Excerpt
Įrodymas. Pakeitę (1) sistemos vektorių x, vektoriumi B=ca, (c —- nelygus 0 skaliaras), gauname vektorių sistemą Boa ms (15) Kadangi vektorius 8 yra (1) vektorių sistemos tiesinė kombinacija, tai r (64, Aa, Km) =T (01, Aa, +, Am, B). Savo ruožtu vektorius …
Excerpt
jų Bi žs a PŽaU 0. Kadangi bet kuri TenobaĖ matrica > turi bent vieną Saulis En tai r(4)> 0. Vienas iš matricos rango skaičiavimo metodų susijęs su šitokia sąvoka. mxn-matricoje A parinkime k eilučių ir k stulpelių …
Excerpt
R M, at in TRS AT 2.47 Page Pa TA Kė Te A L > ž SM 4 2 Ž kuriame j=r+1, ..., m, k=1, 2, J. n. Įsitikinsime, kad jis lygus nuliui. Jei k> r. tai d,,=0 kaip matricos A r+1-osios eilės minoras, o jei …
Excerpt
"3 m Ą iii. “t. : f 1 išvada. Matricos rangas lygus transponuotosios matricos rangui. | Teiginys išplaukia iš matricos rango teoremos ir transponuotosios matri- cos determinanto savybės. 2 išvada. Matricos A rangas lygus jos stulpelių sistemos rangui. …
Excerpt
pac: laikyti pirmosios eilutės ir pirmojo stulpelio sankirtos elementą, nes priešingu atveju elementą a matricos A eilučių bei stulpelių transpozicijomis perkeltu- me į matricos kairįjį viršutinį kampą. Toliau taikysime indukcijos metodą matricos A …
Excerpt
Kl LAS EO g T TM Tip S £i 11 „ "2 + i A 5 21 4 4 ABO ž aa Kiske matricos = "ž 5 1 „la SB al 5 A25 D Sd 0 R rangą. Sprendimas. Elementariaisiais pertvarkiais matricą A keičiame diagonaline matrica: T BE AI ST = 000 15 4 4 14)|| | aa 235 lt | = > a 158. 23 …
Excerpt
> Še stulpelių pertvarkiu. Iš elementariųjų pertvarkių, kuriais matrica A DAKEKanG diagonaline matrica D, gausime šitokią elementariųjų matricų seką: P,=P((2)-3 (1), P,=P((3)—3(1)), P,=P((4)—(1)), 0,=0 (0-ž0)). 0.0 (90-50). 0-0 (60-20), A=P(0-0), P=P(6- …
Excerpt
ž Vadinasi, kiekviena matricos C eilutė yra matricos B eilučių tiesinė kombina- ž E B tas “ : cija. Iš čia išplaukia, jog (74) x -matricos ( S sudarytos iš matricų B B ir C eilučių, rangas T ( 4 lygus r(B). Kadangi išbraukus iš matricos ke- letą eilučių …
Excerpt
K Pi S 12 Šnd Bo ik i a Ž Kita vertus, vektoriai += ... =x„=0, todėl K" yra n-matė erdvė. 2. Polinomų žiedas R [x] yra realioji vektorinė erdvė polinomų sudėties bei jų daugybos iš skaičių atžvilgiu. Kadangi polinomas a,+a4,x++03x71 ... +a,7 < R [x] lygus …
Excerpt
I (645 B2, a aa E2 Gr, Aa, 5 a) = (an B», p 8,)=n. (5) Iš (4) ir (5) formulės išplaukia, kad m2=n. Taigi vektorinė erdvė V yra n-matė. Vektorinės erdvės V bazės vektorių skaičius va dinamas tos erdvės dimensija ir žymimas dim V. 3 teorema. Bet kokią …
Excerpt
;= 2 Vas ais AA La A > „a - Ž Ž > = yra vektorinės erdvės V, bazė. Jei būtų dvi vektoriaus £ išraiškos tos bazės . vektoriais n n ES y ap IE = m ls ek i 1,22 m), i=1 i=1 tai būtų teisinga lygybė n 0= > G-x)ų. i=1 Erdvės bazė yra tiesiškai nepriklausoma, …
Excerpt
ž "Įrodymas. Imkime du bet kokius erdvės V, vektorius: (9) lygybe apibrėž- n “tą vektorių £ ir vektorių 1= J. Naša Ugo Ko 1 iš 2 SDA i=1 remiantis vektorinės erdvės 1 ir 7 aksiomomis, galima užrašyti šitaip: £+1= 2 (+ VI) 0 i=1 Iš čia išplaukia, kad …
Excerpt
. Koordinačių eilutę Ir, Jir matricos C 1545 Sao 2 io S B sandaros Te pa- r "tys elementai, todėl tos matricos i,-osios, ..., /-osios eilučių tiesinė kom- 184 SA Pa se * A binacija su koeficientais b,, ..., b, lygi nulinei eilutei. Atvirkščiai, bet kuria …
Excerpt
= ae teorema. Vektorinės erdvės E "AGA keitimo matrica yra neišsigimusi. Įrodymas. Sakykime, erdvės V, bazės …
Excerpt
- Sprendimas“. Iš vektorių 8, 6:, E; koordinačių sudarome matricą T= 212 a inės Ž[-2,—1 1). Kadangi ĮT1=|2 1 1|C-)=|2 i 1|=-6-2= 5 80 Ž P ėdi Za tai vektorių sistema (,, B> , 8; yra tiesiškai nepriklausoma. Vadinasi, ji yra erdvės R? bazė. Dabar …
Excerpt
: ž Išvada. Vektorinių erdvių izomorfizmu tiesiškai nepriklausoma vektorių sistema (ir tik ji) atvaizduojama į tiesiškai nepriklausomą vektorių sistemą. 3 teorema. Vektorinė erdvė, izomorfiška n-matei vektorinei erdvei, yra n-matė. Įrodymas. Tarkime, kad …
Excerpt
“paties kūno atžvilgiu. '$ 51. Poerdvi ai Nagrinėsime vektorinės erdvės poaibius, kurie yra vektorinės erdvės to Vektorinės erdvės virš kūno K netuščias poaibis L vadinamas tos erdvės poerdviu, jei jis pasižymi šiomis savybėmis: 2 1) bet kokių dviejų …
Excerpt
SA a A S Vektorių sistemos 44, Ar, ---5 SB tiesinį Lamą > žymėsime Ia ua os R Taigi - 7 k a Li. 0 = X, drapieks 11502, kl. (1) į=1 2 teorema. Vektorinės erdvės V virš kūno K bet kurios vektorių sistemos tiesinis apvalkas yra tos erdyės poerdvis. Įrodymas. …
Excerpt
Išvada. Vektorių sistemos tiesiniam Žpidiiši Paikičkias bet kurio jos pas temio vektorių tiesinis apvalkas. 4 teorema. Jei vektorinės erdvės virš kūno K vektorių sistemos As Kas Am (5) rangas lygus r, tai tiesinis apvalkas L (4, 45, --., 4) yra r-matis …
Excerpt
p. * sai i 1 teorema. Vektorinės erdvės V virš kūno K dviejų poerdvių suma ir sankir- ta yra tos erdvės poerdviai. Įrodymas. Sakykime, L, ir L, — bet kokie vektorinės erdvės V poer- dviai. Tada L,+L,+ S ir L, NL; S, nes poerdvių sumai ir sankirtai …
Excerpt
“ir nuo jų bendrosios dalies dimensijos. 3 teorema. Dviejų vektorinės erdvės V, virš kūno K poerdvių L, ir L, dimen- sijų suma lygi tų poerdvių sumos ir sankirtos dimensijų sumai: dim L, +dim LE,=dim(L, + L5) +dim(L,n L5). (2) Įrodymas. Teiginys …
Excerpt
* Kadangi vektorius bazės vektoriais išreiškiamas vienareikšmiškai, tai iš (8) formulės randame x;=c; (i=1, 2, ..., m), Am+1—=---=44=0. Įrašę pastarą- sias reikšmes į (7) lygybę, gauname: m I X Cį Xi Ela 2. b. Bs = 0 . i=1 s=m+1 (5) vektorių sistema yra …
Excerpt
k 4 teorema. Vektorinės erdvės poerdvių L,, L,, ...,L, suma L= = L; yra i=1 tiesioginė tada ir tik tada, kai bet kurio jos dėmens sankirta su kitų dėmenų suma lygi nuliniam poerdviui. k k Įrodymas. Tarkime, kad L= G L,, nors L; ( Ži L)*(0) i=1 i=1, ižj (1 …
Excerpt
=t, arba E,=E;. Gautoji prieštara rodo, jog vektoriaus E išraiška poer- k dvių L; (i=1, 2, ..., k) vektoriais yra vienintelė. Vadinasi, L= G) Ly. i=1 1 išvada. Jei a,, 45, --., a, yra vektorinės erdvės V, virš kūno K bazė, tai V.= 6 L(o,). i=1 Įrodymas. …
Excerpt
tą lygčių sistemą galime užrašyti viena vektorine lygtimi (su koeficientais ir laisvuoju nariu iš vektorinės erdvės K.„): i aa LO A. (3) Savaime suprantama, kintamųjų reikšmių rinkinys Ai Ci Ra las GS (ale:k- lm) (4) yra (1) tiesinių lygčių sistemos …
Excerpt
Todėl vektoriai x;, x; sudaro tiesinio apvalko L bazę. Iš čia į Pi E=x10, Karas (X, Aa € R), nes pr:„ž < L. Kadangi ort, Ė=Ė—pr E=(5—2x1—x; 2—X1—A25 2ba p —2—x— 3) LL, tai ort; E-4,=o0rtr £-4,=0, arba —7x,—6x5+8=0, 42x,+36x> =48, X1=2, l “64 = 15+10;7 | …
Excerpt
Unitariosios erdvės pavyzdys yra aritmetinė erdvė C", kai jos bet kurių dviejų vektorių ž=(x1: ...; X,) ir 7=(04; ---; y„) skaliarinė sandauga apibrė- žiama lygybe n E-1= X Xi Ji. (1) i=1 Ortonormuotosios bazės unitariojoje erdvėje apibrėžimas sutampa su …
Excerpt
8. Apskaičiuokite Euklido erdvės R* vektoriaus £= T. 5; —2; 2) projekciją ir statmenį į poerdvį L (44, x;), kai o 25 ls —1) as = (ls Ats. pr, Ė=(1; 3;.—1; —2),ort;£=(1; 2; —1; 2, 9. Raskite kampo tarp Euklido erdvės R* vektoriaus £=(2; 2; 1; 1) ir …
Excerpt
Įrodymas. Įrašę į (1) formulę vietoj skaliarų c ir d kūno K vienetą e, gau- name (2) formulę, o įrašę d=0, gauname (3) formulę. Todėl (2) ir (3) lygybės yra (1) lygybės išvados. Kita vertus, pagal (2) formulę (c Z+d1) Z=(c E) Z+(d1) 4. Remiantis (3) …