Excerpt
20 Žž Bendroji aibių teorija Kai reikia atlikti su aibėmis keletą įvairių veiksmų, tai susitarsime tuos veiksmus atlikti ta pačia tvarka, kaip ir analogiškus veiksmus su skaičiais. Lygiai tą pačią reikšmę turės ir skliaustai. 3. Aibių sumai ir piūviui …
Excerpt
22 Bendroji aibių teorija Šios lygybės gaunamos viena iš kitos, pakeitus sumą piūviu, o piūvį — suma. Abiejų šių lygybių įrodymas yra visiškai panašus. Todėl įrodysime tik pirmąją lygybę, palikdami antrąją įrodyti pačiam skaitytojui. Pažymėkime P=-A-Y B, …
Excerpt
Aibių veiksmai Oo žymima Ax B. Dažnai taip apibrėžta aibių sandauga vadinama Dekarto! arba kombinatorine sandauga. Pavyzdžiai. 1. Jei A=ia, b, cl, B= (c, d), tai Ax B= ((a, 0, (a, d), (b, c), (b, d), (c, e). (c, d)). Jei A turi 21 elementų, 0 B — 7 …
Excerpt
26 Bendroji aibių teorija 5. Imkime visas aibes, sudarytas iš baigtinio skaičiaus baigtinių intervalų tiesėje, už- darų iš kairės, atvirų iš dešinės, t.y. aibes pavidalo ž [ap, bp) . k=i Visų tokių aibių sistema yra žiedas. Aibė V yra vadinama sistemos S …
Excerpt
Aibių sistemos T yra žiedas. Pačmę bet kurį žiedą R*, kuriam priklauso S, turime, kad piūvis R*TeU, taigi Se POR*EGIR?: Vadinasi, P ir yra ieškomas žiedas R (S). Jo vienatinumas tiesiogiai išplaukia iš teoremos sąlygų, nes jei turėtume du tokius žiedus R; …
Excerpt
28 Bendroji aibių teorija Aibių žiedas R yra vadinamas 6-žiedu, jei jis yra uždaras aibių sekų sumos atžvilgiu, t. y. jei A,eR (k=1, 2, ...), tai ir Ms Ars R. . k=l Anksčiau nurodytų 1, 2, 3 pavyzdžių žiedai yra ir c-žiedai. Žiedas, suda- rytas iš …
Excerpt
Aibių atvaizdavimas 99 Tarkime, kad tarp kurios nors aibės elementų įvesta atitinkamybė a —b, be to, kiekvienam elementų dvejetui a, b arba ab, arba ab (a ne —b). Sakykime, toji atitinkamybė bet kuriems aibės elementams a, b, c tenkina sąlygas: 1) a=a …
Excerpt
22 Bendroji aibių teorija Antrąjį būdą galime pritaikyti ir begalinėms aibėms palyginti. Pirmasis būdas čia netinka. Tuo tikslu įvesime tokį apibrėžimą. Dvi aibes vadinsime ekvivalenčiomis, arba vienodos galios, jei tarp jų galima nustatyti abipus …
Excerpt
Suskaičiuojamos aibės 33 Įrodymas. Iš aibių 4, ir B, ekvivalentumo išplaukia, jog tarp jų egzis- tuoja abipus vienareikšmė atitinkamybė Ę,. Reikia parodyti, kad tarp sumų šu 2 Ar ir S,= ) B, k=l k= galima nustatyti abipus vienareikšmę atitinkamybę. Ją …
Excerpt
34 Bendroji aibių teorija 2. Suskaičiuojama yra visų lyginių skaičių aibė 124108, 3. Suskaičiuojama ir aibė LDB 1 teorema. Iš kiekvienos begalinės aibės galima išskirti suskaičiuojamą poaibį. Įrodymas. Sakykime, turime begalinę aibę A. Imkime kurį nors …
Excerpt
Suskaičiuojamos aibės 35 Pradžioje imame elementus, kurių abiejų indeksų suma yra 2, po to tuos, kurių indeksų suma yra 3, toliau — suma 4, suma Sir t. t. Iš pasikartojančių elementų imsime tik po vieną elementą. Tuo būdu išsemsime visų aibių visus …
Excerpt
36 2 Bendroji aibių teorija Ji bus suskaičiuojama. Ir t. t. Tuo būdu, sandauga A, x 4, bus suskaičiuoja- mos sistemos suskaičiuojamų aibių suma A,x45= S (lai by), (a5,b;), (as, bp), k=! Remiantis 3 teorema, ji bus suskaičiuojama. Tarkime, kad teorema …
Excerpt
Keontinumo galios aibės o Įrodymas. Sakykime, P, yra aibė n-jo laipsnio polinomų su sveikais koefi- cientais ax a 11... Tax as, a, 0. Aišku, kad ši aibė yra ekvivalenti aibei (S-(0)xSx ... XS, ——— n dauginamųjų kur S yra visų sveikųjų skaičių aibė. …
Excerpt
Kontinumo galios aibės 39 bendras galas, dešinysis pirmojo ir kairysis antrojo. Jis bus taip pat dešinysis galas segmento Ap.j jp „i, y ir kairysis — segmento Aj; aaa AE šinysis Aj, į, go „igyr IT kairysis segmento Ais ja sig pik 00 ir t. t. Šiuo at- vėju …
Excerpt
40 Bendroji aibių teorija jai aibei 4, priskirkime visas trupmenas, kurios baigiasi vien tik skaitmenimis y, išskyrus trupmeną O, yyy -.. Aibė A, yra suskaičiuojama, nes visų skaičių pavidalo mg- aibė yra suskai- čiuojama. Tarp segmento [0, 1] skaičių ir …
Excerpt
Kontinumo galios aibės 2 4] jama. Kadangi aibė 4—B, yra begalinė, tai pagal 2 teoremą A—B, —(A—B,)+ +B,= 4. Iš šios teoremos ir iš 8.1 teoremos turime, kad kiekviena begalinė aibė turi jai ekvivalentų tikrinį poaibį. Baigtinės aibės šios savybės neturi, …
Excerpt
42 Bendroji aibių teorija nepalyginamai daugiau, negu algebrinių skaičių: visi realieji skaičiai, išskyrus suskaičiuojamą aibę, yra transcendentiniai. Nors beveik visi skaičiai yra transcendentiniai, bet įrodymas, kad kuris nors konkretus skaičius yra …
Excerpt
. Kontinumo galios aibės 48 Teorema įrodyta. Iš šios teoremos lengva gauti dar vieną įrodymą, kad visų realiųjų skai- čių aibė turi kontinumo galią. Iš tikrųjų, ši aibė yra suskaičiuojamos siste- mos kontinumo galios aibių suma [0, 1)+[-1, 0)+[1, 2)+[-2, …
Excerpt
44 Bendroji aibių teorija Pagal apibrėžimą sandauga A,x A;x A5;x ... yra sudaryta iš sekų (a,, a;, as, ...), kur a;, a5, a5, ... nepriklausomai vienas nuo kito perbėga atitinka- mų aibių A,, A;, A5, ... elementus. Sekos fa;,, a;, a;, ...V elementą a, pa- …
Excerpt
Kardinaliniai skaičiai . 45 9 teorema. Kontinumo galios aibių Aj, As, A5, , X3, ...) galime priskirti sveikų teigiamų skaičių seką m (X), m (X5), ma (X), mp (X5), mp (X> ), m5 (x1), m (Aa), m5 (X5), Mm5 (xa), Mi (Aa), --- Čia pradžioje imame narius, kurių …
Excerpt
46 Bendroji aibių teorija 2) « a, jei A nėra ekvivalenti B, bet yra ekvivalenti kuriam nors aibės B poaibiui. Lyginant dvi aibes A ir B pagal jų bei jų poaibių ekvivalentumą formaliai yra galimi šitokie atvejai. 1. Aibės A ir B yra ekvivalenčios. 2. Aibė …
Excerpt
Uždaviniai 147 lų sistemai (a,, 6) (k=1, ..., 1), kurių ilgių suma yra mažesnė už 8, būtų pa- tenkinta nelygybė > V(b)-f(0)| < L k=l Suskaidykime segmentą [a, b] taškais GD į dalis taip, kad c;—c; …
