Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE > Teoremą įrodinėsime panašiai kaip teoremą apie kintamųjų keiti- mą dvilypiuose integraluose (X. 17). Sudarykime įrodymo planą. Įrodinėsime iš eilės šitokius teiginius: 1. Jei kiekvienam aibės E taškui …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI visoms funkcijoms fe L (g (4)) (ženklas „+“ prieš integralą (8) lygybėje pasirenkamas, kai A) 20 o ženklas „—“, kai „2500 < 0). Taigi įrodėme (6), kai funkcija g keičia tik n-ąją taško u= …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIAILYPIUOSE INTEGRALUOSE Tada, suprantama, LT i PEŽŲ)S Apibrėžkime funkciją A: E-—-R" lygybe h (u) = (1, 82 (u), “3 Sn (u)), u=(t, -, U„) e E. Kadangi A — tolydžiai diferencijuojama“ aibėje E ir | 1 0 220 |seėsas i Oe Aki CE det …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Kai n= 1, teorema teisinga. Sakykime, kadn — bet koks natūrinis skai- čius ir teorema teisinga erdvėje R"-!, t. y. n— 1-lypiams integralams. Įro- dysime, kad tada teorema teisinga ir erdvėje R". Tegu E < R" ir funkcija g: £—R" …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE nes pagal (10) 025 des | OUs | det Aš (uz, S S |=det (u). gn | Ous TED -- | l Iš (11) ir (12) lygybės, pasirėmę 2 teiginiu, gauname: [/= | /-g-|dta'| g (U) U visoms …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI (užrašas x*4+y*4+22 < Rž po integralo ženklu čia reiškia aibę taškų (x, v, z) < R“, kurie tenkina nurodytą nelygybę, t. y. rutulį su spinduliu R). Pakeiskime kintamuosius: X=r COS Ę sin, y=r sino sin, (13) Zz=r.COSŲ, …
Excerpt
13. KINTAMŲIŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE 27 R r S Ni p2-26 sin V dr do d) = f dr f do [p-s sin Ų dy = 2 LA Žo 4 Ba dit RS-29 3—256 Atskiru atveju, kai c=0, gauname: 4 I0= [If dx dydz=|D|=> TR, D t. y. rutulio D tūrį. Pastebėkime, kad pagal …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI tai IAE 2-2 A R 2 h lo 14 * dz = Th 0 -— 20 Be to, pagal Tonelio teoremą gauname I (6)= + 00, jei 6> 1. 3 pavyzdys. Apskaičiuokime n-mačio rutulio B„(R)=(x < R": |x| < R), R> 0, tūrį | B, (R) |. |B,(R)|= [ 4x= bs jas: das …
Excerpt
13. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DAUGIALYPIUOSE INTEGRALUOSE Pažymėję 1 = [ A—u* Rd, k=0, 1,2, Ce, A (18) lygybę galime perrašyti šitaip: = I Yas (19) Integruodami integralą I, dalimis, gauname: k-2 k- 2 EA [amo du=k [esi 5a 7 di — —1 k k-2 i [am du+k [| (1-1) * …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Jei n — lyginis skaičius, tai pakartotinai pritaikę (23) lygybę gauname: 2 Pr 2 (27)/1-1 a tagai m AA T aTa „ (24) n n(n-2)... nes Ys= T. Jei n — nelyginis skaičius, tai vėl pakartotinai pritaikę (23) lygybę gauname: nzl (27) ? …
Excerpt
15. NETIESIOGINIAI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Sakykime, kad => 0. Kadangi f — tolydi taške a, tai egzistuoja toks 6> 0, kad f(a) —s …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Sakoma, kad f f konverguoja, jei I egzistuoja ir yra baigtinis; priešingu E atveju sakoma, kad | f diverguoja. Netiesioginis integralas f f vadina- E mas absoliučiai konverguojančiu, jei f tenkina (2) sąlygą. Jei f < L (E), tai …
Excerpt
16. RYMANO DAUGIALYPIS INTEGRALAS Pavyzdys. Apskaičiuosime trilypį integralą C a XV I(0=(0) | ! [ => 20420 aibe =, y 2)S RX R 05 E Or 01) Pažymėkime B. rutulį su centru taške (0, 0, 0) ir spinduliu 5/2. "reiia 25 Kadangi aibėje D integralo I («) …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Didžiausią iš aibių E, diametrų pažymėkime 3) (2). Funkcijos f Rymano n-lypiu integralu aibe E yra vadinama integralinių sumų 6(/, 2, Ę) riba, kai X (2)—0: (R) | £6) dx= lim (f, 2, E). = 1(2)> 0 Daugialypių Rymano integralų …
Excerpt
17. TRILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI ir | E(x) |=0, jei xg(0, R). Todėl kūno E tūris R LEI | (Rž-x)dx=Ž RB. N NN S E 61 pav. 62 pav. 2. Erdvinių kūnų masės skaičiavimas. Sakykime, kad yra žinomas trimačio materialaus kūno E tankis d (x, J, z) kiekviename to …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI —> — Pagal (4) R 21 T t cdxdydz | a 378 m= [f 13 =C [ dr [ do | ršl* sinų dy => rcR'!2, x*-y'-2* < R 0 0 0 3. Materialiųjų kūnų inercijos momentų skaičiavimas. Jei S=(M,, ..., M,) yra materialiųjų taškų sistema, / — duotoji …
Excerpt
7. TRILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI MS JŠIB (zž+x2) d(Ax, y, z) dxdydz, E I.= SB (+) 0, y, z) dxdyaz, » E o koordinačių plokštumų atžvilgiu — šitokie: EL ŠIEL ZA 7, 2)ldxkdjida, E Ie = [If x S (x, y, z) dxdydz, E Is= |[f y d (x, y, z) dxdyaz. E 3 pavyzdys. …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Jei E yra bet koks materialus trimatis kūnas, tai jį dalijame į dalinių kūnų baigtinę sistemą 2= (E, ..., E,|. Tegu 6 (M) yra kūno E tankis taške M, d(M) — taško M atstumas nuo plokštumos P ir M; < Ej (j= =1, ..., 1). Tada kūno …
Excerpt
17. TRILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI 4 pavyzdys. Rasime pusės ru- z tulio masės centrą, jei rutuiio tan- kis 6 yra pastovus. Pažymėkime raide R rutulio spindulį ir pasirin- kime koordinačių ašis kaip parody- ta 64 paveiksle. Masės centro koor- dinates …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI Panašiai (F),Zy mų Tai B d (M) |Erl: a (Fr). SYM | M, N 8 = Š(M)| E, | Visos atstojamosios jėgos F ukio ašyje x lygi šitokiai ribai: (F),= lim S mą B 3 — S(M)|E,|- 2(2)—0 k=1 Analogiškai išreiškiamos ir F projekcijos kitose …
Excerpt
19. UŽDAVINIAI 18. Apžvalga Šio skyriaus tikslas — parodyti, kaip, tinkamai formuluojant apibrė- žimus ir įvedant patogius žymėjimus, visas teoremas, kurios buvo įrodytos dvilypiams integralams, galima „perkelti“ daugialypiams integralams. Teoremų apie …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 7. Apskaičiuokite cilindrinio kūno E=((x,y, )e Rš: x*+y7 …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 1. Integralo, priklausančio nuo parametrų, sąvoka Sakykime, kad YCR ir reali dviejų realių kintamųjų funkcija yra api- brėžta aibėje (a, D x Y =((x, y)eR?:xe(a, b), ysY ]. Jei pasirinksime kokį nors skaičių …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 2. Tolygaus konvergavimo sąvokos apibendrinimas Pirmoje šio vadovėlio dalyje buvo apibrėžta funkcijų sekos (f) toly- gaus konvergavimo sąvoka (VIII. 1). įBūtent, jei A yra bet kokia aibė ir f. A-> R, tai seka …
Excerpt
2. TOLYGAUS KONVERGAVIMO SĄVOKOS APIBENDRINIMAS apibrėžimą egzistuoja tokia b aplinka V, kad | f(x, »)- g (x) | < =/2 visiems xeA, jei ye Vn B. Tada L, »)-f7(0, V)I < LJ, »)-20)|+180) — (6, V")| < E £ 2 jei y“, vy" e Vn B, t. y. f tenkina (2) sąlygą. …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ jei y', vy" < V. Perėję (4) nelygybėje prie ribos, kai x-—> a, gauname: |L(V)—L(9)| …
Excerpt
3. INTEGRALŲ, PRIKLAUSANČIŲ NUO PARAMETRŲ, RIBOS 3. Integralų, priklausančių nuo parametrų, ribos Lebego ir Levi teoremas apie perėjimą prie ribos po integralo ženklu (XI. 7) galima pritaikyti integralams, priklausantiems nuo parametrų. Sakykime, kad A …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ Be to, pagal teoremos 1 sąlygą g; < L (4), o pagal 3 sąlygą Igg(0)| …
Excerpt
3. INTEGRALŲ, PRIKLAUSANČIŲ NUO PARAMETRŲ, RIBOS yra integruojama -aibe A ir lim [fG. Ndx= | g 6) dx. (5) PD ž A „> Pasirinkime aibės B taškų seką (y,), tenkinančią sąlygas: (y,) didė- ja, yy=> b ir y„£b. Apibrėžkime funkcijas g, lygybėmis Sk (x) = f(x, …
Excerpt
XII INTEGRALAI, PRIKLAUSANTIEJI NUO PARAMETRŲ 5. Integralų, priklausančių nuo parametrų, diferencijavimas ir integravimas Sakykime, kad 4 yra m-matis stačiakampis gretasienis erdvėje R", B — atviras intervalas erdvėje R, f(x, y) — funkcija A xB—-R ir I= …