Excerpt
w——- Jau minėjome, kad kiekvieną teoremą sudaro sąlyga ir išvada. Pavyzdžiui, teoremą „Rombo įstrižainės statmenos viena kitai“ sudaro sąlyga „rombo įstrižainės“ (minties subjektas) ir išvada „stamenos viena kitai“ (minties predikatas). Šioje formuluotėje …
Excerpt
(VxsA) [P(x)=> 0(x)] yra teisingas, kai BCC. Pavyzdžiui, są- lyginis teiginys „Jeigu natūrinis skaičius dalijasi iš 6, tai jis da- lijasi iš 2“ yra teisingas, nes natūrinių skaičių, dalių iš 6, aibė B= (6; 12; 18;..) yra natūrinių skaičių, dalių iš 2, …
Excerpt
Panašiai įsitikiname, kad atvirkštinis teiginys yra ekvivalen- žus priešingajam teiginiui. Todėl iš keturių teiginių (Vx -0(4)], | (Vx -0. Kaip matėme, iš teoremos (įrodyto teiginio) P=> -0 teisingumo neišplaukia, jog ir atvirkštinis teiginys 0> P yra …
Excerpt
Sąlygos čia apima visus galimus atvejus (kampas C gali būti tik arba statusis, arba smailusis, arba bukasis), o išvados yra kas dvi nesuderinamos: jei teisingas kuris nors iš teiginių c2= =0Ž4-6?, c2 > ( 021-62> ( ZC—90> ). Pateiksime dar vieną pavyzdį. …
Excerpt
Čia atvirkštinis teiginys 0> -(P:AP> ), be abejo, klaidingas: iš nelygybės a--c> b+-d neišplaukia, kad a> 6 ir c=d. Tačiau teisinga susilpninta atvirkštinė teorema (AP) > P; („Jei a+0C> 6+d ir c=d, tai a> b“). Galima sudaryti dar vieną susilpnintą …
Excerpt
reikalavimas — kategoriškas, nes prieštaringa aksiomų sis- tema nieko neverta; - 3. Pilnumas. Aksiomų sistemą turi sudaryti tiek ir tokių ak- siomų, kad būtų įmanoma įrodyti visus kitus tos matematinės teorijos teiginius; 4. Nepriklausomumas. Aksiomų …
Excerpt
3. Kiekvieną trikampį ir kiekvieną spindulį atitinka tam trikampiui lygus trikampis, kurio viena viršūnė sutampa su spindulio pradžia, kita priklauso spinduliui, o trečia yra nurodytoje pusplokštumėje nuo spindulio ir jo tęsinio. V. Lygiagrelumo aksioma. …
Excerpt
(Vx) (Ax) [x*x1 =); (5) (Vx) (V2) (Ay) [1+4=2]; (6) (Vx) (Vy) (V2) [(4=7) => (**2=y> 2)]; (7) (V) (Vy) (V2) [(4*2—=7> 2) > (49). (8) Keliame uždavinį išskirti keletą teiginių, iš kurių galėtume išvesti kitus čia nurodytus teiginius. Kadangi patiems …
Excerpt
jis dalijasi iš 3“. Iš to sprendžiame, kad natūrinio skaičiaus da- lumas iš 3 yra būtinas jo dalumo iš 6 požymis. Norėdami tai pa- brėžti, galime sakyti „Natūrinis skaičius būtinai turi dalytis iš 3, kad jis dalytųsi iš 6“ arba „Natūrinis skaičius …
Excerpt
kreipsime dėmesį į štai ką: jei svarstytume, kurie plokštumos taš- kai yra vienodai nutolę nuo atkarpos galų, tai pradinių teoremų konjunkciją reikėtų pakeisti: „Taškas yra vienodai nutolęs nuo at- karpos galų tada ir tik tada, kai jis priklauso tos …
Excerpt
tada ir tik tada, kai jo įstrižainės statmenos“; „Į keturkampį gali- ma įbrėžti apskritimą tada ir tik tada, kai jo priešinių kraštinių sumos yra vienodos“; „Tiesė a lygiagreti plokštumai a tada ir tik tada, kai plokštumoje a yra tiesė b, lygiagreti …
Excerpt
kyklos tikslų ir uždavinių. Kol nesurasta nieko tinkamesnio, jis dar vartojamas aukštosiose mokyklose, tačiau ne paslaptis, kad jose matematikos paskaitų naudingumo koeficientas labai žemas. Vidurinėje mokykloje formalusis dėstymas leistinas tik išimti- …
Excerpt
i * "be matlankio ir kampainio patikrinti, ar stačiakampis nėra „sukly- pęs“? Pagaliau paties lygiagretainio įstrižainių savybės nustatymą galima sieti su teorinio pobūžio klausimu: kaip lengviau nubraižyti lygiagretainį (labai sunku tiksliai nubrėžti …
Excerpt
arba matematinės indukcijos aksioma. Nepilnoji indukcija ir ana- logija nėra įrodymo metodai, todėl jomis negalima grįsti tezės teisingumo. Matematinis įrodymas dažniausiai būna dedukčinis; jį sudaro silogizmų grandinė. Kad tai išsiaiškintume, įrodysime …
Excerpt
V silogizmas. (D. p.) Spindulys, kuris eina tarp kampo kraštinių ir su jomis sudaro lygius kampus, vadinamas to kampo pusiau- kampine. (M. p.) Spindulys CD eina tarp kampo ACB kraštinių; ZACD=— S. ŽACIE (Išvada.) Spindulys CD yra kampo ACB pusiaukampinė. …
Excerpt
Kartais VI—VIII klasės mokiniai sunkiai suvokia net gatavą įrodymą, o vyresnėse klasėse nesugeba savarankiškai įrodyti net paprasčiausio teiginio. Viena šio mokymo triikumo priežasčių yra ta, kad mokytojas tik kartoja vadovėlio tekstą, neatskleisdamas …
Excerpt
mato, kad samprotauta buvo teisinga linkme. Tačiau lieka nema- lonus jausmas, kad visą laiką reikėjo aklai sekti mokytoją (arba vadovėlį). Tai trukdo tobulėti mąstymui, verčia mokytis gatavus įrodymus. Vienintelis įrodymo sintezės metodu pranašumas yra jo …
Excerpt
ADC panašūs, parašo proporciją AB/AD=AE/AC, iš jos išveda lygybę AB-AC—AD-AE ir baigia įrodymą. Bet kaip suvokti, kad reikia nagrinėti trikampius, kurių net nėra pradiniame brėžinyje? . Tą reikia tiesiog iškalti, įsiminti. Bet argi įmanoma atsiminti, kaip …
Excerpt
remiantis sąryšio „ne mažiau“ (=) apibrėžimu, t. y. Bi> 0 (iš tikrųjų tie teiginiai ekvivalentūs). Teiginys B; savo ruožtu gau- namas iš teiginio [A+ BI BYLS O E, remiantis trupmenos kėlimo laipsniu taisykle ir anksčiau išvesta tapatybė …
Excerpt
tik atitinkamųjų kampų lygybe. Vadinasi, reikia įsitikinti, kad bent du atitinkamieji trikampių ABE ir ADC kampai yra lygūs (to, kaip žinome, pakanka, kad trikampiai būtų panašūs). Kadangi tie tri- kampiai turi vieną bendrą kampą A, tai užtenka …
Excerpt
konjunkcija PAOAT gali būti ir teisinga, ir klaidinga, todėl tei- ginys O taip pat gali būti ir teisingas, ir klaidingas. Vadinasi, šiuo atveju teiginys P> -0 lieka neįrodytas. Antruoju atveju susidarančią situaciją galima pailiustruoti pa- prastu …
Excerpt
išvesti aiškiai klaidingą išvadą. To paties turi mokytis ir mokiniai, kad įgustų naudotis šia labai svarbia savikontrolės priemone. Pavyzdžiui, jei mokinys parašo Waž4b*=a+6b, mokytojas ga- li pasakyti: „Jeigu Ųa*+6*=a--b, tai 024-62= (a4-6)2; todėl a" …
Excerpt
JIM Todėl kiekvienu atveju, įsitikinus, kad gautoji išvada (B,) yra klaidinga, reikia paklausti: „Kur padaryta klaida?“ Išsiaiškinus, kad samprotauta teisingai, t. y. išvedžiojant klaidų nepadaryta, svarstoma, kuris iš pradinių teiginių galėjo būti …
Excerpt
(4) (CA 90 (4O £024-6?); anksčiau įrodyta teorema (8) (ZC < 90) V (ZC> 90> ) > iš (6) ir (7) pagal premisų — (c2> £02-62); disjunkcijos taisyklę ((p= | =r)A(g=r))> ((PV9)=—- r) (9) (ZC> £90')=—- (2502-62); iš (4) ir (8) pagal silogizmo šldėų taisyklę. …
Excerpt
Tačiau niekas neabejoja, kad mokyklinėje matematikoje reikia plačiai taikyti logikos simboliką (=, =—, A ir t. t.). Tai reikia pradėti nuo IV klasės, iš pradžių nereikalaujant, kad mokiniai bū- tinai tuos simbolius vartotų; jie patys pamažu įsitikins, kad …
Excerpt
kai n reikšmės yra natūriniai skaičiai, Patikrinę, kad a,—13—1=—0, 0> —23—2—6, d;—33—3—24 ir a,—43—4—6() dalijasi iš 6, gali- me spėti, kad visos a,—n3—n reikšmės, kai neN, dalijasi iš 6. Panašiai ir nagrinėdami reiškinio ba=nŽ--n4+41 reikšmes b,—43, b> …
Excerpt
mai susijęs su pirmuoju, — mokyti savarankiškai įrodinėti matematinius teiginius. Vadinasi, įrodymo negalima dėstyti taip, kaip tai padaryta knygoje, nes tuomet mokiniai, užuot įrodymą analizavę, mokysis jį pažodžiui. Deja, ši didaktinė klaida vis dėlto …
Excerpt
kurią kalbama teoremoje, atskiras atvejis. Įrodinėdami teoremą, žiūrime ne individualių, o bendrųjų nagrinėjamos figūros savybių. Todėl individualiosios savybės neturi nustelbti tų savybių, kurios nurodytos teoremos sąlygoje. Pavyzdžiui, jei teoremos …
Excerpt
22 “ mėti pirmyn ir sėkmingai užbaigti įrodymą, kurį paskui galima to- | bulinti. Aiškinantis, ar visos sąlygos dalys išnaudotos, tenka per- “ žvelgti, kurioje vietoje ir kaip buvo pritaikyta kiekviena dalis. Tai “ padeda geriau suprasti įrodymą ir jam …
Excerpt
daviniais. Tokius uždavinius galima išreikšti implikacija A=> -C, ; tuo pabrėžiant, kad sąlygoje A yra pakankamai ir tik pakankamai duomenų 1, 05, +++, a„, kad būtų. galima atsakyti į klausimą C (atlikti užduotį C). Iš apibrėžtojo uždavinio sąlygos A …