Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRšINIAI INTEGRALAI 1. Kreivės ilgis Iš pradžių išsiaiškinkime kreivės plokštumoje Rž (plokščiosios kreivės) ilgio sąvoką. Prisiminsime, kad pagal kreivės sąvokos apibrėžimą (IX. 9, 2 apibrė- žimas) kreivė metrinėje erdvėje R? yra …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI (a*—ai) +(b*— bi) (Vezb- Vai+6)- (V+64+ Vai+bi)| Vai =a+ Vb—bi Va+b*+ Vai+bį < El la-a;,|(1a|+|a,|)+|56-—b1 (|b|+-|6; |) = …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS Ms || s k m < 3 (X (0)-X (Ė)|+|7" (t) —V (np) |) (t — a). k=1 VE 6Y+66Y- VE EYTG 007] = ns (7) Pasirinkime 0. Funkcijos x! (r) ir V' (t) — tolydžios kompaktiškame intervale [a, 6]. Todėl jos ir tolygiai tolydžios ir todėl egzistuoja toks …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Za. 71 pav. vadinamos cikloide (71 pav.), ilgį. Šios kreivės koordinatinės funkcijos yra tokios: x(1)=a(t —sint), y(/)=a(1 —cos1). Todėl pagal (4) 2n A M AE 2 s= | VGOF+6 00) ar=a | VU cos)? +-sinPtar= ( 0 2 = 2 [ …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS 2 pastaba. Tegu yra žinoma funkcija g: [«x, 8]—-R. Sakysime, kad plokščioji kreivė V yra duota lygtimi r=g (+), < …
Excerpt
XIII. KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRAL AI 2 apibrėžimas. Kreive plokštumoje R* vadinsime bet kokią tolydžią kokiame nors (nebūtinai kompaktiškame) intervale I funkciją o:I—-R*. Kreivės O, o ()=(x (t), y (+), te I, ilgiu vadinsime skaičių s=| VEOY+60) 4: …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS m EB e a GIS Sakykime, kad 7, ir I, — du intervalai. Eunkciją o: II, vadinsime difeomorfizmu I,-1,, jei yra tolydžiai diferencijuojama bijekcija, kurios atvirkštinė funkcija «—1 irgi tolydžiai diferencijuojama intervale Ilaę Jei «o — …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Jei o: I--R* yra ištiesiama kreivė, skaičiai a ir b yra intervalo I galai (a < b) ir re (a, b), tai funkcijos ę siaurinys intervale (a, tą) irgi apibrėžia ištiesiamą kreivę, vadinamą kreivės o lanku, kurios ilgis …
Excerpt
1. KREIVĖS ILGIS ma natūraliomis parametrinėmis kreivės lygtimis, arba kreivės lygtimis su natūraliu parametru (lanko ilgiu s). Kaip matome, Jei kreivė glodi, tai visada galima užrašyti jos lygtis su natūraliu parametru. Kreivės ilgio sąvo- ką galima …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI visiems /€ (a, b). Jei kreivė p: I—-R" glodi, t. y. tolydžiai diferencijuojama ir 2; OY 0 k=1 visiems te I, tai (18) lygybe apibrėžta funkcija s (+) yra difeomorfizmas I-> -s (I) ir kreivę o galima apibrėžti …
Excerpt
2. PIRMOSIOS RŪšIES KREIVINIAI INTEGRALAI 1 apibrėžimas. Funkcijos f pirmosios rūšies kreiviniu integralu kreive ę, aprašyta (1) natūraliomis parametrinėmis lygtimis, vadinsime skaičių s | £(6). »65)) as (2 0 (jeigu tik toks apibrėžtinis integralas …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI H> Teoremą pakanka įrodyti tuo atveju, kai kreivė o yra glodi. Tegu te (a, b). :Pažymėkime A=0 (a), M=9o (t). Pagal XIII. 1, (11) ir (12) lygybės s«0= | VEO TVO 4 yra kreivės lanko AM B ir (= V (X 0Y+( 0) > 0 …
Excerpt
2. PIRMOSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI k S ASŲ 27 S f (1 —cos A) V(1 Zcos Ąž L sinž? d; =— 0 21 21 S aoo š Sad ins 2 Ža 24 cos f)?!* dt = 4a | sin 5 dt 7 2. 0 0 Pirmosios rūšies kreivinio integralo sąvoką nesunku apibendrinti ir tuo atveju, kai …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI L=o([a, b]) ir f: L — R, tai b || $(M) ds= [ JAD): GPS x, (1) V 0Y+ AS + (x,(0)" dt, (3) L a jeigu tik šios lygybės dešinėje pusėje užrašytas integralas egzistuoja. Bendruoju atveju (kai kreivė nebūtinai gabalais …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI 3. Antrosios rūšies kreiviniai integralai 1 apibrėžimas. Kreivęeo: [a, b|—-R" vadinsime uždarą ja, jei o (a) =o (b); priešingu atveju kreivę vadinsime neuždarą ja. . 2 apibrėžimas. Sakysime, kad neuždaroje …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Kreivės orientaciją kartais patogu nurodyti brėžinyje. Jei brėžinyje pasirinktoje koordinačių sistemoje pavaizduota plokščios kreivės: [a, b-—- —R?, orientuotos parametrų didėjimo kryptimi, taškų aibė A=9 ([a, …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI arba f P(x, v) dx +0(x, y) dy, arba f P(M) dx + 0 (M) dy. R 1 Antrosios rūšies kreivinį integralą priešingai orientuota kreive o apibrėši- me lygybe: [ P(M) dx+0(M) dy= 2 b =— | (P(0- 50) *0+0(x0, »0) » 0) ar …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI ĮNTEGRALAI Pagal XIII. 2, 1 teoremą pastarąjį integralą galima išreikšti pirmosios rū- šies kreiviniu integralu: | (PG 5) dx+06 y) dy= | (PC V) cos 4 +0 (x, ») 005 B) ds. 5) ę ę Jeigu kreivė. ir jos liestinė orientuota …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALAI Pagal skaliarinės sandaugos erdvėje R" apibrėžimą (IX. i (7)), pritaikytą plokštumai Rž, …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Jei o: [a, b|—-R" — glodi ieniioėi kreivė, tai | A …
Excerpt
3. ANTROSIOS RŪŠIES KREIVINIAI INTEGRALA I b = 2 (P (x (2), x (0. Z()) x ()+0 (x (2), » (2), z (0) V ()+ +R(x (0), (0), z (0) = () dt. (9) (8) ir (8') lygybes šiuo atveju galime užrašyti šitaip: f F-(x, y, Z)dx1-F, (x, y, Z) dy+F,(x, y, 2lidz— 2 O | (Fes …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI tos su kreive 0, o kitam — priešingai orientuotos kreivės. Jei kreivės o, ir g, yra ekvivalentiškos ir vienodai orientuotos, tai kartais rašoma o> =9,; jei 2, ir > yra ekvivalentiškos priešingai orientuotos …
Excerpt
4. KREIVINIO INTEGRALO NEPRIKLAUSYMAS NUO INTEGRAVIMO KELIO 4. Sąlygos, kad kreivinis integralas nepriklausytų nuo integravimo kelio "Šiame poskyryje ir toliau visur šioje knygoje kreivę erdvėje R" supra- sime kaip tolydžią kompaktiškame intervale [a, 5] …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI A T] l Vt) 2 A i to A ) NS J TTT o 78 pav. 79 pav. būtų teisingos visiems (x, y) < D. Iš tikrųjų, jei (2) teisinga taške (x, y) < D visiems (dx, dy) e R, tai OF (x, 5 dF(x, =P, Ydx+066, yydy= ES dy ED Up visiems …
Excerpt
4. KREIVINIO INTEGRALO NEPRIKLAUSYMAS NUO INTEGRAVIMO KELIO taip, kad taškas C=(x;1+h, y,) irgi priklausytų aplinkai V. Sujunkime taškus B, ir C tiesės atkarpa, t. v. kreive Ap,c, kurios lygtys yra šitokios: | xX=X LA, Y=JY, …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI b Ė ( Pe 10) A OF (x (t), y (t) I EET 7 Tr SAS 0 5 y (1) dt = 0X 20 b dF(x (t), y(t) = | Do) dt=F (x (b), y (b))— F (x (a), y (a). Taigi, jai dF=Pdx+ O dy, tai | Pdx+045=FGB)-F(4). (5) 3 Ž AB Jei X,„ — kita klasės …
Excerpt
4. KREIVINIO INTEGRALO NEPRIKLAUSYMAS NUO INTEGRAVIMO KELIO B Įrodymas analogiškas 1 teoremos įrodymui. …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Pastebėkime, kad funkcija F(x, y, z)=xžyz tenkina (10a) sistemą, o krei- vės A galai yra A=(0, 1, 0) ir B=(sin 1, e, 1), todėl | 2Zxyzdx+x*zdy+x7ydz=F(B) — F(A)=e sin? 1. a Žinoma, funkcijos F išraišką tik …
Excerpt
5. KAI KURIE KREIVINIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAi kai As-—0. Šią lygybę sutrumpintai galima užrašyti šitaip: AU=f(M) As +0 (As), (5) kai As-—-0. Taigi, jei teisinga apytikslė lygyb AUž2f(M) As tikslumu o (As), kai As—0, tai teisingos (2) ir (4) lygybės. „Mažas“ …
Excerpt
XIII KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI INTEGRALAI Pagal sąryšio tarp pirmosics ir antrosios rūšies integralų formulę (XIII. 3, (11)) gauname darbo W išraišką ir antrosios rūšies kreiviniu integralu: W=|| Fedx + Edy + E,dz. (8) L Ši formulė dažniausiai ir …