Excerpt
Vektorinės erdvės V panašumo transformacija 2 su panašumo koefici- entu k yra aprašoma lygybe EP=kĘ (VEeV). (6) Jei E', £" — bet kokie erdvės V vektoriai, tai iš (6) formulės gauname EP=kĖ' ir E'P=kĖ'“. Todėl (cE'+dE')2=k(cE'+dE')=c (k E')+- …
Excerpt
Iš tų išraiškų koeficientų sudaryta matrica (Gi Ci2 Činų 4 LŽ d51 155 * o) Asp (2) „Am 4.2 SKB Ann vadinama tiesinės transformacijos +/ matrica bazėje x4, 25, ..., x,. Pažymėję, kaip įprasta, bazės vektorių …
Excerpt
Dabar įrodysime, kad kiekviena kvadratinė matrica su elementais iš kūno K apibrėžia tam tikrą tiesinę transformaciją. 1 teorema. Jei tį, 45, ---, 4, Yra vektorinės erdvės V, virš kūno K bazė, 0 Pas Ba, > B, — bet kokia tos erdvės vektorių sistema, tai …
Excerpt
gautume lygybę £.7=£ 3. Kadangi Z yra bet koks erdvės V, vektorius, tai, remiantis transformacijų lygybės apibrėžimu, = 3. 2 teorema. Jei Z=(a;;) (i, j=1, 2, ..., n) yra kūno K elementų matrica, tai galima sudaryti vektorinės erdvės V, virš to kūno …
Excerpt
LP $ 66. Tiesinės transformacijos matricų sąryšis Priskyrę kiekvienai vektorinės erdvės tiesinei transformacijai / jos matricą 4 fiksuotoje bazėje, gausime bijekciją tarp tos erdvės tiesinių transforma- cijų ir jų matricų aibių. Kyla klausimas, kokia bus …
Excerpt
Kadangi matricų panašumo sąryšis yra simetriškas, tai matricos B ir C dar vadinamos panašiosiomis matricomis. 1 išvada. Keičiant vektorinės erdvės bazę, tiesinės transformacijos matrica keičiama į ją panašia matrica. 2 išvada. Panašiųjų matricų …
Excerpt
V, tiesinių Ž ir 8 suma vadinama tos sa ija 4 +3, apibrėžta lygybe 5 2 E(4+3)=E4+E3 NE V,). (1) Kitaip sakant, /+3 yra erdvės V, transformacija, kuria kiekvienas tos "erdvės vektorius š atvaizduojamas į jo vaizdų E.Z ir £3 sumą. 1 teorema. Tiesinių …
Excerpt
ay (X as)2) | I au63) i ZL )- 1-4 = 6,43 (š Anj 2) 3 2 anj (a; B) ABca> Istčia *1C— AB; NES anbje …
Excerpt
pp $ 68. Tiesinės transformacijos vaizdas ir branduolys Bet kuri vektorinės erdvės tiesinė transformacija nustato du tos erdvės po- erdvius. Vektorinės erdvės V., tiesinės transformacijos s4 vaizdu vadinamas tos erdvės poaibis Im +, kurį sudaro visų …
Excerpt
E avms AGT ae Šš tai TB ė AšėT d. Vadindė, karė yra ži his V, netuščias poaibis. Jei £, 1 — bet kokie branduolio Ker. vektoriai, | + Tai Ed-14— 0. Todėl su kiekviena skaliarų pora c, d yra teisingos lygybės (cE+dn)d=c (EZ)+d(1.4)=c0+d0=V. Iš čia cž+dn e …
Excerpt
ę Pavyzdys. Aoakaičinsias Eabasiės vektori: ačs “erdvės R; B tiesinės osniei L:if() Z=f (X) (V f(x) e R, [xl) rangą ir defektą. - Sprendimas. Transformacijos > branduolį sudaro tie erdvės R, [x] vektoriai, kurių | j išvestinės lygios 0. Iš čia Ker.9/=R. …
Excerpt
A 4 teorema. Vektorinės erdvės V., tiesinė transformacija 4 yra apgręžiama ; tada ir tik tada, kai jos matrica bent vienoje tos erdvės bazėje yra neišsigimusi. Įrodymas. Sakykime, transformacija 4 yra apgręžiama. Tada egzistuoja jai atvirkštinė …
Excerpt
> Pavyzdžiai. 1. Jei transformacija „5 yra plokštumos geometrinių vektorių su pradžia koordinačių sistemos xOy taške O projektavimas į abscisių ašį, tai tų vektorių erdvės tiesio- ginius „4/-invariantinius poerdvius sudaro: 1) ašies Ox vektoriai; 2) ašies …
Excerpt
SALA m AAA S A A S > > S mas la i T 42 a S ar EOS AE T E TE i š > a Žas 4 AS s 2 A 264 ; ss AA bazės Ais 5 Aps Akio > A, Kadangi poerdvio L vektorių vaizdai priklauso tam poerdviui, tai | =) Gyd, (ae K) =, 5 k). j=1 Sudarę kitų erdvės V, minėtosios bazės …
Excerpt
“ Skaliaras I vadinamas tiesinės transformacijos «4 tikrine reikšme. Taip pat sakysime, kad E yra tiesinės transformacijos 47 tikrinės reikšmės I tikrinis vek- torius. 1 teorema. Tiesinės transformacijos tikrinio vektoriaus tikrinė reikšmė ran- dama …
Excerpt
ALT siškai priklausoma, tai rastume nenulinį skaliarų rinkinį Ei Gas 24 tenki- | nantį lygybę k = Cį £ = 0. (2) i=1 Pritaikę tai lygybei transformaciją , gauname: k > GE 4)=04=0. (3) i=1 Kadangi £;5/=1/;5; (i=1, ..., k), tai (3) formulę galime užrašyti …
Excerpt
/ tai tiesinės transformacijos + matrica bazėje Gia E ya Ore D + oi) kegioie uolas Atvirkščiai, iš prielaidos, kad vektorinės erdvės V, tiesinė transformacija: / tam tikroje bazėje a;, ..., x, turi diagonalinę matricą su skaliarais ki, ..., k, …
Excerpt
E "ZVL TA “BE a 452. "1242 g "es SA pe E Sp ios o A A A aa = „ linomas virš kūno K. Vadinas „toks pa polinomas yra ir dė |A- „—ZE |. Jo narys, lygus pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai, yra polino- Mas su vyriausiuoju nariu (—1)"z". Kiekvienam iš …
Excerpt
Samo E AA S SPD Lo tai vektoriaus 8 koordinačių eilutė yra [8]=(5,; bp; ...; b,). Todėl (2) formulę | galime užrašyti šitaip: B= [B] …
Excerpt
to kūno elementai. Laikydami sprendinio komponentus vektoriaus koordina- tėmis bazėje , gausime nenulinį vektorinės erdvės V, vektorių 4 ba; = B, kurio koordinačių eilutė yra [6]=(b4; b5; ...; b,). Kita vertus, iš (8) lygčių sistemos, kai x;=b; (j=1, 2, …
Excerpt
3 „rem 1 Sprendimas. Pirmiausia apskaičiuojame tiesinės transformacijos „5 charakteristinį polinomą: |1-z 0 1 Ty AE 1 1-z 0 |=(1-23+1=(2—7)(22—z+1). 1 1-Z Kadangi lygtis z2—z4-1=0 realiųjų šaknų neturi, tai z=2 yra vienintelė tos transforma- cijos tikrinė …
Excerpt
2 e AS t (i džio. i : d). . Laikydami į juos vel k a „du erdvės V, vektorius: y= že. Cr; AT 0 — > dai. A š "Kadangi (12) kintamųjų seiksiEs tenkina (8) eso sistemą, tai yra teisingos lygybės Nyl, +di)+a5,(c> +d i)... +a,;(c„+d,i)=(a+bi) (c;+d,,) G— 2 Ta) …
Excerpt
Ma MA ba "sistema x, Š yra tiesiškai nepriklausoma. Iš čia išplaukia, kad tiesinis apval- kas L (y, 8) yra erdvės V, dvimatis poerdvis. macija, tai ta erdvė turi bent vieną vienmatį arba dvimatį Z-invariantinį poer- Ė dvį i š 2 realiaisiais koeficientais, …
Excerpt
Jei 3 yra vektorinės erdvės m-ojo aukščio nilpotenčioji transformacija, tai kiekvienas tos erdvės vektorius Z priklauso transformacijos 3" branduoliui. Iš tikrųjų £ 37=E 0 =0. Mažiausias natūrinis rodiklis k, su kuriuo vektorius E + 0 tenkina sąlygą E 3*= …
Excerpt
Ų $ 74. Matricos Žordano' forma Įrodėme, kad tiesinė transformacija diagonalizuojama tada ir tik tada, kai ji yra paprastosios struktūros. Į klausimą, ar yra nediagonalizuojamų tiesinių transformacijų, atsakysime pavyzdžiu. i Imkime 2-osios eilės …
Excerpt
e Ak 2 2 sea Pavyzdžiui, 8-osios eilės kvadratinė matrica F-- E - (Žr | l D () Ta L----3 I B L] 7 10 o! EL 0; mai 05-62 15 ESL RG "yra Žordano matrica su keturiais Žordano langeliais įstrižainėje. Du iš jų yra antrosios eilės, kiti du — pirmosios ir …
Excerpt
X ad tiesinės transformacijos | "nis vektorius, tai Ex/=/E. Iš čia išplaukia, 23=-lė branduoliu priklauso nenulinis vektorius E, nes Ž3=E47— —E(/6)=/£-/E=0. Remiantis 68 paragrafo 3 teorema, transformacijos 3 “ rangas r mažesnis už n. i Tiesine …
Excerpt
Ka B + a *. 1 kp Pagal prielaidą vektoriai y11, ---, Ta a Eisnoo Pas Im 3, todėl erd- vėje V, jie turi pirmvaizdžius i Ua «;, 2=Yn (j=1, 2 s). (9) Įrodysime, kad vektorių sistema Ya: Aa s3 Yar,> V215 no Ym> .)--5 Ymr 815 as s5 B. Ais | As (10) yra …
Excerpt
Remiantis (13) išraiška, vektorius p priklauso poerdviui Im 3. Tada jis turi priklausyti ir branduoliui Ker 3, nes Ker 2= Ker 3 1 Im 3. Vadinasi, vektorius B yra (6) bazės vektorių tiesinė kombinacija: BE 2, d o USG IA) E Kadangi vektorių sistemų y;,„, …
Excerpt
a 0) Ll LT: S () ži Va li TŽ „(In s m už čia 1+ > (r; +1)-+ Ž K o M Š 4 a 12 "sąryšio išplaukia šitoks teiginys. i=1 i=s+1 ——— vektorinės erdvės bazė, kurioje tiesinė transformacija turi Žordano matricą, vadinama tos transformacijos Žordano baze. …