Excerpt
n Kadangi suma ž A,;b„ yra determinanto d; skleidinys j-ojo stulpelio ele- mentais, tai S į c;=d;|d (= 1 25) Pavyzdys. Pasinaudoję Kramerio formulėmis, išspręsime tiesinių lygčių sistemą 2x,+2x> —x5+x,=4, 3x11+3x;—2x;1-2x,=6, 5Sx,-+8x1—3x544x,=12, …
Excerpt
Kiekviename iš determinantų d; (j=1, 2, ..., 2) yra nulinis stulpelis, todėl tie determinantai lygūs 0. Kadangi sistemos koeficientų matricos determinantas d nelygus nuliui, tai homogeninė Kramerio sistema turi tik nulinį sprendinį x,=d;/d=0 (j=1, 2, -.., …
Excerpt
Pastarąją sistemą patogu spręsti Gauso metodu. Kadangi tiesinių lygčių sistemos elementariaisiais pertvarkiais ($ 1) yra kei- čiami tik jos lygčių koeficientai ir laisvieji nariai, tai vietoj (9) lygčių sistemos galima nagrinėti matricą Uu Gr. Gm 0 iai ke …
Excerpt
| 2)! Ė Ž 2 D 01 8 SE oda | il 0 -4 0 300 -( 0 —-3 0| 71 —6 [C15> 040122 12 i 1-0 0 23N1 Tr 0 0 SB =(» 1014-1511 2) (o 1 0| -7/3 —-1B :) d 01 LB 1 1 a 1 1 5/3 —1/3 -—1 1 —7/3 —1/3 24 —2 1 1 Uždaviniai 1. Apskaičiuokite 2-osios eilės determinantus: 32-55] …
Excerpt
a 7. Išspręskite keitinių lygtį fxg=A, kai 2 ( 23 45 2 2 242 475 a ke(! 2456 O Ma i =P ( LL 2.34 475 2 Ats. Ž 5322 8. Keitinį ži 2-3 AS 617 A L 26 2 2) išreikškite nepriklausomų ciklų sandauga. Ats. f=(1, 4) (2, 3, 6) 6, 7). 9. Keitinį 1 S85-4“546 7:8 …
Excerpt
6 ją aaa Aiks 0 0 dl aa ia S 0 a | ai G; as 0 lo 5 5 t 1-2 10 S nas Leo 2 d > Ba Lol d i L TM ldai Lee OL Lasa "1 PA A Ats. a) 5 (eA (1 TDIA B) (— 1670, e) aras an; A) 15 e) (1—1) (1735 £) (x+n—1) (x7—1)771 (— 1700-12, 14. Apskaičiuokite determinantus …
Excerpt
18. Apskaičiuokite reiškinį A+ BX + CX*, ui ( At 5. 1 62312 2 ( ) » (+ 2 ) S = 343472 3 8 Pi 19. Apskaičiavę elementų adjunktus, raskite šioms matricoms atvirkštines matricas: 2 2 241 a ) A a r ee P Aa AS 2 4 3 Kk5E —-8 14 —1 Ats »( A Nu ik 2 š sp--32. 5 …
Excerpt
TdS TAS “a LN < $ 15. Algebrinė operacija * Algebrine (arba binarią ja) operacija aibėje A (A+ 8) vadinamas tos aibės Dekarto kvadrato atvaizdis f aibėje A: f:AxA> A. (1) Kitaip sakant, aibėje A yra apibrėžta algebrinė operacija, kai kiekvienai ai- bės A …
Excerpt
"e r 1 teorema. Pusgrupio bet kokių n (n> 3) elementų kompozicija nepriklauso „nuo skliaustų išdėstymo tvarkos. Įrodymas. Sakykime, a;, a> , ..., a, yra bet kokie pusgrupio (A, +) elemen- - tai. Jei kampoziciją (a,*25*+...+0; „)*0; = 0*05+-.-+0; 150; …
Excerpt
| K k 4 X Iš pastarosios lygybės ir (5) formulės gautume V b=b+xw=bx(a+b')=(b+a) +b'=w+b' =D", todėl b yra vienintelis elementui a simetriškas elementas. Elementui a simetrišką elementą žymėsime d. Tada (5) formulę galime už- rašyti Šitaip: a+04=4+a=W. …
Excerpt
i > Ž i Ma i "AAS PAS žė A i o 7 Kitaip sakant, grupe vadinamas monoidas, kurio visi elementai yra apgrę- žiami. Norint nurodyti grupės G. algebrinę operaciją * ir tos grupės neutra- “ lųjį elementą w, rašoma G=(G, +, w). Ž Terminą „grupė“ pirmasis …
Excerpt
AS Ma P a as o g LAS 52 i k „a, '$ 17. Pogrupiai Nagrinėsime grupės poaibius, kurie yra grupės tos pačios algebrinės opera- cijos atžvilgiu. . Netuščias grupės G=(G, +, w) poaibis H vadinamas jos pogrupiu, kai: 1) bet kurių dviejų poaibio H elementų h, ir …
Excerpt
keitiniai, tai su kiekviena aibės A, Lies pora fir ir g yra tesinsa salas fzg ie 1 Todėl A, yra grupės S, pogrupis. „Grupė A, vadinama n-ojo laipsnio alternatyviaja grupe. Kai n> 1, alternatyvioji grupė A, turi n!/2 elementų. 4. Imkime pilnosios tiesinės …
Excerpt
2 teorema. Multiplikacinės grupės elemento a sveikieji laipsniai yra susieti lygybėmis an. at= gin. (aBj— az (V m, ne ZA 2 (5) Teoremą paliekame įrodyti skaitytojui. Adicinėje grupėje (G, +, 0) vietoj tos grupės elemento a laipsnių apibrė- žiame jo …
Excerpt
6 k EA SAS 4 5 2 * Ž o - 1 1A pikto m aka p SI 10 (YmeN), tai matrica 5 £) generuoja pogrupį H. Vadinasi, H= E. 2 EZRA0o 1)/ 2. Adicinės sveikųjų skaičių grupės pogrupis (2Z, +, 0) yra ciklinis, nes jis sutampa su skaičiaus 2 (taigi ir su skaičiaus —2) …
Excerpt
2 L a 7 R - 27 a B Aaa Ta 4 4 r rinis elemento a laipsnis. Pažymėkime a" mažiausią natūrinį elemento a laips- nį, priklausantį tam pogrupiui, ir įrodykime, kad …
Excerpt
į 2 4 P a a Rd tus, iš (1) formulės išplaukia lygybė a'+b'=(a)p o (bp = (a+b)kp. Remiantis atvirkštinės bijekcijos apibrėžimu, a+b=(a'5b')Jo=1, todėl (a'-b')p-1= =(a') 9-1+(b')p 1. Išvada. Jei grupė G izomorfiška grupei G', tai grupė G“ izomorfiška gru- …
Excerpt
( a O M adiūs 2 ŪG, ) TA ara ap). Nara jaj (aka ai a, Ši a, J-/ "Aa (aj) …
Excerpt
1 iš L mais (x) ai (Vx < s 6 Lianos) grupės G vidiniu automor- izmu. 7 teorema. Grupės automorfizmų aibė yra grupė automorfizmų kompozici- jos dėsnio atžvilgiu. Įrodymas. Imkime bet kokią grupę G ir pažymėkime jos automorfizmų aibę Aut(G). Remiantis 4 …
Excerpt
: (1) formulė vadinama grupės G dėstiniu kairiaisiais sluoksniais pagal po- b Š grupį H. Analogiška formule galima užrašyti ir grupės G dėstinį dešiniaisiais T0DĘ S niais pagal pogrupį H. Abelio grupių abu tie dėstiniai sutampa ir kalbama tie- siog apie …
Excerpt
3) algebrinės struktūros R elementų daugyba yra distributyvi sudėties at- žvilgiu, t. y. bet kurį struktūros R elementų trejetą a, b, c sieja lygybės (a+b)c=ac+bc, c(a4+b)=ca+cb. Algebrinė struktūra (R, +, 0) vadinama žiedo R adicine grupe, o algebrinė …
Excerpt
| p At, ; Įtfodymas. Taikysime indukcijos metodą dėmenų skaičiaus k atžvilgiu. Kai k=2, teiginys išplaukia iš 3 žiedo savybės. Tarkime, kad 2 k-1 k-1 k-1 k-l . ET A a )= (ca;) ir 2 ae J, (a;c). Tada 22 a )= i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 k-1 k-1 k k k-1 S T, …
Excerpt
2. 2-osios eilės kvadratinių matricų žiedas R,x4 turi nulio daliklių. Šio žiedo nulis yra | Žž nulinė matrica (> = todėl matricos 1 i ir Š 2 nėra žiedo R,„, nuliai. Kadangi 1- 01 £0-706 0 0 (; ps 1 Ela „): 120 Sia 0 0 Sea 3 ž tai ( ) yra Įkairysis, o ( ) …
Excerpt
ę 2 T a > Ž Č L 2 i a o A * “> 10 teorema. Žiedui su vienetu izomorfiškas žiedas yra žiedas su vienetu. Įrodymas. Tarkime, kad 6 yra žiedo R=(R, +, 0, -) su vienetu e ir žie- | do R'=(R', +, O', > ) izomorfizmas. Žiedo R' bet kuris elementas a“ turi pirm- …
Excerpt
x010 ir 0 0 (1) formulė yra teisinga, gauname 2 n-1=bą,+r;, 0 …
Excerpt
Žž £. X Pavyzdžiui, skaičiai 1 ir —2 yra skaičių 4 ir 6 bendrieji dalikliai. Sveikųjų skaičių a ir b didžiausiu bendruoju dalikliu vadinamas jų neneigia- mas bendrasis daliklis, dalus iš kiekvieno tų skaičių bendrojo daliklio. Skaičių a ir b didžiausią …
Excerpt
> kr r. K “as T as “| S teorema. Jei d yra sveikųjų skaičių a ir b> 0 didžiausias tai egzistuoja sveikųjų skaičių u ir v pora, su kuria teisinga lygybė E A Vs is As paie A E 2 A 4 „ož R aliklis, | 2 > = imi d=au4+bz. (8) Įrodymas. Lygybė akivaizdi, kai …
Excerpt
„> "E SM a META L P AS L mi ;. S A Sa a £ 11 teorema. Jei sveikasis skaičius c dalija sveikųjų skaičių a ir b sandaugą "ab, o (e, a)=1, tai cb. P Įrodymas. Iš teoremos prielaidos išplaukia, kad au+cv=1 (u, v e Z). Padauginus abi tos lygybės puses iš b, …
Excerpt
1 teorema. Jei p yra pirminis, o a — sveikasis skaičius, tai pla arba (p. a)=1. P Įrodymas. Pažymėkime (p, a)=d. Remiantis apibrėžimu, 4|p ir da. Kadangi p turi tik du natūrinius daliklius, tai d=1 arba d=p. Kai d=1, a ir p yra tarpusavyje pirminiai …