Excerpt
Padauginę abi pastarosios lygybės puses skaliariškai iš vektoriaus …
Excerpt
Taigi ortogonalioji matrica (ir tik ji) yra Euklido erdvės ortonormuotosios bazės keitimo ortonormuotąja baze matrica. Išvada. Ortogonaliosios matricos determinantas lygus -+-1 arba —1. Įrodymas. Ortogonalioji matrica O tenkina (13) lygybę. Paėmę abiejų …
Excerpt
Iš čia (D bi a4)=0 (= ne m Šios lygybės rodo, kad vektorius B= = b;c«; yra ortogonalus kiekvienam iš i=1 vektorių a,, .-., €4,„, taigi ir tų vektorių tiesiniam apvalkui L (24, ..., 4 „).Ka- dangi 8 yra to apvalko vektorius, tai 8=0. Todėl vektorių sistema …
Excerpt
vektorius, tai (1)o=7'. Remiantis vektorių skaliarinės sandaugos ortonor- muotojoje bazėje išraiška, n n B P 1 1, Esm= 2, 44 In EK ys) AI i—1 Todėl E: n=(č)9-(2)9. Iš čia išplaukia, kad o: E,= Ej. $ 62. Ortogonalusis papildinys Euklido erdvės poerdviai L, …
Excerpt
Įrodymas. Teiginys akivaizdus, kai Z= (01. Todėl tarkime, kad L yra nenulinis erdvės E, poerdvis. Iš ortonormuotosios bazės apibrėžimo 2 išvados (žr. $ 61) išplaukia, jog bet kurią to poerdvio ortonormuotąją bazę 1, ---> €, galima papildyti iki erdvės E, …
Excerpt
Vadinasi, ž,=0. Iš čia išplaukia £=ž, < L. Todėl (L)1cL. (6) Palyginę (5) sąryšį su (6), gauname (4) formulę. Išvada. Jei L yra Euklido erdvės poerdvis, tai bet kuris tos erdvės vektorius E tenkina lygybes: pr„E=ort,; E, ort;E= pr; š. Įrodymas. Kadangi …
Excerpt
7. Užrašykite visas neizomorfiškas 60-osios eilės Abelio grupes. Ats. ) (X …
Excerpt
kiekvieno polinomo f(x)= 5 a;x! reikšmė f(x), kai x=x. Žiedo d i= 0 a polinomų f(x) ir g(x) skirtumas bei sandauga yra to žiedo polinomai, todėl iš polinomo reikšmės skaičiavimo taisyklių išplaukia: 7 (x)-g (2), * f(x) g (x) < P. Vadinasi, aibė K [x]=($7 …
Excerpt
"K (x) elementai f (0)/gi(x) ir /5 (0)/gs (2). Tikrai iš sąlygos /į (0)/g1 (4)= =f5 (x)/g> (x) išplauktų lygybė /1 (a) gs (4)=/> (x) g, (0). Tada būtų teisinga ir lygybė f, (x) 25 (5) =A (6) g; (2). Kadangi g1(x) g2(x) 0, kai g(e) ga(x) *0, tai A 0)/21 …
Excerpt
4 teorema. 7-ojo laipsnio (n < N) algebrinis virš kūno K elementas x tenkina lygybę HE i Žas=0 (4EK; i=0, 1, ..., n-1) (1) į=0 tada ir tik tada, kai a,=a,=...=a,,=0. Įrodymas. Iš prielaidos a;=a,=-..=a, ,=0 išplaukia lygybė 0+04+ | +...+047-1=0, todėl …
Excerpt
į , Norėdami įrodyti tos išraiškos vienatį, tarkime, jog n-1 RS 3, Ei E, 20, I al), (5) i=0 Panariui atėmę iš (2) lygybės (5). gauname n-1 0= V (b-c,)ai. i=0 nl Vadinasi, x yra polinomo / E-2 (b;—c;)x' šaknis. Kadangi deg A arai las KA T 0 E 1-1). i= 0 …
Excerpt
deg r" C,„ Su kuriuo yra teisinga lygybė š. c;4!=0. Remiantis algebrinio elemento apibrėžimu, x yra algebrinis virš i-0 kūno K elementas. 8 teorema. Jei P yra baigtinis kūno K plėtinys, o L — baigtinis kūno P plė- rapsų TAI [UK [PIP KI Įrodymas. Tarkime, …
Excerpt
vektorinės erdvės L bazę virš kūno P. Tada bet kuris plėtinio £Z elementas y bus (7) bazės elementų tiesinė kombinacija su koeficientais iš P: dode a E AI (8) Savo ruožtu kiekvieną iš koeficientų į; galima išreikšti (6) bazės elementų tiesine kombinacija …
Excerpt
teorema teisinga £—1 (k> 3) ilgio plėtinių sekai, įrodysime, jog ji teisinga (13) plėtinių sekai. Pagal indukcijos prielaidą P; , yra baigtinis kūno K plėti- nys. Kadangi P yra baigtinis kūno P, , plėtinys, tai iš 8 teoremos išplaukia [P: K|=[P: P, -,] …
Excerpt
kurio šaknis yra skaičius p/g: (p/aY" +-am-1 (Plg 71... +a, (pla) +0,=0. Iš čia B*la = Zina a, ad | GadL (2) Kadangi (p, g)=1, o dešinioji (2) lygybės pusė lygi sveikajam racionaliajam skaičiui, tai g=1. Vadinasi, p/g yra sveikasis racionalusis skaičius. …
Excerpt
Vadinasi, skaičius c yra polinomo E-ž1 4415 Oj RUS sti pa A lui r-0i2 „X--4ų šaknis. Kadangi tas polinomas yra normuotas, o jo koeficientai — sveikieji racionalieji skaičiai, tai c yra sveikasis algebrinis skaičius. 5 teorema. Dviejų sveikųjų algebrinių …
Excerpt
Kiekvieną kūno O(Vd ) skaičių « galima vienareikšmiškai išreikšti lygy- be c=a+b6Vd (a, be O), todėl O(Vd)=(a+b6Vd)a, be0). Kūno O(| d) skaičių 3,=a,+6, Va ir 4,=a; +6,/d sumą ir sandaugą skaičiuojame pagal formules: x; +45=(a, +4;) +(b, + b,) Va d, u;45= …
Excerpt
Išvada. Kiekvienas natūrinio laipsnio polinomas su kompleksiniais koeficien- tais turi skaidinio kūną. Įrodymas. Kadangi kompleksinių skaičių kūnas C yra algebriškai užda- ras, tai bet kurį natūrinio laipsnio polinomą f(x) < C [x] galima užrašyti pir- …
Excerpt
Įrodysime, kad sluoksnis x yra polinomo p (x) šaknis. Sakykime, Ho“ = ooo aa Eko 08 Nn) i=0 | Pakeitę to polinomo kintamąjį x sluoksniu x, gausime 0=> (00— X. L5—= X. UT —pIG) 10 i=0 Todėl P yra kūno K plėtinys, kuriame polinomas p (x) turi šaknį. Išvada. …
Excerpt
$ 98. Pagrindinė algebros teorema 97 paragrafe (3 teorema) įrodėme, jog kiekvienas natūrinio laipsnio poli- nomas turi skaidinio kūną. Pritaikysime tą teiginį polinomui su kompleksi- niais koeficientais ir įrodysime anksčiau suformuluotą pagrindinę …
Excerpt
f(x), kaip natūrinio laipsnio polinomas, turi bent vieną skaidinio kūną P, kuriam priklauso visos to polinomo šaknys «4, 45, --., 4, Imkime bet kokį realųjį skaičių c ir sudarykime plėtinio P elementus By=zt a; e (1 +4;) (I, j=1, 2, .-., n; …
Excerpt
- yra natūrinio laipsnio 2 polinomas su kompleksiniais koeficientais. Pakeitę visus jo koeficientus jungtiniais skaičiais, gausime polinomą fO0= 5 a; *“ I=0 2n Sandaugos F(x)=f (x) f (= £ b„x“ koeficientai b, = » a; ū; (k=0, k=0 I+-j=k 1, ..., 2n) tenkina …
Excerpt
sveikasis neneigiamasis skaičius) pirmvaizdis yra polinomas g (x)= m S " (b;)ę 1 xi. Iš polinomo standartinės išraiškos vienaties ir izomorfizmo i=0 o apibrėžimo išplaukia, jog skirtingų žiedo K [x] polinomų vaizdai yra skir- tingi. Vadinasi, — polinomų …
Excerpt
2 teorema. Jei V yra kūnų izomorfizmo o: K =K tesinys, 0 f(x) - žiedo K [x] natūrinio laipsnio polinomo f(x) vaizdas, tai kiekvieną polinomo f(x) šaknį 1 atitinka tokia polinomo f (> ) šaknis 1, kad c: K (1) = KG), (1) s=A ir (a)c=(a)ą (Ya < K). Įrodymas. …
Excerpt
čia g(x) — polinomo g(x)h(x) dalybos iš polinomo /(x) nepilnasis dal- muo, 0 r(x) — tos dalybos liekana. Pagal prielaidą f(1)=0, todėl i «B=g (1) A (n)=r (1). (3) Kita vertus, iš (2) formulės išplaukia lygybė EO) KO =760 16) +F6, (4) kurioje F(x)= (r (9) …
Excerpt
Polinomui g (x) tinka indukcijos prielaida, nes deg g=1—1. Vadinasi, galima sudaryti polinomų g (x) ir £ (x) skaidinių kūnų izomorfizmą G: Kina) (no: | Ta) Zz K (ių) (7 = ia augi Tu) tenkinantį sąlygas (a) B— (x) 61 (Ya € K (10), (ni) = Tik, (i = 2, | n). …
Excerpt
1 teorema. Baigtinio kūno K elementų skaičius g yra to kūno charakteristi- kos p natūrinis laipsnis. Įrodymas. Pirminis p charakteristikos kūnas yra izomorfiškas likinių klasių mod p kūnui Z,. Pakeitę baigtinio kūno K pirminį pokūnį P jam izo- morfišku …
Excerpt
> yra plėtinio P pokūnis. p charakteristikos kūno Z, vienetas 1 pagal Lagranžo teoremos 1 išvadą tenkina lygybę g1=0, todėl f" (x)=gx271—1= — 1. Vadi- nasi, nė viena polinomo f(x) šaknis nėra jo išvestinės f“ (x) šaknis. Tai rodo, kad visos to polinomo …
Excerpt
Todėl p1,. Tai prieštarauja sąlygai n,=pp!pk pas, nes p,/p;, kai j=2, ..., s. Taigi |; |=4— 1. Pastaroji lygybė rodo, jog K*= < E). 5 teorema. Baigtinio p charakteristikos kūno K atvaizdis 6 kūne K, apibrėž- tas formule (a)o=a? (Va < K), yra to kūno …
Excerpt
nes pagal (4) formulę 5=a (mod p). Vadinasi, grupės U (Z,-) elemento b= =b+p"Z generuoto ciklinio pogrupio …