Excerpt
: t S “Pr Aišku, |c; …
Excerpt
iš tų pogrupių priklauso elementas b=a"?“"'. Tada b=e, nes bs Bn C. Iš čia išplaukia a?“""=e. Todėl |a| …
Excerpt
Analogiškai samprotaudami, iš (14) lygybės gautume kitą pogrupio G, išraišką „ūsl el pi! M ia p lo kdo al) (17) Kadangi (16) ir (17) išraiškų kiekvieno dauginamojo eilė lygi p, tai p*=| G, |= =p', arba s=t. Lieka įrodyti, kad (13) ir (14) išraiškų …
Excerpt
5 90. Idealai Žiedo elementų sandaugos su jo požiedžio elementais gali priklausyti tam požiedžiui. Nulinis požiedis yra tokio požiedžio pavyzdys. Aptarsime minėtąja savybe pasižyminčius žiedo požiedžius. Žiedo R adicinis pogrupis I vadinamas to žiedo …
Excerpt
i B mwrwpERPAK Remiantis įrodytąja di galima apibrėžti žiedo sluoksnių pagal idealą daugybą -. Žiedo R=(R, +,0, -) bet kurių sluoksnių a+1 ir b+1I (a, b < R) pagal ide- alą I sandauga laikomas sluoksnis ab+-1I, t. y. (a+1)-(b+I)=ab+1 | (Va, beR). (2) (2) …
Excerpt
so be galo daug natūrinių skaičių. Raide 71 pažymėkime idealo 7 mažiausią natūrinį skaičių ir įrodykime, jog /= (m). Tas teiginys yra ekvivalentus teigi- niui, jog visi idealo I skaičiai dalijasi iš skaičiaus m. Jei bent vienas sveikasis skaičius k < / …
Excerpt
Grupės U (Z,„) eilė lygi skaičiui natūrinių skaičių, ne didesnių už m ir tar- pusavyje pirminių su skaičiumi m. Tas skaičius lygus Oilerio! funkcijos reikš- mei o (m). Priminsime, kad natūrinio argumento m funkcija 9 (m) rodo, kiek yra natūrinių skaičių, …
Excerpt
kurį branduolio Ker 6 elementą x. Kadangi (ax)ą =(a)g (a)p =0'- (a)p=0", tai elementai ax ir xa priklauso branduoliui Ker 6. Todėl Ker 6 yra žiedo R idealas. 2 teorema. Jei I yra žiedo R=(R, +.0, -) idealas, tai atvaizdis o: R-R|I, apibrėžtas lygybe …
Excerpt
x; €I,, k=1, 2). Iš idealo I, apibrėžimo išplaukia x; —xx € Tys FXKs Xrr E Ilgi čia k=1, 2, or — bet koks žiedo R elementas. Todėl y—v'=(x1— x1)+-(X> — —x)e L+Ę, ry=rx+rx, e K+I ir yr=xr+xx € K+. Vadinasi, 4+ +/I, yra žiedo R idealas. Žiedo R idealų I, ir …
Excerpt
Įrodymas. Pakanka įsitikinti, jog Z-+- 55 ...Ig= R, nes Kl, ...Ig < G nIkN -.. nI,- Remdamiesi (6) formule, gauname e=x;+7; (x; < L y; € Ip; “ j=1. 2, ..., K). Kadangi idealo elemento ir žiedo elemento sandauga priklau- so idealui, tai teisinga lygybė …
Excerpt
1 teorema. Jei komutatyviojo žiedo idealus Ir, I, ..., I; sieja lygybė ii I,n(2; L)=10) | G=2 245 AO, (2) i=l tai I a(2; 1)=(0), kai I=1, 2 222, k il Įrodymas. Tarkime priešingai: (2) formulė galioja, bet sankirtai In Ž I; …
Excerpt
k k =1,2, ..., K) yra žiedo R požiedis, tai > “ I, < R. Todėl R= Y I,. Lieka i—1 i=1 įsitikinti, kad pastarosios sumos dėmenys tenkina (2) sąlygą. Jei žiedo R m-1 elementas c priklauso sankirtai I,„N iš 2 1,) (m=) Mac Ce WC ti T 05- S Ela < Ai = 2; Ain Iš …
Excerpt
yra žiedo R epimorfizmas į išorinę tiesioginę sumą S=R/ĘL į R/lį 2.4 k 4 R|Ię su branduoliu Kero= E Ti. i=1 4 (kinietiškoji liekanų) teorema. Jei žiedo R su vienetu e idealus Iš, Ix, ..., Ip sieja lygybės I; +-I;= R (i žj; i, j=1, 2, ..., k), tai …
Excerpt
Įrodymas. Sandauga pž Z=1I; yra žiedo Z idealas, todėl galima sudaryti faktoržiedžius Z//; (i=1, 2, ..., s). Jų išorinę tiesioginę sumą pažymėkime S=Z/L4Z/I14 ...4+ Z|I.. Remiantis 3 teoremos išvada, atvaizdis (ajo=(a+5; a+5; ...; a+[) (VaeZ) yra žiedų …
Excerpt
Įrodysime, kad tas atvaizdis yra grupių epimorfizmas. Iš prielaidos (b+nZ)ę=(b+p“Z; b+pkZ: < Z)= =(a+p5Z;a+p:Z; …
Excerpt
2 Sveikasis skaičius a yra tarpusavyje pirminis su pirminio skaičiaus p natūri- niu laipsniu p* tada ir tik tada, kai jis yra tarpusavyje pirminis su skaičiumi p. Vadinasi, aibę natūrinių skaičių, ne didesnių už p* ir tarpusavyje pirminių su p, sudaro …
Excerpt
Pavyzdys. Remdamiesi Laplaso teorema, apskaičiuosime determinantą pualjų 18 14 371412 IA ASA E Sprendimas. Determinantas 4 turi proporcingų elementų 1-ojoje ir 3-ojoje bei 2-ojoje ir 4-ojoje eilutėje. Atėmę iš 2-osios eilutės 4-ąją, o iš 1-osios eilutės — …
Excerpt
Iš įrodytosios teoremos išplaukia šitokia taisyklė. Jei determinantą d, pritaikius jam determinantų 4 savybės 2 išvadą, galima pertvarkyti į trikampį determinantą, tai pastarojo determinanto pagrindinės įstrižainės elementų sandauga lygi determinantui d. …
Excerpt
M79RPPMMMVP Tą determinantą išskleiskime paskutiniosios eilutės elementais: | XI XM Galo a a A) | V (a, X, ADS (— 11 | X Ka (X) AGA) i Xn 1— Xn Taa Oža > Xi) | x (a — X) Iškėlę i-osios eilutės elementų bendrąjį daliklį x;—x, (= 1, 2, ..., 1— 1) prieš …
Excerpt
Matrica vadinama lenktiniais skliaustais! suskliausta stačiakampė realių jų skaičių lentelė AĮ i p 0 | (1) "Am Am2 + Am Skaičiai a;; vadinami matricos A elementais. Matricos 4 elementai sudaro m eilučių ir 2 stulpelių, todėl dažnai sakoma, kad A yra m x …
Excerpt
Pa aprašytas tiesinis kintamųjų keitinys, tai kiekvieną iš kintamųjų u;=x; +Z; ga- lima tiesiškai išreikšti kintamaisiais y4, Ya, …
Excerpt
Kitas matricų veiksmas yra matricų daugyba iš skaičiaus. Imkime (1) matrica A aprašytą (3) tiesini kintamųjų keitinį. Padauginę (3) lygybių abi puses iš realiojo skaičiaus c, gauname e, (ca;;) V; (1 2460 m) (8) j=1 Kintamųjų 04, V5, ---, V, tiesinio …
Excerpt
Įrašę (9) kintamųjų išraiškas į (3) formulę, randame n 1 1 n 2 aj = A, ( ai) Zi (= L 2 m a) j=1 k=1 k=1 j=1 Gautojo tiesinio kintamųjų keitinio koeficientų matrica pažymėkime Su 591 Su S Mais Sai Smi Sm2 Sml Tada iš (11) formulės išplaukia, kad se X. …
Excerpt
Lieka įrodyti, kad V= W. Imkime bet kurį matricos V elementą 2;, (i=1, 2, „m; j=1l,2, ..., I). Remiantis matricų sandaugos elemento išraiška, n n k 0 = a, Urj= r Gir B. LB Csj= r=1 r=l — 14 k n ; k Air b. < S 5 ( Žž Air b.s) Esr= :2 lis Csj = Wij- s=1 1 …
Excerpt
11) Jei matricų A ir B sandauga yra apibrėžta, o c — bet koks realusis skai- čius, tai c(AB)=(cA) B= A (cB). Įrodymas. Kadangi sandauga 4B yra apibrėžta, tai A=(a;;) laikysime m xn-matrica, o B=(b;;) — n x I-matrica. Tada AB= C=(c; j) yra m x I-mat- n …
Excerpt
“Lieka įrodyti matricų U ir W lygybę. Imkime bet kurį matricos U elementą = 1. 2 J— 12523, m Kadanipi n n Ei * Dix Azj = = ajk bys = Vj = Wiys k=1 k=1 žariW— WV- Skaitytojui siūlome savarankiškai įrodyti šitokias matricų transponavimo taisykles: 13) Jei A …
Excerpt
Analogiškai pertvarkę kiekvieną iš 7 pirmųjų determinanto 4 eilučių, gau- sime: 0 0 0 1 5 Cin 0 0 06 4 Co G i 0 OL: OAKCE as Či TL O 05 ba 05 bs 0 —-1. Ol bili Ds ba 0-4 Lė 5 Mona B Tą determinantą išskleisime jo pirmųjų 7 eilučių minorais: | Čin 6 pie E) …
Excerpt
Dabar tarkime, kad matrica A yra išsigimusi. Tada | A |=0. Įrašę tą reikš- mę į (1) formulę, gauname | AB |=0. Todėl matrica AB yra išsigimusi. n-osios eilės kvadratinių matricų daugybos vienetas yra n-osios eilės kvad- ratinė matrica t 0—r- 0 Bel …
Excerpt
Įrodymas. Tarkime, kad išsigimusioji matrica A turi atvirkštinę matricą A-1. Tada AA-1= E. Sudarę abiejų šios lygybės pusių determinantus, gautume |44-1|=| E |=1. Remiantis matricų sandaugos determinanto savybe, | 447], |A| | A-!|, todėl | 4| | 4-1 |=1. …
Excerpt
Sprendimas. Pirmiausia randame matricos A determinantą 242310 NC 102 8 ME (414| 2 ia |) = 0 2 0-2), „|-24-3-2 3 0,2 L3 0',2.| Po to apskaičiuojame matricos A determinanto elementų adjunktus: Au= ži Ki, An=— Tiu =6, A4= EE „=-2, L 02, (TN 2 | 1 T aro …