėžinio, kur nubrėžti grafikai funkcijų . …
Excerpt
Kreivės sąvoka. Žordano kreivės 153 Jei k> n, tai < 4kx, > = < 46 > , nes 4—7-1 yra periodo 4-* kartotinis. Panagri- nėsime atvejį k yra tiesės atkarpa segmente /, ir jos kam- pinis koeficientas yra lygus + 1. Tokia ji yra ir segmente I„ 00, šis reiškinys …
Excerpt
154 Kreivės kraštinės ilgis 2—". Tuo būdu, didėjant rango numeriui, segmentų ir kvadratų kraštinės neaprėžtai mažėja. Kiekvienam n-jo rango segmentui priskirkime n-jo rango kvadratą su tuo pačiu numeriu. Remiantis šia atitinkamybe, galime kiekvienam …
Excerpt
156 Kreivės riboje vadinamąjį Sierpinskio „kilimą“. Ši aibė yra Kantoro linija. Iš tikrų- jų, Sierpinskio „kilimas“ yra monotoniškai mažėjančios kontinumų sekos piūvis, todėl pagal II sk. 13.7 teoremą jis yra kontinumas. Antra vertus, ši aibė neturi …
Excerpt
Kantoro ir Urisono kreivės 157 Abipus vienareikšmis ir abipus tolydinis aibės A atvaizdavimas į aibę Y yra vadinamas topologišku, jei atvirkštinis atvaizdavimas f“! yra tolydinis. Dvi aibės vadinamos Komeomorfinėmis, jei vieną iš jų galima topologiškai …
Excerpt
Ištiesinamos kreivės 159 S. Todėl laužčių ilgis LZ negalėtų konverguoti į S. Vadinasi, visoms įbrėžtoms laužtėms L 0) egzistuoja tokia laužtė, jog jos ilgis yra didesnis už S— 0 egzistuoja toks segmento [a,b] suskaidymas taškais al 10 0 02 (2) kad tą …
Excerpt
160 Kreivės 2 teorema. (1) kreivė yra ištiesinama tada ir tik tada, kai funkcijos x (t) ir y(t) turi baigtine variaciją segmente [a, bl. Įrodymas. Jei (1) kreivė yra ištiesinama, tai kiekvieną suskaidymą Hilis S atitinkančios laužtės ilgis L- 3 V(xtd-x …
Excerpt
Uždaviniai 161 dara aibė erdvėje RK. Įrodykite taip pat, kad kiekvienos atviros aibės G < R! pirmavaiz- dis f! (G) yra atvira aibė erdvėje R“. 4. Sakykime, turime erdvės R“ atvaizdavimą į plokštumą R*. Jei visų atvirų skritulių pirmavaizdžiai yra atviros …
Excerpt
VI skyrius IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS 1. Netiesioginiai skaičiai Klasikinėje matematinėje analizėje funkcijų reikšmės paprastai būna tik baigtiniai skaičiai. Dabar teks nagrinėti klasę funkcijų, kurios galės įgy- ti ir be galo dideles reikšmes: + co (žymėsime …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų sąvoka ir paprasčiausios savybės 163 0 p Ša a kad simboliai o0— 00, (—0)-(—- 0), 04+(-0), —0+00, Ža io - t g. Neturi prasmės. 2. Išmatuojamų funkcijų sąvoka ir paprasčiausios savybės Klasikinėje matematinėje analizėje paprastai …
Excerpt
164 Išmatuojamos iunkcijos 22 brėžinys iliustruoja aibę (x: f(x) …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų sąvoka ir paprasčiausios savybės 165 2 teorema. Kiekviena funkcija, apibrėžta nulinio mato aibėje, yra išma- tuojama. Įrodymas. Kiekvienas tokios aibės poaibis yra išmatuojamas. 3 teorema. Jei funkcija f(x) yra išmatuojama aibėje A, …
Excerpt
166 Išmatuojamos funkcijos 6 teorema. Jei išmatuojamoje aibėje funkcija įgyja tik vieną reikšmę (ku- ri gali būti ir + 00), tai ji yra išmatuojama toje aibėje. Įrodymas. Tarkime, kad f(x)=c aibėje A. Turime: Jei d 6 utosą-|+ Iš čia išplaukia teorema. Iš …
Excerpt
Išmatuojamų funkcijų algebriniai veiksmai 167 4. Kadangi 86, jei a I kai 20) Į Ls …
Excerpt
i Išmatuojamų iunkcijų riba. Paprastosios funkcijos 171 "teisingų pagal 1 lemą, arba betarpiškai iš lygybių (x: lim 7, (x) …
Excerpt
š *" Konvergavimas beveik visur ir pagal matą 173 9. Sakykime, f(x) — bet kokia išmatuojama funkcija. Įveskime dvi funkcijas E | [1 ji f(x)> 0, IBO E 0 0, jei f(x)> 0, m (6) ŠA IS Gr B O Šios funkcijos yra išmatuojamos ir neneigiamos, be. to, J0)=f* 6)-f“ …
Excerpt
I 7442 Išmatuojamos funkcijos Jei f(x) ir g (x) kuriame nors taške turi vienodo ženklo be galo dideles reikš- mes, tai f(x)—g (x) neturi prasmės. Todėl šie taškai, griežtai- kalbant, ne- priklausytų nė vienai iš tų aibių. Patogumo sumetimais susitarsime …
Excerpt
Konvergavimas beveik visur ir pagal matą 175 Aibė As yra, aišku, išmatuojama. Iš lygybės A-A;=A- IE Am Ž (4— A) 7 n=! gauname a m(A-A;) < 3. m(A- A? p). (2) n=l Pastebėsime, kad m (A— A")=0. Iš tikrųjų, jei x;€4— A", t. y. xgĖA", tai X„£4z visiems …
Excerpt
178 Išmatuojamos funkcijos Kadangi seka (/, (x); konverguoja į f(x) pagal matą, tai mūsų nelygybės dešinė pusė konverguoja į 0, kai 17—00. Iš čia gauname, kad mix : |, ()-8 6) |> -)—0, taigi (/, (x)) konverguoja pagal matą į g (x). „ Tarkime dabar, kad …