Excerpt
Ištirsime gautojo sprendinio fizikinę prasmę. Tarkime, kad f(x)0 tik baigtiniame intervale ]—/, I[. 257 brėžinyje (a) pavaizduotas funkcijos u=f (x) grafikas, žymiai padidinus jo taškų ordinates u. Tokia forma sutei- kiama stygai pradiniu momentu a - t-0 …
Excerpt
kurios daugiklis X (x) yra tik kintamojo x funkcija, o daugiklis T(/) — tik t funkcija. Be abejo, mus domina sprendinys u (x, t), nelygus tapatingai nuliui, todėl turi būti X (x)=0 ir T()> 50. Kadangi 02 " 0ž LA ap X) T (), = =X 6) T (O), tai iš (46) …
Excerpt
Tokiu būdu, konstanta c turi būti neigiama. Ją patogu žymėti — 32a2, Tada iš (50) lygybių gauname dvi diferencialines lygtis: X'+)2X =0 T'+Ma*T =0, kurių sprendiniai atitinkamai yra X (x)=A cos Mx4+Bsinhx, T(f)=C cos Mat + D sin Nat (A, B, C ir D — …
Excerpt
Funkcija u, (x, t) tenkina stygos svyravimo lygtį ir kraštines sąlygas. Iš jos matyti, kad kiekvienas stygos taškas x svyruoja harmoniškai su amplitude Važ+62 sin Žr. Stygai svyruojant pagal dėsnį u, (x, f), kai kurie stygos taškai nejuda. Tai taškai, …
Excerpt
6. Eilutę 1+(—1)+1+(—1)+-..+(—1)"-141... visada rašome Šitains ia ki AEA Ta eilutė diverguoja, nes jos dalinės sumos S,=1, 5;=1— 1=0, S,;=1—14+1=1 ir t. t. sudaro neturinčią ribos seką 1 0 0, Iš pateiktųjų pavyzdžių matyti, kad, tiriant skaičių eilutę, …
Excerpt
Pabrėžiame, kad eilutė, tenkinanti būtiną konvergavimo sąlygą (lim.a,=0), gali diverguoti. Sakysime, 4 pavyzdyje buvo tiriama eilutė, kurios bendra- sis narys yra a,= „ Nors šiuo atveju 1 Va l — Va bet eilutė, kaip matėme, diverguoja. Vadinasi, …
Excerpt
eilutės narius nuo pirmojo iki 2"!-ojo imtinai ir gautosios sumos dėmenis sugrupuojame šitaip: 1 1 1 l l 1 1 Sm=li5+(++75)+(> +7+7+3)+ 4 D a6 —— 2 nariai 22 narių Dikės 12 po el Lai 2 + (p+5+---+Bt5)+-- (> = +25 5757. 22 ———————— 23 narių A narių Lengva …
Excerpt
Įrodymas. Imkime abiejų duotųjų eilučių dalines sumas: S,=4,+4;+a,+ m. dn c„=ka,+ka,+ka,+ ...+-ka.. Kadangi c„=k(a,+a;+-...+a,)=kS,, lim 6,= £ kS, 2 S KS: n—> 0 Vadinasi, (3) eilutė konverguoja, o jos suma lygi kS. 2 teorema. Jei a, +0;4+055+ 221 B Cr …
Excerpt
Kadangi o;=Gp+1+0p4+> +--.+-0544 Yra (5) eilutės dalinė suma, sudaryta iš k pirmųjų narių, tai Sp+k=Sp + 05: (6) Sakykime, kad tiriamoji eilutė konverguoja ir kad jos suma lygi S. Tada lim Sp+k = S k—-0 Tokiu atveju, iš (6) lygybės parašę lygybę …
Excerpt
s 194. Teigiamųjų eilučių lyginimas Lengviausia tirti eilutes, kurios neturi neigiamų narių. Jas vadiname feigiamomis eilutėmis. Vadinasi, 1-4 13 Ia yra teigiama eilutė, kai a,> 0 (n=1, 2, 3, ...). ILema (teigiamos eilutės konvergavimo požymis). Teigiama …
Excerpt
Kadangi T,, Ty, Ty, konverguoja. Palyginimui imame konverguojančią eilutę, išnagrinėtą $ 191, 1 pavyzdyje. Jos bendra- 4 1 Ž o sis narys yra ba= Ga Kadangi 1 | i, RA 2+n o DN tai, remdamiesi pirmuoju palyginimo požymiu, darome išvadą, kad nagrinėjamoji …
Excerpt
Iš (9) lygybės, remiantis ribos apibrėžimu, išeina, kad skirtumas yra kiek norima mažas, kai 7 pakankamai didelis. Todėl, pradėdami kuria nors n reikšme, turėsime . Uni A …
Excerpt
N X Dalambero požymis. Tarkime, kad, turint teigiamą skaičių eilutę V a, +0;+05+-..+a,+-.., (A) | egzistuoja (baigtinė ar begalinė) riba : ž An4i iai (0) Kai A < I, eilutė (A) konverguoja; priešingu atveju, kai A > |, eilutė (A) diverguoja. Įrodymas. Iš …
Excerpt
Vadinasi, kiekvienas eilutės (A) narys (pradedant nuo kurios nors vietos) yra didesnis už prieš jį stovintįjį narį. Tokiu atveju bendrasis narys a, neartė- ja prie nulio; todėl eilutė diverguoja. Pavyzdys. Remdamiesi Dalambero požymiu, įsitikinsime, kad …
Excerpt
Būtiną alternuojančios eilutės konvergavimo sąlygą galima išreikšti ly- gybe lim:c- 0: Be abejo, toliau tirsime tik tokias alternuojančias eilutes, kurios tenkina tą sąlygą. Yra paprastas požymis, kuriuo remdamiesi sprendžiame, ar eilutė (C) konverguoja. …
Excerpt
Pavyzdys. I. Remdamiesi Leibnico požymiu, galime tvirtinti, kad eilutė 1 1 26 1 1 pa TatĘ —- konverguoja. Ta eilutė nuo harmoninės eilutės skiriasi tik tuo, kad nariai su lyginiu numeriu yra neigiami. Sakykime, kad eilutė (C) tenkina Leibnico požymio …
Excerpt
Kadangi = 0, 001, tai ir |S;— S| 0, ir a,+ |a,|=0 kai a, …
Excerpt
Parašytąją eilutę lyginame su konverguojančia eilute, kurios bendrasis narys Yra Kadangi |sin na | 1 B Sons tai (14) eilutė konverguoja. Dabar belieka remtis įrodytąja teorema: jei konverguoja (14) eilutė, tai konverguoja ir (13) eilutė. Pabrėžiame, kad …
Excerpt
Norėdami pritaikyti ką tik nurodytą Dalambero požymį, turime apskaičiuoti tokią ribą: An+1 T = lim lim | ' n-0 N n—o0o Kadangi A4= |x|, tai tiriamoji eilutė konverguoja absoliučiai, kai |x| < I, ir diverguoja, kai Iss|-15 Belieka sužinoti, ar tiriamoji …
Excerpt
2. Palyginę duotąsias eilutes su žinomomis eilutėmis, nustatykite, ar jos konverguoja, ar diverguoja: 1 1 1 a) 2 *325 7 Gun 142 1+n Nžiikti a EEA AS op Ds Ba (n+1)(n+4) || 2-3 n+1 , ata. Ga E 1 1 1 9) 5 t5t--- ty +--- Ats. a) konverguoja; b) diverguoja; …
Excerpt
5. Eilučių 2 l 1 a) |-5r T —- D l l n+1 dis tp) Z E sumas apskaičiuokite 0,001 tikslumu. Ats. a) S20,901; b) S=0,6325 b L- 6. Jei konverguoja eilutės ai+až+aši+t... kaži... e b3+bž+b6š+...+62+..., tai eilutė ab, -a5b;+a5b5+- ...L-Anb) > konverguoja …
Excerpt
Pavyzdys. 1. Funkcijos x, x*, x*, ..., x", ... yra apibrėžtos intervale ]—- 0, + 0[. Tų funkcijų eilutė x+x* +... 1... x 1 1 taške 5 konverguoja, nes vietoj x parašę skaičių 2 „ gauname konverguojančią eilutę 1 1 1 | > tuios t--- Ton S Taške 2 ta funkcijų …
Excerpt
Belieka sužinoti, ar tiriamoji eilutė konverguoja, kai |x|=!, t. y. taškuose I ir — I. Tuo tikslu tiriamoje eilutėje vietoj x parašome | ir —1; gauname skaičių eilutes l 1 Ž 1 Linas 4 a 2 TB Ss kurios konverguoja absoliučiai ($ 194, 3 pavyzdys). Vadinasi, …
Excerpt
Funkcijų eilutės (F) dalinė suma yra kintamojo x funkcija: S.(x) = ()-+-/> 0) +/5 (4) +---+/, (X) Tos eilutės suma S (x)=lim S, (x) yra funkcija, apibrėžta eilutės (F) konver- gavimo srityje. 0 Pavyzdys. 8. Eilutės 1+x+x24+...1-x"7—14+1... nariai sudaro …
Excerpt
Kadangi seka Cą4, C;Xp, C5X5, +++, C,XI, -.. turi baigtinę ribą, tai visų tos sekos narių moduliai yra mažesni už kokį nors skaičių M: lex | < M. Dabar tarkime, kad x reikšmė x tenkina nelygybę |xX| < |xg|, ir įrodykime, kad skaičių eilutė Ca 66 X E kais …
Excerpt
Sakydami, kad ]—r, r[ yra laipsninės eilutės (L) konvergavimo intervalas, nekreipiame dėmesio, kad eilutė gali konverguoti taškuose r ir —r (viename ar abiejuose). Pavyzdžiui, laipsninės eilutės x2 x3 i di psp 3 nas S Emppiibs > = (žr. praeito paragrafo 5 …
Excerpt
Apskaičiavę kiekvieno eilutės (L) nario išvestinę f, (x)= nc,x"-1, sudary- kime kitą laipsninę eilutę c,+-20;x1-305321 L no, 1. (L) Galima įrodyti, kad eilutės (L') konvergavimo intervalas sutampa su eilutės (L) konvergavimo intervalu ]—r, r[. Lengviausia …
Excerpt
Ta laipsninė eilutė irgi konverguoja intervale ]— I, I[, o jos suma yra 1 S 6)= 1“ Parašykime laipsninę eilutę, kurios narių išvestinės yra eilutės (L) nariai: Ei a ia Cn +1 Ožt5 15 R Lai (L,) Kadangi eilutė (L) gaunama 1š eilutės (L,), diferencijuojant …
Excerpt
nę eilutę, kurios suma yra ta funkcija. Tokiu atveju sakome, kad funkciją f(x) reikia išreikšti laipsnine eilute. 1. Parašykime laipsninę eilutę, kurios nariai sudaro geometrinę progre- siją su vardikliu —x: 1-x+x2-...+(-17" 1... Ta eilutė konverguoja …
Excerpt
Lengva įsitikinti, kad čia C =0 (pakanka vietoj x parašyti 0). Vadinasi, x3 xš x2n+1 aria =*—- Aa: „+(-17" T 4.. (7) (-1 …