Excerpt
~v 7 ee. Ž iarrisoniec Noredami latai skaniai Plantation el atkart “chpenskas (V. 3 pavaisinti, Lietuvai, Amerikoje Oju--764 Harrison ATP „i manio imi: ans ae 22111 ena DL-PILE „Kas a Cee . MG sc “ego. issigerti ir uzsikasti, uzeikite i Harrison lyne …
Excerpt
5 87. Poaibis. Aibių lygybė 1. Kai kiekvienas aibės A elementas priklauso aibei B, sako- ma, kad aibė A yra aibės B poaibis ir rašoma E arb: BG A. Pavyzdžiai. Il. Aibė 4A= Il c) yra aibės B= (a, Ė, ž d poaibis (Ac B), nes abu ai- bės A elementai b ir c …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Aibės 4A= (a, c, d) ir B= (b, c, d, e) turi du bendrus elementus: cir d. Todėl An B=(c, d). 2. Tarkime, kad Air B yra dvi plokštumos taškų aibės (figūros), apribotos elipsėmis (99 brėž.). Jų sankirta yra užbrūkšniuotoji figūra. 3. Sakykime, …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Aibės X= (4, 5, 6) ir Y= (2, 3) yra sudarytos iš natūrinių skaičių. Galima sakyti, pavyzdžiui, kad aibės X skaičių x atitinka aibės Y skaičius y (x—y), kai y yra skaičiaus x daliklis. Tada 4—2, 6—2, 6—3. Aibės X elementas 5 neturi jį …
Excerpt
Atitiktis f, pavaizduota 102 brėžinyje, yra funkcija, kurios apibrėžimo sri- tis yra aibė (a, b, c, d). Aibės Yelementai x ir x yra funkcijos reikšmės, o aibė (x, 1) — funkcijos kitimo sritis. Funkcija y=/(x) …
Excerpt
ka tas pats aibės Y elementas 8. Antruoju atveju skirtingus aibės (a, b, c* elementus atitinka skirtingi aibės (x, B, y| elementai. Apibrėžimas. Jei skirtingus aibės X elementus atitinka skirtingi aibės Y elementai, tai aibės X vaizduotė i aibę Y vadinama …
Excerpt
| Nusakydami funkciją, turime kiekvienai x reikšmei X, (x4€X) priskirti po vieną kintamojo y reikšmę y,(y, 1, —1—> 1, 2—4, —2—4. Tą funkciją galima nusakyti ir skaičių poromis (0, 0), (1, 1), (—1, I), (2, 4), (—2, 4), ir lentelę [š pdkėės Itin last 8) arp …
Excerpt
Įsižiūrėję į 106 brėžinį, pastebėsime, kad jame pavaizduota taškų aibė išreiškia tą pačią funk- ciją. Ps tą funkciją galima išreikšti formule y=x? (x€ X, ye Y). „ Dvi intervalų [a, 6] ir [c, d] atitiktys 107 brėžinyje yra išreikštos taškų aibėmis (krei- …
Excerpt
2. Jeigu, formulėje vietoj x parašius skaičių x;. galima atlikti visus nuro- dytus veiksmus ir gautasis skaičius yra realus, tai x; vadinamas galima x reikšme. Visos galimos x reikšmės sudaro formulės (reiškinio) egzisiavimįo sritį. =2 i vietoj x galima …
Excerpt
5. Kartais funkcija skirtingoms x reikšmėms išreiškiama skirtingomis formulėmis. Net funkcijas. išreikštas viena formule, dažnai patogu reikšti keliomis formulėmis. Pavyzdys. Funkciją y=x + |x| laikome apibrėžta visų realiųjų skaičių aibėje. Kadan- gi …
Excerpt
tinkamas y reikšmes j;, y3, Y5, ---, Y,- Skaičiavimo rezultatus dažniausiai ra- šome lentelėje. | 2 | I 2 | Ji Ja Ya | " Yn Skaičių poras (x;, Y;), (Xx; V), (X35 Ys), ---, (7, V,) pavaizduojame taškais koor- dinačių sistemoje ir per pažymėtus taškus …
Excerpt
simetriškas pirmajam y ašies atžvilgiu. Vienos lyginės funkcijos grafiką ma- tome 109 brėžinyje. Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios atžvil- giu (111 brėž.), nes kiekvieną grafiko tašką M,(x,, y,) atitinka grafiko taškas …
Excerpt
Šiuo atveju funkcijos grafikas yra virš tiesės y =m (116 brėž.). Skaičius m vadi- "namas funkcijos y=/(x) apatiniu rėžiu intervale Ja, bĮ[. Ė/ Pavyzdys. Intervale ]— 00, +20[ apibrėžkime funkciją y= I +-3*. Ji yra aprėžta iš apačios, nes 1+x2> 1, kai …
Excerpt
5195. Racionaliosios funkcijos 1. Funkciją vadiname sveika racionaliąja, kai ją galima iš- reikšti formule, kurioje yra tik daugybos* ir sudėties veiksmai: y=a,*" 10, x" 1ra X)... ka, ,X4a,. (1) Dešinėje parašyto reiškinio, vadinamo polinomu …
Excerpt
, Pavyzdžiai. 2. Kadangi bet kurią realią x reikšmę atitinka nelygi nuliui reiškinio x* + 1 reikšmė, tai funkcijos = T egzistavimo sritis yra visa realiųjų skaičių aibė — intervalas ]— 00, + oo[. Braižydami tos funk- cijos grafiką (118 brėž.), sudarėme …
Excerpt
s 96. Laipsninės funkcijos Funkcija y=x* vadinama /aipsnine; rodiklis « — bet kuris realus skaičius, nelygus nuliui. Laipsninės funkcijos egzistavimo sritis pri- klauso nuo rodiklio x. Adi Pavyzdžiai. 1. Funkcijų y=x* ir y=x* = | x* egzistavimo sritis yra …
Excerpt
$ 97. Rodiklinės ir logaritminės funkcijos 1. Funkcija y=a* (a — teigiamas skaičius, nelygus vienetui), ž 525 Ie = 1 12 31 2 vadinama rodikline. Pavyzdžiui, y=92*, »=(5) 3 y=(š) 2 y=(> ) ir pan. yra rodiklinės funkcijos. Rodiklinės funkcijos y =a* …
Excerpt
Logaritminės funkcijos y=10g,x egzistavimo sritis yra intervalas ]J0, + oo[, o kitimo sritis — intervalas ]— 00, + oo[. Pirmojo intervalo vaizduotė y=1og,x į antrąjį yra abipus vienareikšmė. Atvirkštinė funkcija x=a7 yra rodiklinė. Kai a> 1, funkcija …
Excerpt
Palyginę paskutines dvi lygybes, matome, kad funkcija y =sinx yra perio- dinė, o skaičius 27 — jos periodas. Iš to aišku, kad intervalo 1-0, +0[ vaizduotė v=sin x į intervalą [—1, 1] nėra abipus vienareikšmė. Funkcijos y=sin x grafikas, kurį kartais …
Excerpt
aibėje X, kurią sudaro visi realieji skaičiai, išskyrus = +kz. Tą funkciją žy- mime simboliu tg: L šo Kadangi taško B ordinatė y“ gali būti bet kuris realus skaičius, tai v' = =tgx yra aibės X vaizduotė į intervalą ]— 0, + 0[. Jei du lankai AM ir AM“ turi …
Excerpt
Funkcijos y=ctg x grafikas pavaizduotas 125 brėžinyje punktyrinė li- nija. Iš jo matyti, kad intervalo ]0, z[ vaizduotė y=ctg xįintervalą ]- 00, + o0[ yra abipus vienareikšmė. S 99, Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos 1. Intervalo Y= [ -Z , 3) …
Excerpt
Vadinasi,[funkcija y =arctgx yra apibrėžtaintervale X =]— 00, + co[,o jos reikš- mės sudaro intervalą Y =|-Z : 1. r Šita funkcija apibrėžimo intervale 1-0, +0[ didėja (128 brėž.). 129 brėž. 4. Intervalo Y=]0, z[ vaizduotė x=ctg y į intervalą X=]— 0, + x[ …
Excerpt
X yra apibrėžta funkcija z=/(x), kurios reikšmės priklauso aibei Z. Aibėje Z savo ruožtu apibrėžta funkcija y=g(z), kurios reikšmės priklauso aibei Y. Atitiktimi f aibės X elementui x, priskiriamas aibės Z elementas z,, o ati- tiktimi g šitam elementui z, …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Nustatysime funkcijos egzistavimo sritį, kai funkcija pateikta formu- le: 1 a "EA Čia galimos tik tos x reikšmės, kurios tenkina šitokią nelygybių sistemą: 1g(1—x)0, | 2 1-x> 0, x;+220. Iš tos nelygybių sistemos gauname jai ekvivalenčią …
Excerpt
3. Aibę A sudaro visi natūriniai skaičiai, dalūs iš 5, o aibę B — visi natūriniai skaičiai, kurių dešimtainės išraiškos paskutinis skaitmuo yra arba O, arba 5. Įrodykite, kad A=8B. 4. Aibę A sudaro visi statieji trikampiai, o aibę B — visi lygiašoniai …
Excerpt
13. Nubraižykite žemiau pateiktų elementariujų funkcijų grafikus: i 1 a) y=xX3—3x3; d) ISA55 E Į 1 1 BF Lia | e) y=Xt * = a > - f) 1 2. > 14. Nubraižykite žemiau pateiktų funkcijų grafikus: A) y=ixl; c) y=xį| XI; 1 š 5 Br-5 G+lzi): d)y=2*|. 15. …