Excerpt
Teiginys išplaukia iš 2 teoremos įrodyme gautų (2) ir (3) formulių. 2 išvada. Unitariosios transformacijos O4 matrica U ortonormuotojoje ba- zėje tenkina lygybę WA ESĖ (4) Lygybė įrodoma remiantis šio paragrafo 2 ir 77 paragrafo 7 teoremomis. Kompleksinių …
Excerpt
x(£-£). 4 teorema įrodėme, jog ž0- 0); =E- E. Kadangi tikrinio vektoriaus skaliarinis kvadratas < - Iš čia išplaukia |/|=1. Išvada. Unitariosios transformacijos spektras priklauso kompleksinės plokš- tumos vienetiniam apskritimui. Įrodymas. …
Excerpt
Pavyzdžiui, 1 1-i 2+3i 1+i 0 i 2-3 —-i 2 yra Hermito matrica. Išvada. Zermito transformacija ortonormuotojoje bazėje turi Hermito matri- cą. 3 teorema. Hermito transformacijos matrica panaši į tam tikrą realiąją dia- gonalinę matricą. Įrodymas. Remiantis …
Excerpt
bent vieną ortonormuotąją bazę, kurioje normaliosios transformacijos matrica yra diago- nalinė (vektorių skaliarinė daugyba apibrėžta 63 paragrafo (1) formule), kai: t 2-i —1 0 i 2) a-(| ji D). A= 1 eik Yaris š i 0 1 2-i Ats. a) z,=14+i, e,= 2 (15 1)--2— …
Excerpt
XII SKYRIUS EUKLIDO ERDVĖS TIESINĖS TRANSFORMACIJOS Šiame skyriuje apžvelgsime svarbiausias n-matės Euklido erdvės tiesines transformacijas. Kadangi ne kiekviena iš jų turi tikrinių vektorių, tai kai ku- rios teoremos skiriasi nuo atitinkamų unitariosios …
Excerpt
=74-14,(E+1)-(E+1)=(E+7) 4-(E+1) 4. Kadangi (£+1)-(E+ LS E-E+E-n+1-E+1-1=E-E42E- 11171, (E+0) 4-(E+1) 4= =(4+1.4)- (Edind=žd. E4+E4-4i44- Ik 4-1 4= =Ę-Ę+2E2-14+1-7, tai 2E-43=224-14, arba Z-4=E4-1.4. Pas- taroji lygybė rodo, jog transformacija -/ yra …
Excerpt
pr Dabar tarkime, kad 4 yra ortogonalioji matrica. Tada vektorių sistema A/ …
Excerpt
Uio 3) 2 sinę —coso / Kadangi transformacijos O charakteristinio polinomo FA (00-10 2E|- | COS g—Z sin o | š z)= —Z | I—=zž— 0 | sino —COsĘ—Z| žiaki šaknys lygios +1, tai egzistuoja ortonormuotoji bazė (64: 05)=(0)7, 1 kurioje transformacija O turi …
Excerpt
Kita vertus, iš lygybės E,-=LGL! (4) išplaukia nelygybė dim ZL! 0) tinka indukcijos prielaida. Ja remiantis, galima sudaryti to poerdvio ortonor- muotąją bazę Sis Elina aa kSs (/=1 arba 2), (5) kurioje transformacijos O matrica yra E, „žm 0, IS: || 0 sai …
Excerpt
Sprendimas. Transformacijos (O charakteristinis polinomas yra |23-2 23-13 |tt Jo O=|0-:E|=| 13 2/3-> 253 |||= AAA MS Isd= 2 152152 1-zZ 0 0 2 —1/3 2/)3-z 23 |=| —13 1-2 1 |=(1-2(2-z+1), (opa Br ja apa | aa iso | (-1) todėl z=1 — vienintelė realioji …
Excerpt
E Pavyzdys. Įrodysime, kad Euklido erdvės E, panašumo transformacija 2 :EP=kĖ (Vž £.2. Iš čia išplaukia, jog 2 rai "simetrinė. transformacija, Pirmiausia nurodysime simetrinės transformacijos požymį. 1 teorema. Euklido erdvės E, tiesinė transformacija + …
Excerpt
Padauginę skaliariškai pirmąją tų lygybių iš vektoriaus 8 iš dešinės, o ant- rąją — iš vektoriaus « iš kairės, gauname «9 -B=a(4-6)—b(B-B), «-B0 =b(1-14)+a(a- 8). Kadangi 49 -8=+-80, tai b(x-++8-8)=0. Todėl «-+4+8-8=0, nes pagal įrodymo prielaidą b+0. Iš …
Excerpt
dukcijos prielaida. Ja remiantis, galima sudaryti poerdvio L ortonormuo- tąją Ša iš transformacijos 9 tikrinių vektorių 5, ..., €„ (E; 6= lrs;, I; E R; i=2, ..., n), kurioje ta transformacija turi diagonalinę matricą Iš lygybės E,= L G L1 išplaukia, jog …
Excerpt
Įrodymas. Ortonormuotąsias bazes, kuriose apskaičiuotos matricos S ir D, pažymėkime atitinkamai (0,; 05: .-.; 0,)= matrica, tai a L=Mo. žhs0- T... Thin On E5= 4 0,11 021 ša Th On, sia oje is ps AV sim siai mala jei a B Lane sa =imOo tip O05t... T nn On: …
Excerpt
OKT Am Dabar sudarysime matricų S ir D panašumo matricą T. Transformacijos c) tikrinės reikš- mės z= —3 tikrinio vektoriaus E=(x4; x5; x) komponentai tenkina homogeninę tiesinių lygčių sistemą | 4x,+2x;—4x,5=0, 2x1+ X;—2x3=0, — x; =2x;— 2As | …
Excerpt
Realiosios kvadratinės formos kanoninė išraiška, gauta ortogonaliuoju jos kintamųjų keitiniu, vadinama tos formos išraiška pagrindinių ašių sistemoje. 2 teorema. Kintamųjų ortogonaliuoju keitiniu gautos realiosios kvadrati- nės formos kanoninės išraiškos …
Excerpt
Norint užrašyti ortogonalųjį kintamųjų keitinį, reikia žinoti Euklido erdvės R? simetrinės transformacijos „57, kurios matrica yra A, tikrinius vektorius. Tos transformacijos tikrinės reikšmės z,=2 tikrinis vektorius žŽ=(x4; x> ; x;) apskaičiuojamas iš …
Excerpt
kuriuo kiekvieną iš kvadratinių formų /(x4, x> ), g (14, x> ) galima pakeisti kanonine. Tada išraiškų Fs X) Ten ci Vi + (1 Ca: +Ci2 Ca1) Yi Ya Ca Con V3, Es X)T Ch VI + 2 Cas Va Y2 + Ca Vž koeficientai prie skirtingų kintamųjų sandaugų būtu lygūs nuliui: …
Excerpt
1 Eksa 4 ) abu pagrindiniai mi- norai yra teigiami (M,=1> 0, M,=| B |=3> 0), todėl ta forma yra teigiamai apibrėžta. Rasime jos normaliąją išraišką. Kadangi g (14, x> )=(21+x> )?+3x3, tai, pažymėję M= M TA, ! Juisnlis3 sa Sprendimas. Kvadratinės formos g …
Excerpt
Apskaičiuokite tos transformacijos matricą bazėje 1, x, x* ir įrodykite, kad „7 yra ortogo- nalioji transformacija. (2 A28 par 4 Ats. 5 alvė- la k > ip, SMS 2. Raskite Euklido erdvės R? tiesinės transformacijos ./ matricos kanoninę išraišką ir kanoninę …
Excerpt
0 2 2. 6. Raskite diagonalinę matricą D, į kurią panaši matrica a: 3 —1 Aa 2 —-1 3 apskaičiuokite matricų A ir D panašumo matricą O (matrica O apibrėžta nevienareikš- miškai). 4702 0 0 ŽAS“ UT Ats. p-(o 4 2 0=1 1UV3 LŽS 18, 00 = one Mne aps 7. Išreikškite …
Excerpt
1 teorema. Multiplikacinės grupės G pogrupis H yra normalusis daliklis tada ir tik tada, kai gH= Hg (Yg < G). (1) Įrodymas. Jei visi grupės G elementai g tenkina (1) lygybę, tai tos grupės kairiųjų sluoksnių pagal pogrupį H aibė sutampa su dešiniųjų …
Excerpt
$ 86. Faktorgrupė Aptarsime grupės sluoksnių pagal normalųjį daliklį savybes. 1 teorema. Jei H yra multiplikacinės grupės G normalusis daliklis, tai elemen- tų u EeaH ir v < bH (a, b e G) sandauga uv priklauso sluoksniui (ab) H. Įrodymas. Pažymėję u=ah;, …
Excerpt
$ 87. Grupių homomorfizmai Priskyrę kiekvienam lyginiam keitiniui iš simetrinės grupės S, skaičių 1, o kiekvienam nelyginiam keitiniui skaičių —1, gausime grupės S, surjekciją į multiplikacinę dviejų elementų grupę G= (1; —11. Kadangi dviejų vieno- do …
Excerpt
Jei o yra grupės G epimorfizmas į multiplikacine grupę G“, tai aibė grupės G elementų, kurių vaizdai lygūs grupės G" vienetui, vadinama epimorfizmo o bran- duoliu ir žymima Kero. 2 teorema. Grupės G bet kurio epimorfizmo branduolys yra tos grupės nor- …
Excerpt
Teisingas ir atvirkščias teiginys: jei (x)o=(g)p=g", tai x …
Excerpt
Pogrupio elementams atvirkštiniai elementai priklauso tam pogrupiui, todėl c=aį;'a=b,b-! yra sankirtos AB elementas. Kadangi An.B= (e), tai c=e. Iš čia arla=b,b-1=e. Taigi a=a, ir b;=b. Norėdami įrodyti lygybę xy=Yx(Vx e A,Vy < B), pažymėkime z=xyx-!ly-1. …
Excerpt
Pogrupių tiesioginės sandaugos sąvoką galima apibendrinti. Imkime dvi multiplikacines grupes A=(A,-,e,), B=(B,-,e,) ir sudarykime jų Dekarto sandaugą A x B= G. Jei aibės G elementų daugybą apibrėšime tai- sykle (a,: b)e(a;: b;)=(a,a;; bjb)) (Va; < A, Vb; …
Excerpt
Jei |a|=s, o |b|=+, tai iš lygybių a"=g"779= (gy =e, bT= g"ėėn= (gm! = =e išplaukia dalumo sąryšiai sm, £|1, arba m=są, n=tr. (g, reN). (3) Kita vertus, g*'=(ab)"=(a*)' (b*Y*=e, todėl (mn) (st). Iš čia st= (mn) k (k < N). Įrašę į pastarąją lygybę skaičių …
Excerpt
> Žž Raide P; pažymėkime grupės G poaibį, sudarytą iš elemenių, kurių eilės yra pirminio skaičiaus p; laipsniai (i=1, 2, ..., s). Jei a ir b — bet kokie du to poaibio elementai, tai |a |=pk, |b|=p/ (k, I I, todėl | a |=p* (k < N). Kadangi kiekvienas G …