Excerpt
5. INTEGRALŲ DIFERENCIJAVIMAS IR INTEGRAVIMAS t. 3. Tunkcijai (p) diferencijuojama taške y, ir šiame taške teisinga (2) lygybė. Bet taškas y, intervale B buvo pasirinktas bet kaip, todėl (2) ly- gybė teisinga bet kokiems y e B. < 1 išvada. Jei …
Excerpt
XII 1INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ > Ši teorema sutampa su Tonelio teoremos išvada (XI. 11). 0;+ 0 —0;1- In x 292 …
Excerpt
5. INTEGRALŲ DIFERENCIJAVIMAS IR INTEGRAVIMAS t. y. gauname C=0. Todėl 1 I(0= | * dx=-Wn(1+9). 0 Įrašę a=1, gauname 1 | GE aki r 2) In x 2 pavyzdys. Apskaičiuosime integralą K= f e-* dx. 0 Pastebėkime, kad funkcija f(x)=e-* priklauso klasei L (0, 00). Iš …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ ir todėl pagal 3 teoremą “o [S09= [a Pereoais Jar J veP KD dy = 0 0 0 0 0 1 1 alga =» (AR a | 7 = T 0076 4-5 | Tea, 7 O 0 0 Iš (5) ir (6) gauname K*=/4, taigi K“ | e" dx = ius (7) 0 Pastebėkime, kad, …
Excerpt
6. INTEGRALAI SU KINTAMAIS INTEGRAVIMO RĖŽIAIS > Tegu j0, y €B, yŽy, ir y, yra aibės B ribinis taškas. B (0) S0= | 76“ «(») (vo) B (vo) B 0) = | fe Nd | f6 Da | 76 Dak= « (x) a (0) B (vo) =I, (V) + 950) + 95 (9). (2) Pagal Lebego teoremą (XII.3, 1 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Lema. Jei funkcija F: [a, b|--R yra tolydi kompaktiškame intervale [a, 6], tai egzistuoja toks taškas x e [a, b], kad b [ F(x dx=F(5)(b—-a). (4) a > Pažymėkime M= max F(x), m= min F(x). …
Excerpt
6. INTEGRALAI SU KINTAMAIS INTEGRAVIMO RĖŽIAIS diferencijuojama intervale (c, d) ir 80) I0= | 2 i O (0), X- 07 (0) X). G) a (x) > Tegu y, y,e(c; d) ir y jp. ; 860) Bo) S LS E 52 Ee a O) a (vs) Bo B0) = 555 ( J 76 nai | fo na | G pak— a (x) (ys) B(0) B(99) …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ čia B0) …
Excerpt
7. INTEGRALŲ TOLYGUS KONVERGAVIMAS D Įrodymas išplaukia iš Koši kriterijaus (XII. 2, 1 teorema), pritai- kius jį funkcijai F(y, +) ir atsižvelgus į lygybę FG, )-FG, 1)|=| | £65 ndx- | 76, pax |= =| [f6s pax]. a 2 teorema (Vejerštraso požymis). Jei …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 2 pavyzdys. Įrodysime, kad integralas 0] d Isinas f e 52 dx 0 konverguoja tolygiai parametro as [0, + 00) atžvilgiu. Pažymėkime Ka sin U F(x)= || 5, dy —10E 0 Tegu 0ir O l sin x | € aa || Z- …
Excerpt
8. TOLYGIAI KONVERGUOJANČIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS 8. Tolygiai konverguojančių integralų savybės Sakykime, kad as R, be R, BcR", y, — aibės B ribinis taškas, f(x, y) — funkcija (a, b) x B—-R ir integralas b 70)= | 6, X) dx (I) konverguoja kaip netiesioginis …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ konverguoja. Perėję prie ribos (3) ir (4) nelygybėje, kai +/—b— , gauname: b b | Iie: J)dx| < < ir || g) dx| < < 12 ij visiems …
Excerpt
S. TOLYGIAI KONVERGUOJANČIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS > Tegu +e (a, b) ir 0. Pagal 3 teoremos sąlygą funkcija f(x, y) yra tolydi kompaktiškame 74-1-mačiame stačiakampiame gretasienyje [a, :] x B. Todėl pagal Kantoro teoremą ji yra tolygiai tolydi. Taigi egzis- …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Pastaba. Kai y=c, arba y=d, tada 26 D suprantama kaip vie- našonė išvestinė. Ž > “Tegu J, Jos (c, d), V £Jo- Tada b IO) -I0) — [ P, 065 V) dy (8) y-Yo Y-Jo Ž Teorema bus įrodyta, jei įrodysime, kad (8) …
Excerpt
8. TOLYGIAI KONVERGUOJANČIŲ INTEGRALŲ SAVYBĖS Įrodysime, kad bet kokiam te (a, b) Go 7)— f(a, Yo) Aosę Of (x, Vo) Y-Jo0 Oy tolygiai x < (a, +) atžvilgiu, kai v—j4. Iš tikrųjų pagal Lagranžo vidurinių reikšmių teoremą tarp y; ir y egzistuoja toks skaičius …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ > Pagal XII. 5, 2 teoremos išvadą kiekvienam < (a, b) yra teisinga lygybė d t t d [d [fo xydx= | dx [76 D) dy. (11) c a c Funkcija t F(e, »)= | 76, > ) dx konverguoja, kai 7+—> b—, tolygiai y < [c, d] …
Excerpt
9. GAMA FUNKCIJA ir 6 (I)=0!=1. Pastebėkime, kad (1) lygtis ir (2) sąlyga apibrėžia funkci- ją Ę vienareikšmiškai. Tikrai o (1) reikšmę apibrėžia (2) lygybė. Tada iš (1) lygybės gauname 9(2)=1-9(I)=1, o(3)=2-6(2)=2-1 =2! 0(4)=3-6(3)=3-2!1=3! Apskritai, …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Todėl funkcija x*-! e-* integruojama x atžvilgiu ir intervalu (I, 10) kiekvienam y e (0, + 0). Kadangi ši funkcija integruojama ir intervalu (0, 1) ir intervalu (1, + 00), tai ji integruojama intervalu (0, -- …
Excerpt
9. GAMA FUNKCIJA visiems y e (a, b), taigi ir taške y4. Kadangi y, — bet koks intervalo (0, c0) taškas, tai (7) lygybė teisinga visiems y € (0, 00). Panašiai įrodoma, kad (7) integralą irgi galima diferencijuoti po in- tegralo ženklu, t. y., kad T) = | 5 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ tervale (0, y,) ir didėja intervale (y4, + 00). Nesunku išsiaiškinti ir funkcis jos T (y) kitimą, kai y—> 0+ ir kai y— 100: Ia O i O E os y—01- y—0+ y nes T (x+1)—T (1)=1, kai y=> 0+-. Jei K — bet koks (kaip …
Excerpt
10. BETA FUNKCIJA Jei x €(0, 1/2), u> 0 ir 0> 0, tai UL) (U— K todėl x*-1(1— x)2-1 < 2511 ir 1/2 5 i - 0 | x = ldy 2 | 0 ir 0> 0, tai Panašiai vertindami gauname: 1 (I ĄT 0 ir 2> 0. Lygybė B (vu, 2)=B (2, u) gaunama (1) integrale pažymėjus 1—x=t: 1 1 B …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ nes cosaxsin kx yra nelyginė funkcija. Kadangi cos ax yra tolydžiai di- ferencijuojama funkcija intervale [— 7, 7] ir šio intervalo galuose įgyja lygias reikšmes, tai jos trigonometrinė Furjė eilutė …
Excerpt
10. BETA FUNKCIJA tai pagal (5) ir Lebego teoremą (VII. 11) 1 1 1 I0= | Tzy d= | Iims,6)dy= lim | 5,0) dy= 0 0 0 š n 1 n 1 T Etasis Lėlė kys 4 [D A I = 1 2 k 24 (6) k=0 Integralą J, (a) apskaičiuosime pakeitę kintamuosius p= is o 1 1 2 y3-1 8) ;7a 2 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Pagal anksčiau įrodytą (4) lygybę kairioji (9) lygybės pusė yra lygi T (u+ +2) B(u, 2). Dešinėje (9) lygybės pusėje užrašyto kartotinio integralo pointegralinė funkcija yra teigiama, todėl pagal Tonelio …
Excerpt
11. FUNKCIJŲ SĄSŪKA t. y. T(1/2)= V x ir todėl T EE iJTĖ . 2 pavyzdys. Suintegruosime integralą T/2 si sintžicosl4 dx. 0 kai p, g€(—1, 400). Pažymėję f=sinžx ir atsižvelgę į lygybę d/= =2 sin xcosx dx, gauname: 1 p-1 4-1 3=> J BA USS d:= 1 B (221, 251 CE …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 1 teorema. Jei f, g < L! (R"), tai f*g < Ll (R") ir I/*g| Pastebėkime, kad integrale [Ige-0)|dx R" pakeitę kintamąjį X—/=u (čia + — bet koks fiksuotas erdvės R" taškas), gauname: [Is6-Oldi= | gt) |du=|gli < 0, …
Excerpt
11. FUNKCIJŲ SĄSŪKA Jeigu ge L! (R"), o f — išmatuojama erdvėje R" ir If(x)| < M beveik visiems x e R", tai f+ g (x) apibrėžta visiems x < R" ir If=g(x)| < M||g||) visiems xe Rr. (4) Iš tikrųjų (g …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 3) fa(g+6)= | £G-u) ( [ K(t)g(u—1) dt) du= R RC 2 Lu is R = [mo ( Ti gs = R = | RO) fkg-Ddr=h+ (+) 0) =U*8)* 16). < R" 2 teorema rodo, kad funkcijų sąsūka turi panašias savybes kaip funk- cijų sandauga. …
Excerpt
11. FUNKCIJŲ SĄSŪKA 1 pavyzdys. Sakykime, kad L kai x> 0, ABO a g(x)=sin x. Apskaičiuosime f+ g (x), kai x < R: +0 x f+8(0)=7*f (6) = | fG-De()d= | e-***sin rdi= Em. [ e' sin fdt =sin x — cos x —e-* | etsin Od =sin X — COS X— f+g (X). Todėl A š E V2 . a …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Pastebėkime, kad LE jei e [Kk x] s6-)=| “Ž ! . : jai (6 RV [x-1, x). ei 2— 11 Ai x Jxg(x)= [ e-4-)ar=e-*. x-1 Jei …