Excerpt
11. PERĖJIMAS PRIE RIBOS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE visiems ks N, tai f€ L (O) ir ž T f f 5) dsdy < Tim [| | Aš 3) dady. 0 ko 0 [> Įrodoma taip pat kaip Fatu lema vieno kintamojo funkcijoms (vn 2s 4 Teorema apie ribinės funkcijos integruojamumą. Jei …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Sakysime, kad ; [f £6 Ndsdy=-o, 0 : ž jei [f (76 »)ddy= +. 0 Funkcijų, kurių dvilypiai integralai yra begaliniai, nevadinsime inte- gruojamomis. Tokios funkcijos nepriklauso klasei L (0). Remiantis begalinio dvilypio integralo …
Excerpt
12. IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS IR IŠMATUOJAMOS AIBĖS 12. Išmatuojamos funkcijos ir išmatuojamos aibės 1 apibrėžimas. Funkciją f vadinsime išmatuojama Lebego prasme sta- čiakampyje O, jei ji beveik visur tame stačiakampyje yra lygi salia NOrS laiptuotų …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Pastaba. Kai kuriose knygose ploto ir plokščiojo Lebego mato sąvo- kos skiriasil, Aišku, kad pagal apibrėžimą baigtinio stačiakampio O= (a, b) x (c, d) Lebego matas yra m(0)= | | ž0= [| -1=1-10l=6-9(d—0, R* 0 t. y. sutampa su …
Excerpt
12. IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS IR IŠMATUOJA MOS AIBĖS A At ini adas A Amano k, skritulys B su centru taške (x, y) ir spinduliu r, kad Bc A. Tada atviras sta- čiakampis (m LA 5 =)5( == +17) B IB4N EE B (t. y. įbrėžtas į skritulį B kvadratas) yra skritulio B …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI > yra suskaičiuojamos aibės 001 poaibis, todėl Ė — baigtinė arba suskai- čiuojama aibė, ir todėl stačiakampių (a, b)x(c, d)=V sistema 07 — baigtinė arba suskaičiuojama. < Įrodėme, kad bet kokia atvira plokštumos R? aibė A yra …
Excerpt
| | | Ė br : . | i 12. IŠMATUOJAMOS FUNKCIJOS IR IŠMATUOJAMOS AIBĖS Bet 04> O), nes kiekvieno aibės O|A taško kiekvienoje aplinkoje yra taš- kų su racionaliomis koordinatėmis, taigi aibės A taškų. Kaip matome, m (04) > m (014) > 2/3. 8. teorema. Aibė EC. …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 2 — sistema visų galimų laiptuotų daugiakampių B, tenkinančių sąlygą B> E (36 pav.). Laiptuotų daugiakampių A ir B plotus pažymėkime ati- tinkamai | A | ir |B |. Skaičių |El|„=sup(|A|: Ae/) vadinsime aibės E vidiniu Žordano matu, …
Excerpt
13. DVILYPIO INTEGRALO SUSKAIČIUOJAMASIS ADITYVUMAS yra funkcija, integruojama visa plokštuma R?, t. y. jei ji € L (R?); funkcijos J integralą aibe E apibrėšime lygybe [J -[1/ 1 teorema. Sakykime, kad plokštumos R? taškų aibės E ir e yra išma- tuojamos …
Excerpt
X. DVILYPIAI INTEGRALAI 1) jei E LUP) Ataijs E(ep) (1 ni [J f65 Naxav= > ; | J 76, 5) dady: 2) E k=1 2 2) jei fe L (e,), kai k=1, ...,n, tai f€ L (E) ir teisinga (2). 2 teorema (apie dvilypio integralo suskaičiuojamą adityvumą). Saky- kime, kad …
Excerpt
13. DVILYPIO INTEGRALO SUSKAIČIUOJAMASIS ADITYVUMAS Apibrėžkime funkcijas /; lygybe: f =max(-kF, min(f, kF)), keN, (5) beveik visur aibėje E (tuose aibės E taškuose, kuriuose apibrėžta funkcija £). Iš (5) išeina, kad |/4 | 0 ir tokį Ne N, kad būtų I …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI jei £ m (e) < 5p- (7) Pažymėkime Š= Žrpo Iš (6) ir (7) nelygybių išeina, kad pasirinktas skai- čius 8 tenkina teoremos formuluotėje nurodytas sąlygas. < 14. Aibės E- R“ pjūviai 1 lema. Aibė AC R yra nulinio linijinio Lebego mato …
Excerpt
14. AIBĖS E Šios lemos įrodymas gaunamas iš 1 lemos įrodymo, pakeitus žo- džius „intervalas“, „intervalų sistema“, „Entervalų ilgių suma“ žodžiais „stačiakampis“, „stačiakampių sistema“, „stačiakampių plotų …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI yra laiptuotos, taigi ir integruojamos, neneigiamos ir jų integralų eilutė konverguoja, tai pagal Levi teoremą funkcijų eilutėms (VIII. 4, 2 teore- ma) > Bl, O) < X (3) k=1 beveik visiems x € R. Sakykime, kad taške x,€ R teisinga …
Excerpt
15, FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS 1 giai apskaičiuoti dvilypių integralų. Šiame poskyryje išsiaiškinsime, kaip galima dvilypių integralų skaičiavimą suvesti į vienalypių integralų skai- čiavimą. Sakykime, kad A ir B — du bet kokie realiųjų skaičių aibės R …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Sakykime, kad fe L,(AxB). Pagal L, apibrėžimą egzistuoja tokia laiptuotų stačiakampyje 4 x B funkcijų seka (2;), didėjanti ir konverguo- janti beveik visur plokščiojo Lebego mato atžvilgiu į /, kad [f /= in [|] e (4) AxB AxB Pagal …
Excerpt
15. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS visiems (x, y) e (A x B)E. Pažymėkime E (x) aibės E pjūvį taške x: E(x)=[(yeB: (x, yleE). Pagal teoremą apie nulinio mato aibių pjūvius (X. 14) aibės E (x) yra nu- linio linijinio Lebego mato aibės beveik visiems x € 4. …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI ir panašiai [| 7= | 6 [76 has. AxB B A Iš šių lygybių išplaukia (8). …
Excerpt
15. FUBINIO IR TONELIO TEOREMOS 2 atvejis. Stačiakampis A xB — begalinis. Egzistuoja tokios baigti- nių intervalų sekos (4;) ir (B,), kad Ap < Apį) < A, BC B;,CB visiems keN, 64] AS Al Ais (J B;,=B k=1 kZi Di US funkcijas g4 lygybėmis Sk Ex=J: Xa, xB, > …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI kai funkcija f tenkina (11) sąlygą, yra teisinga (10) lygybė. > Jei feL(AxB), tai ir |f|EL(Ax B) ir pagal Fubinio teoremą, pritaikytą funkcijai | / |, yra teisingos (11) nely- gybės. Ir atvirkščiai, jei / — išmatuojama ir tenkina …
Excerpt
16. KAVALJERIO PRINCIPAS todėl 1 1 2 2 1 : 2) 12 y UZ 1 | dx i (x2 + y2)2 dy= [ x +-y2 |y=0 dk = 0 0 0 R 1 lp aė Ua lai La 5 s! T dx arctgX|o= 7 0 Antrasis integralas apskaičiuojamas analogiškai. Stačiakampyje (0, 1) x x(0, 1) funkcijos f dvilypis …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Todėl (2) lygybę galima užrašyti šitaip: m.(E)= | dx | xs050)dv= | m (E 6)) dx. R R R Kadangi funkcija m, (E (x)) integruojama intervale R=(— oo, 400), tai ji yra ir išmatuojama. 2 : 2 atvejis. m; (E)= oo. Pažymėkime O,=(—k, k)x(-k, …
Excerpt
17. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE kiekvienai / < L (a, b). Jei g mažėja, tai panašiai įrodinėdami gautume: b a . 8 ) i [/04x= [ /(s0)s' (0a= | Ke) (-0)d (2) a B a 1 Kai g — griežtai mažėjanti funkcija, tada …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI tai Ik, [ f, y) dxdy= / | f(g(u, 2))-|detg' (u, 2)|dudo (8) £(E) visoms funkcijoms f < L (g (E " Pastaba. (8) lygybę galima ir detaliau užrašyti. Iš (5) lygybės išplau- kia, kad „senieji integravimo kintamieji Xx ir y“ yra susieti …
Excerpt
17. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE 4. Kiekvienam aibės Z taškui egzistuoja atvira stačiakampė aplinka g, kurioje g=k=/h ir funkcijos h, k savo apibrėžimo aibėse g ir A (g) tenki- na teoremos sąlygas ir keičia tik po vieną taško koordinatę. …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Apibrėžkime aibes e; lygybėmis k-1 aaa 78 das 523 j=1 Tada k-1 s(e)=:0) Ir s(e)=s (6) | | £ (60, k=2, 3, --. j=1 Kadangi aibės g, ir g (44) — išmatuojamos, tai ir aibės e; ir g (e;) — iš- matuojamos (X. 12). Be to, aibės e; poromis …
Excerpt
17. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE Kadangi pagal teoremos sąlygas det g“ (u, 2) Z0 visiems (u, 9) eg ir 1 det g' (u, 0)= | Ops lu, v) Og> (u, 0) — ME 0 , 0u 00 tai Aa) *0 visiems (u, 9)eg, todėl kiekvienam fiksuotam ue(ax, B) vieno kintamojo …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Tada [| 7- [J f= | | fekldik'|= g (E) k (r (E)) h (E) k f(kls, £))|det k' (S, t)|dsdt= = [f 7 (k (hu, 2))) Įdetk' (I (u, 2) |-|det/' (u, e) |dudo= E Ž J)! f(g(u, 2))|detg' (u, v)| duda, E t. y. teorema teisinga funkcijai g=ke/A, jei …
Excerpt
17. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE Tada koh(u, 0)=k(h(u, v))=k (ga (u, 0), 0)= = (gi (us 2), gaoh7 (hi (u, 2)))= (Bi (u, 2), gau, 2))=a (t, 0). Pagal teoremą apie sudėtinės funkcijos išvestinę (IX. 17, 6 teorema) a (Ua) k (h (u, 2))eh/ (u, 2) …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI ir m(g(E)) < ol. Tada [[ 1-1] aoo- J] a4letoi (14) (E) g(E) ir (13) gaunama perėjus prie ribos (14) lygybėje, kai …