Excerpt
5. KAI KURIE KREIVINIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAI 2 pavyzdys. Įrodysime, kad taškinio materialaus kūno sukurtame Niutono gravitaciniame lauke darbas nepriklausys nuo kelio formos. Pažymėkime 7214 masę taškinio kūno M,, sukuriančio gravitacinį lauką..- Jei m — …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Elektrostatinio lauko skaičiavimas. Sakykime, kad kreivėje L išdėstyti elektros krūviai, kurių linijinis tankis yra g (M). Apskaičiuo- sime, kokia jėga veikia kreivėje L išdėstyti elektros krūviai teigiamą vie- …
Excerpt
6. GRYNO FORMULĖ 81 pav. 82 pav. jėga šie krūviai veikia teigiamą vienetinį krūvį taške M,, jei taško M, at- stumas nuo tiesės yra A. Pasirinksime koordinačių ašis taip, kad ašis x sutaptų su tiese L, o taškas M, būtų ašyje y (82 pav.). Aišku, kad jėga F, …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI su griežtai monotoniškomis funkcijomis x, B ir y, tenkinančiomis sąlygas: «(x) …
Excerpt
6. GRYNO FORMULĖ c 6 c = | Pla +60)dx= | P(x, 26) dx— | P(x, 809) dx= a a b - [ P(x, y)dx- IEC y) dx— IEZC y)dx= AC AB BC =- | Pdx- | Pdx- [ Pdx=- [| PG, y)dx. AB BC Ča ėD Taigi šiuo atveju 0P | dxdy= — | Pax. (1) D D Pažymėję 2, u. ir v atitinkamai …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI koordinačių ašims, atkarpos (tiksliau sakant, kreivės x=const, arba y=const). Iš tikrųjų, jei, pavyzdžiui, kreivinio trikampio D kraštinė BC yra „tiesės, lygiagrečios ašiai y, atkarpa“, t. y. b=c ir u(y)=b visiems …
Excerpt
6. GRYNO FORMULĖ tai išl (2-7) dxdy= [| +| | = | Pdx + Ody + | Pdx+0Ody= Ox Oy D, 0D, 0D; [e fe s + + T Ta [a [+ [a [Pasa AB BCG CA. BM 4 MG CR wap BM MG Oi ON čia 0D pažymėta dviejų trikampių D, ir D, kraštinių aibė, laikant, kad dvi ekvivalenčios …
Excerpt
. XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI sąlygą: skirtingus taškus 7', £' < [a, b], t'Ža, atitinka skirtingi kreivės 0D taškai. Šio teiginio neįrodinėsime. Aibes DcR?, kurioms teisinga Gryno formulė, vadinsime G-aibėmis. 1 pavyzdys. Naudodamiesi Gryno …
Excerpt
7. SĄLYGOS, KAD KREIVINIS INTEGRALAS BŪTŲ LYGUS NULIUI Jei P (x, »)= —v ir O (x, y)=0, tai iš Gryno formulės išeina, kad 0D Sudėję (5) ir (6) lygybes, gauname dar vieną srities ploto išraišką kreivi- niu integralu: |D|=4 | xdv=ydx. (7) 0D 7. Sąlygos, kad …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI bet kokiems uždariems kontūrams 7, tenkinantiems teoremoje nurody- tas sąlygas. Pasirinkime srityje D bet kokį tašką M, (Xą, Vo) ir pažymėki- me A, apskritimą, kurio centras yra Mą, o spindulys lygus r. Kadangi …
Excerpt
8. SĄLYGOS, KAD Eni BŪTŲ FUNKCIJOS DIFERENCIALAS 8. Sąlygos, kad reiškinys Pdx + Ody būtų kokios nors funkcijos diferencialas 1 apibrėžimas. Aibė …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Pasirinkime tašką A < D. Bet kurį srities D tašką B sujunkime su taš- ku A tiesės atkarpa AB, orientuota kryptimi iš A į B, ir apibrėžkime funk- ciją F lygybe: F(B)= | PCs, H)dx+06, dy (4) AB bet kokiems taškams B …
Excerpt
8. SĄLYGOS, KAD Pdx+4Ody BŪTŲ FUNKCIJOS DIFERENCIALAS Iš (6) išplaukia, kad x1+h 1 Flx,+h, 2 Vi) = [ P(x, 7,) dx = f P(x,+ th, y,) dt; ži 0 perėję prie ribos, kai 4—0, gauname: 1 lim Fl(x,+hA, EG Ja) = | Plėžų 2 LE—1BlCGS Ji), H—0 s 0 OF (Xi, Ya) A ai …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Pastebėkime, kad teorema būtų neteisinga, jei teoremos formuluo- tėje D būtų bet kokia sritis (nebūtinai iškila). Tai galima įrodyti šitokiu pavyzdžiu: sakykime, kad D yra „žiedinė“ sritis =[ (x, y) e R*: 2] |. …
Excerpt
6. SĄLYGOS, KAD Pdx4+0dy BŪTŲ FUNKCIJOS DIFERENCTIALAS Pagal XIII. 4, 1 teoremą nėra tokios vienareikšmės funkcijos F, kuriai dF=P dx+ O dy žiedinėje srityje D (žiedinė sritis, suprantama, nėra iš- kila). " 1 teoremoje iškilumo sąlygą galima pakeisti …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Jei (9) lygtį pavyktų taip užrašyti P(x, yldx+0(x, y)dy=0 pavidalu, kad reiškinys P dx+ 0 dy būtų kokios nors funkcijos F (x, J) diferencialas, tai gautume dF(x, y)=0, IV S eV) (10) Jei, be to, (10) lygybė …
Excerpt
9, PAVIRŠIAUS PLOTAS Jei taške (x1, Jį) OF (xi, 6 0) =2(41—Y) 0, tai egzistuoja tokia taško (x;, y;) aplinka, kurioje (13) lygtis apibrėžia y kaip vienintelę kintamojo x neišreikštinę funkciją, kuri tenkina (12), tai- gi ir (9) diferencialinę lygtį ir …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI ir 4?4+B24+ C? 0 visuose taškuose (1, 7) < D, tai paviršius S, kaip jau ži- nome (IX. 22), yra vadinamas glodžiuoju paviršiumi ir kiekviename jo taš- ke egzistuoja liečiamoji plokštuma ir normalė. Jei 2, u ir v …
Excerpt
9. PAVIRŠIAUS PLOTAS 95 pav. Kadangi plokštumos xy taškų aibė G, yra liečiamosios plokštumos T taškų aibės T, ortogonalioji projekcija plokštumoje xy, tai |G|=|7Tx|-|cosv,|; (6) čia | G, | yra aibės G, plotas, o v, — dvisienis kampas tarp plokštumos T ir …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI ir įrašę cos v išraišką (4), gauname = D(x, y) J) 2 VarBi+C |s|= || 667 += "Du, V) v) du dv = [| Ma 1 Lv = [| VAžYB24C? du do. (9) (9) formulė simetriška A, B ir C atžvilgiu (t. y. sukeitus, pvz., 4 su B vie- …
Excerpt
17. KINTAMŲJŲ KEITIMAS DVILYPIUOSE INTEGRALUOSE 0 …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI skrituliu D= ((x, y):x*4+y* < R). Pereisime prie polinių koordinačių, t. y. atliksime kintamųjų pakeitimą (16), kai …
Excerpt
18, DVILYPIO INTEGRALO, KAIP AIBĖS FUNKCIJOS, IŠVESTINĖ yra atviros (g (Ele,) yra skritulys D su „išpjauta“ x ašies dalimi, žr. 42 pav.), ir funkcija g aibėje Ele, tenkina teoremos sąlygas. Kadangi e, ir e„= Dlg (Ele,) yra nulinio mato aibės, tai dx dy [ …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Tada m(r) …
Excerpt
19. NETIESIOGINIAI DVILYPIAI INTEGRALAI tai " [f /= Jim [ [7 (2) SA visoms funkcijoms f€ L (E). D Pažymėkime /,=/- XE,i Čia Xp, — aibės E, charakteristinž funk- cija. Tada /;+—/ beveik visur aibėje E ir |/x| -0 E, k—-0 E = Jei aibių E, seka tenkina (1) …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Tegu E — išmatuojama erdvės R* taškų aibė. Sakysime, kad aibių E, € R? seka (E,) tenkina sąlygą (A), jei aibės E, yra išmatuojamos, Iie B EMS Era visiems KE NAT E=|J Er k=1 Sakykime, kad …
Excerpt
19. NETIESIOGINIAI DVILYPIAI INTEGRALAI > Tarkime, kad integralas B J konverguoja neabsoliučiai. Tegu E (E) yra aibių seka, kuri tenkina sąlygą (4). Tada egzistuoja baigtinė riba J= lim / Ir (5) ir | Ss (6) Pažymėkime f* =max (7, 0) ir f-=max (—/, 0). …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGRALAI Aibė et=[ (G, y)ee;:J (x, 7)> 0), jeN, yra išmatuojama ir IDE 185 (10) E 2, Ep, Pažymėkime E;,=Ę,, Uz; JEUN Iš (10) gauname: [[/=- [J + IL] AB] 2 Ul+i> ij (11) + E. e E L] Ez J J visiems je N. Iš (11) išeina, kad lim [ [ 1 — 00B Lab …
Excerpt
19. NETIESIOGINIAI DVILYPIAI INTEGRALAI Visi čia išdėstyti samprotavi- mai rodo, kad 1 apibrėžime aibių sekų (E), tenkinančių sąlygą (4), klasė yra per plati. Yra ir kito- kių netiesioginių dvilypių integralų apibrėžimų. Supažindinsime skai- tytoją su …
Excerpt
X DVILYPIAI INTEGR ALAI ir todėl Koši tipo integralas egzistuoja bet kokiems «> O: ar 2 (C) [] Gžisų dedy= lim 9,0. e—0+ Tačiau pointegralinė funkcija x Ja (6, Y)= Tip integruojama tiesioginiu integralu skritulyje D ne bet kokiems «> 0. Pa- gal 2 teoremos …