Excerpt
Jeigu ir lygybėje (A), ir visose pastarosiose lygybėse kintamąjį x pakeisi- me skaičiumi 0, tai gausime (0) = 27 (0) Za 70) =2057-(0) la 79O0JE na 25 Iš parašytųjų lygybių aišku, kaip apskaičiuojami eilutės (A) koeficientai: * (0 " (0 " (0) f (0) a,=/ …
Excerpt
2. Funkciją f (x) =sin x irgi galima išreikšti laipsnine eilute. Tam reikalui apskaičiuojame išvestines: f'(x)=cos x, f" (x)= —sinx, f" (x)= —cos x, f90 (x)=sinx, ... Vietoj x parašę skaičių 0, gauname funkcijos f(x)=sin x išvestinių reikšmes taške 0: …
Excerpt
Kai rastąsias išvestinių reikšmes parašome (8) lygybėje, gauname vadinamąją binominę eilutę: (+x=1i r RED a, p EGO (19) 1! n! Jei x=m, o m — natūrinis skaičius, tai daugiklis x — 27+1=m-—n11 yra lygus nuliui, kai 1=m+ 1. Vadinasi, tokiu atveju …
Excerpt
Jeigu tarsime, kad l asliirtart--tZ7 tai padarysime paklaidą lako iai Pržgkooi eid (n+1)! ta (n+3)! (n+!)! [ ET .| < R,= L = mir lele si rr 1 1 1 = [ 5 TP A Sumą laužtiniuose skliausteliuose galima rasti, kaip begalinės geometrinės =. Ši 1 progresijos su …
Excerpt
galime apskaičiuoti sinuso reikšmes. Kadangi eilutė yra alternuojanti. tai apytikslės lygybės xanti x xš 17 sinx=1——— > , 2 10 1) TaTDT 3! 5! paklaida R,„,, yra mažesnė už pirmo atmestojo nario modulį: 2 į2n+3 Ri, < (2n+3)! a Imdami x=1, apskaičiuosime …
Excerpt
4. Natūrinių logaritmų skaičiavimas. Čia parodysime, kaip apskaičiuo- ti sveikų teigiamų skaičių natūrinius logaritmus. $ 201 išvesta formulė 2 a 14-24 1 In(1 +x)=*—> 7+ ITG mr E 85 tam reikalui netinka, nes ta eilutė diverguoja, kai x > 1. Iš jos gausime …
Excerpt
1 1 Ž G ĖiĖ DR re S pakeisdami dides- Šią paklaidą įvertinsime, trupmenas ne trupmena 5— Ti ; tada turėsime nelygybę 2 l | 1 Ra-1€ 551 ATI [1-+ …
Excerpt
tinkančią visoms x reikšmėms ($ 203, 2). Ją panariui padaliję iš x, gauname formulę sin x S až gė RR air ioo kurios dešinėje esanti eilutė konverguoja intervale |—- 00, + oo[. Tokią eilu- tę galima panariui integruoti nuo O iki 1: 1 1 sin x r [ 5 dx= | L …
Excerpt
kuri konverguoja, kai |x—a| …
Excerpt
Todėl Inx=ln 141 ( …
Excerpt
Sąlygoje pasakyta, kad ši eilutė konverguoja. Kadangi [a | |-+ [55|-----+[5,|+---- irgi konverguoja (remiamės teigiamųjų eilučių palyginimo požymiu). Vadi- nasi, eilutės (A) ir (B) konverguoja absoliučiai, o pagal apibrėžimą tai ir reiškia eilutės (C) …
Excerpt
kurios suma yra e*. Kadangi (21) eilutė gaunama iš (19) eilutės, kai z=x yra realus, tai (19) eilutės sumą natūralu žymėti eZ. Vadinasi, Zz z Žž. =. 1 irigi ais ais : (22) Atskiru atveju, kai z=/x yra grynai menamas (x — realus), iš (22) lygybės gauname i …
Excerpt
Nurodysime paprastą atvejį. kai trigonometrinė eilutė konverguoja intervale ]— 00, + 00[. Teorema. Jei iš trigonometrinės eilutės (T) koeficientų sudarytos eilutės a,+05+...+a,+-.. ir b+b;+-...1+b,+-.. konverguoja absoliučiai, tai trigonometrinė eilutė …
Excerpt
Į pateiktąjį klausimą atsakoma platesniuose vadovėliuose: funkciją f (x) ūntervale ]— 00, + o0[ galima išreikšti trigonometrine eilute, kai f (x) ir f' (x) yra tolydinės tame intervale. ; 5 208. Furjė koeficientai Sakykime, kad funkciją f (x) intervale ]— …
Excerpt
Norėdami rasti koeficiento a, (n=1, 2, ...) išraišką, eilutę (T) padaugin- sime iš cos nx ir integruosime panariui: T T T [ f(x) cos nxdx=-3 i! cosnxdx + [ap / COS X COS nxdx + —z —T —T T T +6, [ sin X COS nxdx)+ (as Ė COS 2x cos nx dx + E ke T T +b; [ …
Excerpt
Lengva pastebėti, kad (24) formulė yra (25) formulės atskiras atvejis (kai 2=0), todėl iš (25) formulės, imant n=0, 1, 2, ..., galima rasti a4, a, das šš S Norėdami rasti koeficientus b,. eilutę (T) padauginsime iš sin nx ir iu- tegruosime panariui nuo —7 …
Excerpt
Skaičiai a, ir b,, randami pagal (25) ir (26) formules, vadinami funkcijos f(x) Furjė koeficientais. Trigonometrinė eilutė su tais koeficientais vadinama funkcijos f(x) Furjė eilute. Kaip minėta, Furjė eilutės suma sutampa su funkcija f(x), jei f(x) ir f' …
Excerpt
Panašiai įsitikiname, kad tuo atveju, kai funkcija D (x) intervale [—a, a] yra nelyginė, - Ž | O (x)dx=0. Imkime tokią /yginę funkciją f(x), kurią galima išreikšti Furjė eilute. Tada f(x) cos nx yra lyginė funkcija, nes f(-x)cos n(—x)=f (X) cos nx, o …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Funkciją f(x)= |sin x| išreikšime Furjė eilute. Lengva pastebėti, kad funkcija |sin x| yra tolydinė intervale ]— co, + 0o[ir turi periodą: 27 (jos mažiausias periodas yra 7). Jos išvestinė 5 cos x, kai sinx> 0, £ (6) = R —cos x, kai sinx Ž …
Excerpt
2. Išreikšime Furjė eilute funkcija f(x)=aresin (sin x). Ši funkcija yra periodinė su periodu 27r, nes sin x yra periodinė funkcija su periodu 2. Todėl ją pakanka ištirti, sakysime, intervale [- =, 2). Kai …
Excerpt
Abu pastaruosius integralus apskaičiuojame atskirai, integruodami dalimis: ki T = ž nr nn ž TcosO=— sin > E A X COS NX COS ZX 2 Dr | xsinnxdx= — S Žanrai i 2 2n n 0 nr nr š ( JC = š COS ZIX k E ' T-—X) cos nx f (z—x)sinnxdx= — — — - | dx= E + S ž n ž n 2n …
Excerpt
Kad lygybė f()=5 +(4,c0sx+6; sin x) + (a; cos 2x +b,sin 2x) +... + +(a,cosnx+b,sinnx)+... būtų teisinga uždarame intervale [—, 7], turi būti f(—7z)=f (7), nes eilutės suma, kai x= —7 ir kai x=7, turi vienodas reikšmes: S (—7)=S (7). Šis atvejis …
Excerpt
Toliau, integruodami dalimis, randame a„, kai n=1, 2, ...; T T 9 a 9 “ a 2 fiaicasaidia EE TŽ AU ads TE. Ža T n 0 G 2 0 0 T 4 4 T 4 r =— — f xsinnkdė > = [ cos nx dx = nr J n 0 KT 2 0 0 4cos nz 4 — 22 as nž 2) nž Vadinasi, Ta cos 2x cos 3x COS 1X 12 gaz …
Excerpt
Ši funkcija nelyginė, todėl visi koeficientai a, lygūs nuliui, o T T 92 : bi=— | xsinnedy=-Ž.T00S NK E142: [cos nxdx= 17 T 0 TIE 0 0 9 4 cos nz=(—1)7+1.—, n n Vadinasi, x=2 (sin „—282* au a rpiia, SNm, 2 3 n / kai …
Excerpt
Vadinasi, ieškomasis sprendinys išreiškiamas eilute o TUafo eko AIOG E (CC =). a, COS = sin —,» n=l! / kurios koeficientai a, apskaičiuojami pagal (51) formulę. $ 226. Šilumos laidumo diferencialinė lygtis Duotas ilgio / homogeninis izoliuotas virbalas, …
Excerpt
Vadinasi, šilumos kiekis elemente 4B per minėtą laikotarpį pakito dydžiu “r Ou(x+Ax, t) Ou(x, t) A9=k [T S Žž S Ar Pritaikę laužtiniuose skliaustuose esančiam funkcijos —— pokyčiui Lagranžo formulę, gauname Ožu (E, 1) B i Ax-S- At, (52) imdami atitinkamą …
Excerpt
Iš pradžių rasime sprendinį, nelygų tapatingai nuliui ir tenkinantį kraš- tines sąlygas. Tarkime, kad ieškomasis sprendinys yra sandauga u(x, )=X (x): T(r), kurioje X (x) yra tiktai x funkcija, o T(+) — tiktai t funkcija. Kadangi A X T(), o Č-X()-T (J, …
Excerpt
Kaip ir $ 225, pakanka imti teigiamas 7 reikšmes, todėl =, 1 24. X(x)=Bsin T, IB(0S cg CT jų 1 nza Jr 1 + HNTX u(x, t) = sin , Kiekvienai n reikšmei galima imti skirtingą konstantą BC; todėl ją žy- mėsime a,, O atitinkamą sprendinį u, (x, ): (2): NrX ; …
Excerpt
1 = Ža . 5 2 —9x2 “ = . UŽ - Ats. a) y= Cx; „b) xy=C; O) > =271C; d) y CI | e) y V f) 1+5*=C(1—x7); g) y=Ce*; h) y=Csinx-a. 2. Raskite diferencialinės lygties paai LEA AT IIA sprendinį, tenkinantį sąlygą …
Excerpt
10. Keitiniu y/=p, y“=p 2 išspręskite šitokias diferencialines lygtis: a) 1+(79*=2yy"; d) 20679*=(6— y"; b) (v)*4-2yy"=0; e) y"+1=0. e) vy"+60)=1; o] Ats. -a) (x+C3)*=4C, (y—C;); b) y=C, (x+ C)) +C)=C,+x; e) C.y*+1=(C, x+ C;)2. + 0) (X1+C)*—7*= Ci; d) y …