Excerpt
Izoliuoti ir ribiniai taškai 59 Jei taškas x yra aibės A ribinis taškas, tai kiekvienoje jo aplinkoje yra be galo daug aibės A taškų. Sakykime, yra atvirkščiai: kurioje nors taško x aplinkoje yra tik baigtinis aibės A taškų skaičius: tegul tie taškai …
Excerpt
Uždarinys ir išvestinė į 61 kurie priklauso aibei 4. Be to, gali būti ir tokių sutirštinimo taškų, kurie ai- bei A nepriklauso. 4 teorema. Kiekvienos aibės taškų, kurie nėra jos sutirštinimo taškai, aibė yra baigtinė arba suskaičiuojama. Įrodymas. …
Excerpt
62 Taškų aibės Vadinasi, žeA;. Jei tarp sekos elementų tik baigtinis skaičius priklauso 4,, tai, atmetę juos, gauname aibės A, elementų seką, konverguojančią į £; šiuo atveju £€45. Tuo būdu, visada £€4;+ 45. Iš čia: (A,4+ 45) < A; +45. Iš šio ir iš (1) …
Excerpt
Uždaros aibės ž 63 ribinis taškas, tai jo aplinkoje (1—s,, 1+€;) ir intervale (£—e, £+- …
Excerpt
64 Taškų aibės A taškas ir bent vienas taškas, kuris nepriklauso A. Vadinasi, * yra aibės A kraštinis taškas. 5 teorema. Baigtinio skaičiaus uždarų aibių suma yra uždara. Įrodymas. Sakykime, F,, F;, ..., F, yra uždaros aibės, t. y. Fic F,, EC I 25 BS E …
Excerpt
Atviros aibės 65 7. Atviros aibės Jei aibė sutampa su savo vidumi, tai ji vadinama atvira. Kitaip tariant, aibė yra atvira, kai visi jos taškai yra vidiniai. Kiekvienas atviras intervalas (a, b) yra atvira aibė. Visų realiųjų skaičių aibė yra atvira. …
Excerpt
66 Taškų aibės 8. Atvirų ir uždarų aibių skirtumas. Atskiriamumo savybė 1 teorema. Atviros aibės papildinys yra uždara aibė. Įrodymas. Sakykime, G yra atvira aibė. Reikia įrodyti, kad visi aibės CG ribiniai taškai priklauso jai pačiai. Sakykime, Žž yra …
Excerpt
Atvirų ir uždarų aibių struktūra 67 Sakykime, abi aibės F, ir F, nėra tuščios. Imkime bet kurį aibės F, tašką x. Tas taškas negali būti aibės F, ribinis taškas, nes tada jis turėtų priklausyti F, (ji yra uždara), o aibės F, ir F, bendrų taškų neturi. …
Excerpt
68 Taškų aibės Tarp tų intervalų gali būti ir intervalai (— 00, 00), (— oo, a), (a, oo). Tuščiai aibei ši teorema taip pat tinka, nes tuščia suma laikoma tuščia aibe. Įrodymas. Sąlygos pakankamumas išplaukia iš 7:1 teoremos. Įrodysime jos būtinumą. …
Excerpt
Tobulos aibės : 69 4 teorema. Kuris nors taškas yra uždaros aibės izoliuotas taškas tada ir tik tada, kai jis yra dviejų tos aibės papildomų jų intervalų bendras galinis taškas. Įrodymas. Jei x yra aibės F dviejų papildomų intervalų bendras galinis …
Excerpt
. Tobulos aibės TAB : arba trumpiau = as d a (1) čia a, (n=1, 2, ...)'yra vienas iš skaičių 0, 1, 2. Jei skaičius +=m 3-k (k> 1, 0 …
Excerpt
72 Taškų aibės Vadinasi, Kantoro aibėje P, be atmestųjų intervalų galų (jų yra tik suskai- čiuojama aibė) yra ir kitokių taškų. Tai bus taškai Ua čia a,=0 arba 2 ir trupmenos neturi periodo vien tik iš nulių arba vien tik iš dvejetų (tokios periodinės …
Excerpt
74 ) Taškų aibės Bent viename iš jų esančią aibės F dalį negalima padengti baigtiniu intervalų iš S skaičiumi, nes jei abiejuose esančias aibės F dalis būtų galima padengti baigtiniu sistemos S intervalų skaičiumi, tai tą patį būtų galima padaryti ir su …
Excerpt
Taškų aibės daugiamatėse Euklido erdvėse 75 Borelio teoremą galima apibendrinti. Sakykime, kad aibių sistema S=|4,) padengia aibę B, jei kiekvienas aibės B taškas priklauso bent vienam iš sistemos S aibių. 2 teorema. Jei atvirų aibių sistema S padengia …
Excerpt
76 Taškų aibės viršūnės yra vienoje tiesėje. Todėl ši nelygybė paprastai vadinama trikampio nelygybe. Įrodysime šią savybę. Tam mums pravers dvi lemos. 1 lema. Jei kvadratinis trinaris P(u)=au* +2bu +c su realiaisiais koeficien- tais a, b, cir a 20 …
Excerpt
Taškų aibės daugiamatėse Euklido erdvėse "PI abi puses iš 2 ir pridėję atitinkamas kvadratų sumas, gausime; S. a; + 2 akby+ ) bi < 2 ap + k=I EŽi k=I KSI IS = za/žu-žų arba s š RT TCS Ė X tu+ns( | X dx |/ X 0) Zi EŽi Ė2i Įrodysime dabar trečiąją atstumo …
Excerpt
78 Taškų aibės o s-mačiu atviru intervalu — aibė taškų x, kuriems a, …
Excerpt
Taškų aibės daugiamatėse Euklido erdvėse 79 cionalinėmis koordinatėmis, kurio atstumas nuo taško x būtų mažesnis už “ „Aišku, v …
Excerpt
80 Taškų aibės kuris turi savybę: x4€4, yx5CA. Taip tęsdami procesą neaprėžtai, gausime dvi taškų sekas: X;, X> , X5, ..., sudarytą iš aibės A taškų, ir seką y;, Y55 Yz5 ---> sudarytą iš aibės CA taškų. Abi sekos turės bendrą ribą Z. Todėl jis bus ir …
Excerpt
Taškų aibės daugiamatėse Euklido erdvėse 81 kuriems priklauso taškas x. Kadangi x yra vidinis aibės G taškas, o /, kraš- tinė konverguoja į nulį, kai 7—> 00, tai visi I, su pakankamai dideliais indeksais priklauso aibei G. Tuo būdu, egzistuoja mūsų įvesti …
Excerpt
82 Taškų aibės gautume, jog ir taip apibrėžta funkcija 4 (x, y) tenkina tas pačias savybes, kaip ir įvestoji šio paragrafo pradžioje. Su šio atstumo pagalba galėtume su- daryti beveik visai tą pačią taškų aibių s-matėje erdvėje teoriją. Galima atstumo …
Excerpt
Susijusios aibės, kontinumai 83 Įrodymas. Aibę E galima parašyti pavidalu E=EA+ EB. Kadangi aibės A ir B nepersidengia, tai tuo labiau ir aibės EA ir EB neturi bendrų taškų. Parodysime, kad nė viena iš jų negali turėti kitos aibės ribinių taškų. Tarki- …
Excerpt
84 Taškų aibės 5 teorema. Erdvėje R! yra šios ir tik šios susijusios aibės: tuščia aibė, ai- bės iš vieno taško, segmentai, atviri intervalai ir pussegmenčiai (atviri intervalai ir pussegmenčiai gali būti ir begaliniai). Įrodymas. Pakanka įrodyti, kad …
Excerpt
Uždaviniai 85 Įrodymas. Kadangi C,, C5;, C3, ... yra netuščios uždaros aprėžtos aibės, tai pagal 6.7 teoremą C yra netuščia uždara aibė. Įrodysime, kad C yra susijusi aibė. Tarkime, kad C nėra susijusi. Tada ją galima išreikšti suma dviejų aibių A, ir A,, …
Excerpt
86 Taškų aibės 11. Įrodykite, kad kiekvienos aibės A vidus yra tos aibės papildinio uždarinio papil- dinys C CA. 12. Aibės A vidus yra didžiausia atvira aibė, telpanti aibėje A, kitaip tariant, jei atvi- ra aibė GC A, tai G yra aibės A vidaus poaibis. …
Excerpt
Uždaviniai 87 3. Sakykime, F, ir F, yra netuščios uždaros aibės ir bent viena iš jų aprėžta. Eg- zistuoja du tokie taškai x, < Fir x, € Fp, kad d( Fi, F,)= d(x4, x;). Atstumas d(F,, F,)= O tada ir tik tada, kai aibės Fi, F, turi bendrų taškų. Jei d (Fi, …
Excerpt
88 Taškų aibės 41. Įrodykite, kad visų funkcijų, apibrėžtų ir tolydinių segmente [ a, 5 ], aibė yra metrinė erdvė, jei dviejų funkcijų f (+) ir g (+) atstumu vadinsime skaičių b d(f8)= | If()—g (+) | dr. Ši erdvė žymima C,[a, …