Excerpt
20. RYMANO DV1LYPIS INTEGRALAS (čia | E | — aibės E, plotas) vadinsime funkcijos / integraline suma, sudaryta aibei E. Pažymėkime 2=(E,, ..., E„!. Pavadinkime aibės Er diametru skaičių Ak =5Up a loGE os UD) Ikš (Gr y.) (Ge Y')eE,), k=1, 2, ..., m. …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Panašiai funkcijos f apatine Darbu suma, atitinkančia tą pati aibės E pa- dalijimą, vadinsime sumą m 2— 2 Ep] (3) k=1 kurioje + my— ah SG, 9), IG IAEB m. G, ve E, Teigiamos funkcijos f dvilypis integralas, integralinės ir Darbu …
Excerpt
20. RYMANO DVILYPIS INTEGRALAS Žinoma, čia užrašytų samprotavimų apie dvilypio integralo, integra- linių ir Darbu sumų geometrinę prasmę negalima laikyti (4) lygybės įrody- mu. Tačiau tie samprotavimai iš dalies paaiškina, kodėl (4) lygybe galima …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 2 išvada. Visų funkcijos f apatinių Darbu sumų tikslusis viršutinis rė- žis yra ne didesnis už visų viršutinių Darbu sumų tikslų jį apatinį rėžį, t. y. sups (2) < inf S (2). 2 2 Skaičiai I, =sup s (2) ir I*=inf S (2) atitinkamai …
Excerpt
20. RYMANO DVILYPIS INTEGRALAS todėl 0 …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI cijos, sudarytos kaip šio skyriaus 10 poskyrio teoremoje. Tada seka (9;) didėja ir 0,„—> / beveik visur, f€ L (O) ir [ I 9 > (L) | |! J (9) [0] 0 Pagal funkcijų 4 apibrėžimo būdą kiekviena funkcija o, yra taip apibrėž- ta …
Excerpt
21. DVILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI plotą (47 pav.): 0 BIS | xe p)dx= alĖ | i Elas / dy Ė R — 0 — 1 2—2y3 1 = | 6 | d= | (-> 94y=2. 1 1—j2 1 2 pavyzdys. Sakykime, kad c> 0 ir D=(į(rcoso, rsinę)eR*: …
Excerpt
X DVILYPIAI I NTEGRALAI čia f — neneigiama funkcija (x, £)—R. Skaičiuodami panašiai kaip 2 pa- vyzdyje, gauname: 2SĖ dx dy = IL rdrdo= ED) B J (9) : : | do | Edr=S | (/ (9)? dą. Taigi ar Ž “s |(D|=5 J (/(0)*49, (2) jei sritį D apriboja du spinduliai 6=x, …
Excerpt
21. DVILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI 1 - 2 4 1 =22 [ (1—)rar=22 (7-Ę) LŽ: 0 3. Plokščių jų kūnų masės skaičiavimas. Sakykime, kad yra duota ko- kia nors materiali plokštelė E, kurios storį, apytiksliai skaičiuodami, ga- lime laikyti nuliu. Pasirinksime …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Jei koordinačių sistemą taip pasirinksime, kad jos centras sutaptų su skritulio D centru, tai Š(, X)=1+cVx*+7", G, yjeD; čia c — proporcingumo koeficientas. Pagal (6) 2 R B (ie VA Y)dd= | do J (1 +cĄrdr= =2T (+ £. 4. Plokščių jų …
Excerpt
21. DVILYPIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI telės E, masė m; yra sukoncentruota taške M j, tai tokių materialių taškų sistemos inercijos momentas I būtų išreiškiamas šitaip: I= 3, mjdž(M)); j=1 čia d(M) yra pažymėtas taško M=(x, J) atstumas nuo tiesės /. Jei 5 (M) …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI čia daugiklio + d; ženklai taip parenkami, kad visiems M; < A daugikliai +d,; turėtų vieną ženklą, o visiems M; < B — kitą ženklą. Jei E yra materiali plokštelė, tai panašiai, kaip skaičiuodami inercijos momentą, galėsime apibrėžti …
Excerpt
22. APŽVALGA al Sin -— Ua If X-O(X, V) dx dy. (10) E (9) ir (10) lygybės ir apibrėžia plokštelės £ masės centro koordinates. 5 pavyzdys. Rasime homogeniško pusskritulio E (t. y. pastovaus tankio pusskritulio) masės centrą. Pažymėkime skritulio spindulį R, …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI tomis funkcijomis ( (x, y). Jei tokia funkcija apibrėžta stačiakampyje O=(a, b) x(c, d) ir 2= (P,, P.) yra leistina stačiakampio O dala, Pla T E [G D], P.= (yo, Vi5 Seo, EG d], tai funkcija Ų yra pastovi, taigi ir tolydi tik …
Excerpt
23. UŽDAVINIAI yra laiptuota stačiakampyje O? Ar ji laiptuota stačiakampyje O'=(0, 2 (0 3) 2. Raskite funkcijos o, apibrėžtos 1 uždavinyje, dvilypį integralą sta- čiakampiu 0O“=(0, 2) x(0, 4). 3. Ar funkcija o, apibrėžta stačiakampyje O= (0, 2) x (0, 2) …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI 13. Sakykime, kad funkcija f(x, y) yra integruojama trikampiu A= = (x, y)e R?: 0 …
Excerpt
23. UŽDAVINIAI 21. Raskite ketvirtadalio skritulio Tt DERž = 20 0 masės centrą, jei plokštuminis tankis pastovus. 22. Raskite stačiakampės plokštelės O= (a, b) x (c, d) inercijos momen- tus koordinačių ašių atžvilgiu, jei jos plokštuminis tankis Š yra …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 1. Laiptuotos 7 kintamųjų funkcijos ir jų integralai Sakykime, kad I, ..., I, — bet kokie intervalai, OZ HI — n-matis stačiakampis gretasienis erdvėje R". 1 apibrėžimas. Sistemą 2= (P,, ..., P,|, kurios elementas P, yra in- …
Excerpt
1. LAIPTUOTOS 1 KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS IR JŲ INTEGRALAI čia > sumuojama pagal visas tokias indeksų k reikšmes, kurioms da- k liniai stačiakampiai gretasieniai g, yra baigtiniai. Funkcijos Ę n-lypis integralas (1) žymimas [ e6)dx, 0 arba n kartų f Ai f O EB d …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI =4 X lal+6 5 lal+--- 104 X lal= k:ią, …
Excerpt
3. NULINIO MATO AIBĖS ERDVĖJE Rn 1 išvada. Jei o — laiptuota n-mačiame stačiakampiame gretasienyje O funkcija ir o (x) 20 visiems xe O, tai [ę> 0. 0 2 išvada. Jei o — laiptuota baigtiniame n-mačiame stačiakampiame gretasienyje O funkcija, | O | — …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 2 teorema. Jei ce R, tai aibė Aa Ek Ci * (1) yra nulinio mato aibė. Pastaba. Nors šios teoremos įrodymas yra parašus į X. 4, 2 teore- mos įrodymą, bet detalėmis jis skiriasi. > Pažymėkime A— 165 > 7 )ER ai o a A I) CD k=1, 2, …
Excerpt
3. NULINIO MATO AIBĖS ERDVĖJE Rn Tegu => 0 ir (g, — uždengianti aibę e suskaičiuojama sistema 7- mačių stačiakampių gretasienių g; < O, kurių tūrių suma mažesnė už XI) yra kubo g; centras, t. y. a a 9 a 2 a 7 a a1> |25— > + 5)x (1-5 + 5)x 80 x (15— 29 15) …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 4 teorema*. Jei o ir Ų — laiptuotos n-mačiame stačiakampiame greta- sienyje O funkcijos ir o (x) < Ų (x) beveik visiems x E O, tai [es fi 0 0 Išvada. Jei o — laiptuota n-mačiame stačiakampiame gretasienyje O funkcija ir o (x) > …
Excerpt
5. DAUGIALYPIO INTEGRALO APIBRĖŽIMO KOREKTIŠKUMAS 2. Klase L (O) vadinsime aibę funkcijų f, apibrėžtų beveik visur stačia- kampiame gretasienyje O su reikšmėmis aibėje R, kurios beveik visur tame gretasienyje O yra lygios kokių nors dviejų klasės L, (O) …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 1 išvada (apie daugialypio integralo apibrėžimo klasėje L, korektiš- kumą). Jei (94) ir (Vy) yra didėjančios laiptuotų stačiakampiame gretasie- nyje O funkcijų sekos ir lim 64 (x) = lim V; (x) k—-0 k—-0 beveik visur …
Excerpt
5. DAUGIALYPIO INTEGRALO APIBRĖŽIMO KOREKTIŠKUMAS 4 teorema*. Jei f€ L (O), funkcija g apibrėžta beveik visur stačiakampia- me gretasienyje O ir f(x)=g (x) beveik visiems xe O, tai s€L (O) ir IE J g. o o 5 teorema*. Jei f, ge L(O) ir ce R, tai: 1) cfEL …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 6. Tolydžiųjų funkcijų daugialypiai integralai Teorema (apie beveik visur tolydžių funkcijų integruojamumą). Jeigu aprėžta kompaktiškame n-mačiame stačiakampiame gretasienyje O funk- cija f yra beveik visur tame gretasienyje …
Excerpt
7. PERĖJIMAS PRIE RIBOS PO INTEGRALO ŽENKLU uždariniui, sakykime xegy, ;. Kadangi |x—x' | …
Excerpt
XI DAUGIALYPIAI INTEGRALAI 1 išvada. Jei f, < L (O), seka (fę) beveik visur mažėja ir | > m (meR) o vislems k e N, tai lim f„=/=L(O) ir teisinga (1) lygybė. k—-0 2 išvada. Jei f, < L (O), seka (Jį) monotoniška ir Kim f„=f+ < L (O), tai teisinga (1) …