Excerpt
1. ERDVĖ Rr R" yra aibė, kurios elementai — visi sunumeruoti 7 realiųjų skaičių rinki- niai (Goa Ga) AVA RU (Ga a SG Aaa as R J Aibę R" kartais vadinsime erdve R", o jos elementus (X; Xs, «.., X,) — erd- vės R" taškais, arba vektoriais. Panagrinėsime …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS | š G+hy (a; +-6,)? = 2 a;+2 Ž L k J b; < y gal da a Šu A (|| 7 das] ku Hi) | k=1 KZ 1 k=1 k=1 Išvada. Ištraukę kvadratinę šaknį, gauname (3). 0; be to p (x, y)=0 tada ir tik tada, kai x= y; 2) p, V)=p O, X); 3) (x ») 1 ir 2 …
Excerpt
1, ERDVĖ RT | realaus skaičiaus c ir vektoriaus x sandauga vadinsime erdvės R" vektorių G (Ga Gala Cn) (5) Tašką 0=(0, 0, ..., 0) e R" vadinsime nuliniu erdvės R" tašku. Vektoriaus x ilgiu, arba norma, vadinsime skaičių Įx|Į= VLZL13+-..+42 (6) (3 pav.). …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS L- Visi trys teoremos teiginiai išplaukia tiesiog iš skaliarinės sandaugos erdvėje R" apibrėžimo. Pvz., 3 teiginys įrodomas šitaip: …
Excerpt
2. METRINĖS ERDVĖS 1) e(x, v)> 0; be to, p (x, y)=O tada ir tik tada, kai x=y; 2) e (x, V)=P (V, X); 3) e(x, V) , J.) €.R"), irgi yra metrinė erd- vė. Nesunku įsitikinti, kad, taip apibrėžus atstumą, visos atstumų aksio- mos bus patenkintos. Nors šiame …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 6 pavyzdys. Integruojamų aibėje A (A < R) funkcijų aibė L! (4) yra metrinė erdvė, jei atstumas tarp dviejų integruojamų aibėje 4 funkcijų J ir g apibrėžtas lygybe ef 9)= | 76-86] dx A ir laikoma /=g, kai /(x)=g (x) beveik …
Excerpt
3. METRINĖS ERDVĖS POAIBIŲ KLASIFIKACIJA (1) nelygybė įrodoma šitaip. Funkcija (0-7 didėja intervale (—1, + 00), nes tame intervale jos išvestinė yra teigiama, todėl ę (|a + …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS a E Jei E yra Euklido plokštuma Rž, Mi=(xų, V,) < R, M,= =(Xs, V») E R? ir e(M,, M,)= V (1 =) + (M 2). tai „atviruoju rutuliu“ su centru taške A=(a, be R* ir spinduliu > 0 vadinsime skritulį su centru taške 4 ir spinduliu r (4 …
Excerpt
3. METRINĖS ERDVĖS POAIBIŲ KLASIFIKACIJA Iš atviros aibės apibrėžimo išeina, kad atviras rutulys metrinėje erdvėje yra atviroji aibė. Iš tikrųjų, jei B (x, r) yra bet koks atviras rutulys su cent- ru X, ir spinduliu r ir x, € B (xą, r), tai, pažymėję …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS t. y. ap < X) < By, k=1, ..., n, o tai ir reiškia, kad x e 4. Taigi Bc A. Trodėme, kad egzistuoja kiekvieno aibės 4 taško x rutulinė aplinka, kuri yra aibės A poaibis. Pagal atviros aibės apibrėžimą aibė 4 — atvira. 7 …
Excerpt
3. METRINĖS ERDVĖS POAIBIŲ KLASIFIKACIIA > Jei /=(A]) — bet kokių aibių sistema ir A …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS ko aplinka, todėl visi rutulio B, taškai nėra aibės A sąlyčio taškai, LSY B, < E(4. Taigi egzistuoja tokia kiekvieno aibės £|4 taško a aplinka B,, kad B, < E|4, todėl aibė El4 yra atvira, o aibė 4 — uždara. 4 — uždara aibė, …
Excerpt
4. KOMPAKTIŠKOS AIBĖS METRINĖSE ERDVĖSE > Sakykime, kad V, ir V,— taško x aplinkos. Pagal aplinkos apibrė- žimą egzistuoja tokie atviri rutuliai B, ir B, su centrais taške x, kad B, < V, ir B,c V,. Todėl B, nB+ < V, n V,. Kadangi rutulių B, ir B, centras …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 1 pavyzdys. Sakykime, kad K= [a, b]x [c, d] — uždaras stačiakampis plokštumoje R2, +> 0 ir “D — sistema visų atvirų skritulių B (x, e) su centrais stačiakampio K taškuose x ir spinduliais < CD=(B(x, *):xeK) (8 pav.). Tada “D — …
Excerpt
4. KOMPAKTIŠKOS AIBĖS METRINĖSE ERDVĖSE Paaiškinimas. Pagal kompaktiškumo apibrėžimą aibė X yra kom- paktiška erdvėje E, jei metrinėje erdvėje E iš kiekvienos atviros tos aibės dangos, sudarytos iš atvirų erdvėje E aibių, galima išrinkti baigtinį aibės K …
Excerpt
IX KEL ŲU KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS tų aibių sąjunga (5) U„,. Tačiau 20 U„„ todėl VnK= 3, t. y. Ve EK. k=1 k=1 Įrodėme, kad egzistuoja tokia kiekvieno ysZ|K aplinka V, kad Vc < EK, todėl aibė £|K — atvira, o aibė K — uždara. < 3 teorema. Kiekvienas uždaras …
Excerpt
5. METRINIŲ ERDVIŲ DEKARTO SANDAUGA > 1. Jei K — aprėžta, tai egzistuoja tokie baigtiniai skaičiai a ir b, kad Kc[a, bl. Pagal Borelio baigtinės dangos lemą (I. 9) intervalas [a, b] yra kompaktiška aibė. Jei K, be to, ir uždara, tai pagal 3 teoremą ji yra …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS = Veža, *)1 0, V)= S TT 177777 717 177577 t. y. atstumas erdvėje R" x R" yra lygus atstumui erdvėje R"*". apibrėž- tam IX.l, (1) lygybe. 6. Meitrinės erdvės taškų sekos Sakykime, kad £ — metrinė erdvė, (x,) — erdvės E elementų …
Excerpt
6. METRINĖS ERDVĖS TAŠKŲ SEKOS 2 teiginys. Jei x„-> x, tai kiekvienam < > 0 egzistuoja toks NeN, kad a (ėžą 645) < UA 10 INK > Imkime => 0. Kadangi x,—> x, tai lim o(x,, x)=0. Todėl eg- n0 zistuoja toks NeN, kad p(x,, x) N. Sakykime, kad m, n> N. Tada e …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Perėję prie ribos šioje nelygybėje gausime lim r„=c, t. y. seka (r„) kon- verguoja erdvėje R, todėl ji yra fundamentali. Tačiau CEO. todėl seka (r„) nekonverguoja metrinėje erdvėje O, taigi O — nepilna metrinė er- dvė. 4 …
Excerpt
7. FUNKCIJŲ METRINĖSE ERDVĖSE RIBOS 1 teorema. Kiekviena kompaktiškos metrinėje erdvėje aibės elementų seka turi konverguojantį posekį. > Sakykime, X — kompaktiška metrinės erdvės aibė ir (x,) — aibės K elementų seka. Jeigu visų sekos (x,„) elementų …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 1 apibrėžimas. Tašką beY vadiname funkcijos f riba taške a (rašome lim f(x) =), jei kiekvieną taško b aplinką V, atitinka tokia taško a aplinka xa V., kad f (x)eV,;, jei xEV,.N A ir xa. Nesunku įsitikinti, kad ribos apibrėžime …
Excerpt
7. FUNKCIJŲ METRINĖSE ERDVĖSE RIBOS riba lim f(x) egzistuoja tada ir. tik tada, kai kiekvienam 0 egzistuoja tokia taško a aplinka V. kad Bao ACa) a a a i > Būtinumas. Tegu => 0 ir lim f(x)=b. Tada egzistuoja tokia taš- ko a aplinka V, kad oy (760), b) < 0 …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 2. Pagal funkcijos ribos ir aibės sąlyčio taško (IX. 3) apibrėžimus taškas c yra funkcijos f reikšmių aibės / (4) sąlyčio taškas, t. y. cef (4). Be to, uždaros aibės F uždarinys F yra lygus aibei F (IX. 3, 2 teoremą) ir f(A) < …
Excerpt
7. FUNKCIJŲ METRINĖSE ERDVĖSE RIBOS tai egzistuoja kartotinė riba lim lim f (x, a) ir Xx—a y—a lim lim f(x, V)= L Žž (GG): (4) x—a y—b (a, 5 —=(a > Pažymėkime c— imt BAC) (x, »)=(a, 6) ir pasirinkime 0. Pagal ribos apibrėžimą egzistuoja toks 6> 0, kad 0z …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS Jeigu išvados sąlygos nėra patenkintos, tai kartotinės ribos taške (a, b) gali neegzistuoti arba gali egzistuoti ir nebūti lygios. Pavyzdys. Sakykime, kad funkcija /:R*ž—R apibrėžta lygybėmis a B 2 Ja, Y= 27 ii G DZ(O0, 0), …
Excerpt
8. TOLYDŽIOSIOS FUNKCIJOS METRINĖSE ERDVĖSE 8. Tolydžios funkcijos, atvaizduojančios meirines erdves metrinėse erdvėse Sakykime, kad X ir Y — metrinės erdvės. 1 apibrėžimas. Funkciją f:X— Y vadiname tolydžia taške aeX, jei kiek- vienai taško f(a) aplinkai …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAM ŲJŲ FUNKCIJOS Pagal tolydumo taške x, apibrėžimą (1 apibrėžimas) egzistuoja tokia taš- ko x, aplinka V, kad J (x)eA, jei xeV, siais VAS (CI) Įrodėme, kad kiekvienam aibės f-1(4) taškui X, egzistuoja tokia ap- linka V, kad Vcf-1(4), todėl …
Excerpt
8. TOLYDŽIOSIOS FUNKCIJOS METRINĖSE ERDVĖSE Išvada (Vejerštraso teoremų apibendrinimas). Jei K — kompaktiška metrinė erdvė ir f — tolydi funkcija K—-R, tai funkcija f yra aprėžta ir aibėje K įgyja savo didžiausią ir mažiausią reikšmes. > Pagal teoremą …
Excerpt
IX KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 4 teorema (Kantoro teoremos apibendrinimas). Jei K — kompaktiš- ka metrinė erdvė, Y — metrinė erdvė, tai tolydžioji funkcija K—-Y yra ir tolygiai tolydi. > Sakykime, kad funkcija f: K— Y yra tolydi. Tarkime, kad 7 nėra …