Excerpt
“turi matricą i, (2 iz 0 Lin, 01 2. VMA 2 L " Ji (17) žė i () I (5), Er 5 Er Aika | ių (I “su kompleksiniais skaičiais Ą, I, -.., I, pagrindinėje įstrižainėje (1, kai į+j). Tada yra teisingos šitokios lygybės: «D = Ir a D +400,, (1— IE 22 a S E 2. Žega a …
Excerpt
„1 TV R TAR, p " TPA“: 4 V i al giai = - 2 = - 3 teorema. Poerdvyje L,; tiesinė transformacija 8; indukuoja k; ;-0jo aukščio nilpotenčiąją transformaciją B, Gl 2 S Įrodymas. Iš (22) formulės išplaukia, jog vektoriai D, a, a) gku—! sudaro poerdvio L,; …
Excerpt
Įrod ymas. Sakykime, kompleksinės vektorinės erdvės V, tiesinė transfor- macija «4 (16) bazėje turi (17) Žordano matricą J. Tokios matricos pa- grindinėje įstrižainėje yra tos matricos charakteristinės šaknys, todėl matricos 7 pagrindinės įstrižainės …
Excerpt
K ri= D (ki; —1)-— > k;,> t k, ,> 1+1 k, ,> 1+1 "1117 ky=tkl o kyžikLO kt arba S G lė i Gr Ll ms (32) Iš pastarosios formulės, kai +=h4—1 ir :=A, išplaukia šitokios lygybės: Tn-1— Ta = An T4p+17 "T Fu— nei = Inki T... G Panariui atėmę antrąją lygybę iš …
Excerpt
ž i A "2 22 = 2 A BS P DA Ming A A. "STT * "Iš čia as= fi —r=1, g,=r,—2rp+ra=0, g;=rą—2r; +, 0. Vadinasi, matricos A Žordano forma bus šitokia: 240770 I= (0-2 i) 002 Kompleksinės vektorinės erdvės V, tiesinės transformacijos + Žordano bazė yra tos erdvės …
Excerpt
bi TA žo +, a > bazės vektorius pažymėkime ž,8£-!, ..., £,35—1(1 …
Excerpt
: Sprendimas. Kadangi 1-zZ —3 4 (-2) | 1-Z —3 4 Js O= 4 —7-zZ 8 | = 2E27 LZ 0 = | 46 T Į 6 2 EK 522459 | | 0 —1-z 0 |=(-1-29[(-5-2(7—7)+32]= 28 1 1 į =(—1—7z)(z22—2z7—3)=—(z—3)(z+1)?, tai transformacija .5/ turi dvi charakteristines šaknis: paprastąją …
Excerpt
Sa E=(—2;0; I), £5=(2; — macija Z turi Žordano matricą : į 3 0 0 120 L 1 0 0 —1 soda adis o aidas Anita $ 75. Tiesinės transformacijos diagonalizavimo sąlyga Iš tiesinės transformacijos matricos Žordano formos galima nustatyti, | ar ta transformacija yra …
Excerpt
n—k;. Kadangi transformacijos 3,=—l,6 ir matricos C; rangai sutampa, tai 1(8,)=n—k; (i=1, 2, .-., 5). Dabar tarkime, kad tiesinės transformacijos charakteristinio polinomo faA=U-2K (2 UD (klų, kai kj) bet kurią šaknį /; atitinkančios transformacijos …
Excerpt
m Jei g(z)= 2 b;z/ yra polinomas su kompleksiniais koeficientais, 0 4 — GE kompleksinės vektorinės erdvės V., tiesinė transformacija, tai transformacija z(4)=b6+b6,Z+-..+-b L" vadinama transformacijos 4 polinomu. Skyrium imant, galima sudaryti …
Excerpt
4-0. Kadangi poerdvyje V (/;) transformacija 3; sutampa su transfor- macija Ba, tai na“ 0; G) čia 1 — bet kuris poerdvio V(/;) (i=1, 2, ..., s) vektorius. Remiantis (2) formule, kiekvieną erdvės V, vektorių £ galima išreikšti suma Es) EO EisVŪ)i P=1, 2 ss …
Excerpt
3. Įrodykite, kad Euklido erdvės R* vektorių Z transformacija „7, apibrėžta lygybe E=(E-2)a, a a=(1; —3; 2), a tiesinė, ir raskite tos transformacijos matricą bazėje x4;=(1; 1; 1), =(0; 1; 1), 55=(0; 0 0 0 * Ats. —1 4 —5 28-10 4. Apskaičiuokite …
Excerpt
9. Aritmetinės erdvės R* tiesinės transformacijos „g matrica bazėje x,=(1;2), 44=(1; 3) 2 —-1 yra 4-( 5 3 ) o tiesinės transformacijos 42 matrica bazėje 8,=(3; 2), B,=(2; 1) — —1 1 p j 8-( 2 2 ) Raskite transformacijos „+ 34 matricą bazėje 04, 45. "E 22 A …
Excerpt
16. Raskite aritmetinės erdvės R* tiesinės transformacijos „f tikrines reikšmes ir tikrinius vektorius, kai tos transformacijos matrica lygi: Ha 4 BM Leo La) 2-2 22183 242 Ats. a) z,=1, £1=(—1; 2; 1) 7; 25=2, E-=(1; 2; 0) 7; 23=3, Z2=(1;0; —1) 7 (1 E R, …
Excerpt
a. = 0 0 —2 1 ) E,=(1; 0; 1), Es=(1; 0; 0), Es=(0; —1; 1), a 6 — 0 1 ) č.=(1; —3;:3), £2=(0; 1; —1), „E2=(1; —2; 1); 0 0 e. us c—-— cie wer ces las) — — ——2 ) E,=(1; —1; 1), E> =(2; 1; 0); E,=(2; 0; 1). 02 21. Ar diagonalizuojama tiesinė transformacija, …
Excerpt
Vadinasi, (E)/=E-a. (1) Pabrėšime, kad vektorius « priklauso tik nuo funkcijos f. 1 teorema. Unitariojoje erdvėje U,„ apibrėžtos skaliarinės tiesinės funkcijos (£)/ išraiška (1) skaliarine sandauga yra vienintelė. Įrodymas. Sakykime, funkcija (£) / turi …
Excerpt
Nulio ir bet kokio vektoriaus sandauga lygi nuliniam vektoriui, todėl (6) n lygybę galima papildyti vektoriumi ŠA * „O (J Js „Jj, Yra skaičių k=r+1 1, 2, ..., n kėlinys). Tai atlikę, gausime lygybę B= 2 4,44 Ži «0, [ži k=r+1 iš kurios išplaukia, jog …
Excerpt
Pridėję panariui prie pastarosios lygybės (8) lygybę, padaugintą iš kūno K bet kurio elemento a, gausime 2 (+ 1ja)=B. J=i Todėl kintamųjų reikšmės x;=c;+/;a (j=1, 2, ..., n) yra (1) lygčių sistemos sprendinys. Kadangi kūnui K priklauso bent du elementai, …
Excerpt
(jei būtų kitaip, pakeistume sistemos lygčių arba kintamųjų tvarką). Tas mi- noras kartu yra ir matricos 4 nelygus nuliui r-osios eilės minoras. Kadangi r (A)=r, tai matricos A visos eilutės, pradedant r +1-ąja, yra jos pirmųjų 7 eilučių tiesinės …
Excerpt
Prijungę prie (12) formulės 1— r akivaizdžių lygybių Xrii=Xriis 5 Xn= Xn, gauname (1) lygčių sistemos sprendinio vektorinę išraišką xi G1 Si, r+1 Sin X, r Sr. r+1 Srn sšėsi E Ė X-+71T.-.- 0 S (14) Xi 0 0 6“) (e — kūno K vienetas). Kai (11) lygčių sistemos …
Excerpt
$ 54. Homogeninė tiesinių lygčių sistema Homogeninė tiesinių lygčių sistema virš kūno K ax + 05 A-Ž Xa=0, AX. + 055 X T skaja +05,X„=0, (1) Amx. +Am2Xx T... +ūmnX„=0 visada yra suderinta (ji turi nulinį sprendinį), todėl svarbu aprašyti nenuli- nius tos …
Excerpt
Išvada. Homogeninės tiesinių lygčių su n kintamųjų sistemos virš kūno K sprendinių aibė yra vektorinės erdvės K, poerdvis. 2 teorema. Jei homogeninės tiesinių lygčių su n kintamųjų sistemos virš kūno K koeficientų matricos rangas lygus r, tai tos lygčių …
Excerpt
Jei homogeninės tiesinių lygčių su n kintamųjų sistemos virš kūno K koefi- cientų matricos rangas r mažesnis už n, tai bet kuri jos n—r sprendinių tiesiš- kai nepriklausoma sistema vadinama fundamentaliąja sprendinių sistema. Viena (1) lygčių sistemos …
Excerpt
Įrodymas. Kad pastaroji sąlyga yra būtina, įrodėme 14 paragrafo teo- remos išvadoje. - Sakykime, (5) lygčių sistemos koeficientų matricos A determinantas lygus 0. Tada …
Excerpt
5 teorema. Nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinio ir jos atitin- kamosios sistemos sprendinio suma yra tos nehomogeninės sistemos sprendinys. Įrodymas. Imkime bet kurį (6) lygčių sistemos sprendinį x;=1; (j= L, 2. n) ir bet kurį atitinkamosios …
Excerpt
4. Apskaičiuokite aritmetinės erdvės R* vektorių 4,=(1; 3; —2; 4), 25=(5; 1; O; 5), a+=(1; —1; 1; O) tiesinę kombinaciją 3x,— 2x4+ Tas. Ažsė. (D: -0:-15.-2). 5. Su kokia parametro k reikšme vektorius 2=(—2; 7; k) yra vektorių x,=(7; 3; 8), «+=(—6; 1; 1), …
Excerpt
Ats. Sistema neapibrėžta, kai a=1; nesuderinta, kai a=—2; apibrėžta, kai a+1, až —-2. 12. Nustatykite tiesinių lygčių sistemos | ax,14x5+ x;= 0, Dar Ax = lų | 3x,1bx; =-2 sprendinių skaičių, kai parametrai a ir b įgyja bet kokias realiąsias reikšmes. Ats. …
Excerpt
Vill SKYRIUS VEKTORINIO ARGUMENTO SKALIARINĖS FUNKCIJOS Algebroje nagrinėjamų funkcijų apibrėžimo sritys yra labai įvairios: gru- pės, žiedai, kūnai, aibių Dekarto sandaugos ir kt. Šiame skyriuje aptarsime funkcijas, apibrėžtas vektorinėse erdvėse. Tokios …
Excerpt
Įrodymas. Sakykime, (£)/ yra skaliarinė funkcija, apibrėžta vektorinėje erdvėje V,, virš kūno K. Jei «4, «4, -.., 4, — tos erdvės bazė, tai E Žalys 2 0 (2) i=1 Todėl, pritaikę (1) formulę, gauname E) /f= J; Xia) f. (3) i=1 Pažymėkime (x;)f=a; (a; < K; …
Excerpt
Pritaikę (6) formulę tiesinės funkcijos (Z)/ ir skaliaro / sandaugai, gau- name (a5,+5E> )(/)=! [(až, +6E> )/]=! [2 (5) /+5 (E) /1=a I (E) f1+ +6U(E)/]=a [E4) V)1+6 KE) (VE, …