Excerpt
arba , , , Zi =Z25* X Zr (7) Tai ir reikėjo įrodyti. Pavyzdys. Imkime funkciją z=x?— 2, ir tarkime, kad x=cos £, y=sin /. Šiuo atveju z+=2x, zy= —Ž2y, x;= —Sin f, y; =cos f. Todėl, remiantis (7) formule, z;=2x-(—sin £)—2y - cos t. Iš čia, įstatę duotąsias …
Excerpt
vietoj / 1 —x2 parašykime — y. Pasirodo, kad abiem atvejais y; bus vieno- dai išreikšta kintamaisiais x ir y, būtent, y/ = = Šį rezultatą galima gauti ir kitaip. Tuo tikslu tarsime, kad lygtyje xž+y2—1=0 vietoj y parašėme Ų1—xA? arba — V 1 —x*. Tada …
Excerpt
Turėdami mintyje, kad x„= L, iš pastarosios lygybės, kai F; (x,y) +0, gauname + Fxla, 9) EEB Kadangi funkcija F (x, y) — lygties F (x, y)=0 kairioji pusė — žinoma, tai žinoma ir y;, bet ji lieka išreikšta dviem kintamaisiais x ir y. Pavyzdys. Rasime …
Excerpt
Teorema. Jeigu funkcija z=f (x, y) diferencijuojama taške (x;. Yo). tai egzistuoja dalinės išvestinės f + (xo, Yo) ir fy (xa, Yo). Be to, fi. (xa, Yy)= A. A so V 0) =B. Įrodymas. Kadangi z=/ (x, y) diferencijuojama taške (x,, y,), tai jos pokytis Az= =f …
Excerpt
$ 177 įrodėme, kad funkcijos z=f (x, y) pokytis išreiškiamas formule Az=fž (x Jo): Ax +-f, (*0, Yo): Ay+4- Ax+-B- Ay, bet ją išvesdami tarėme, kad dalinės išvestinės f+(x, y) ir f,(x, y) egzistuoja taške (x4. Jo) ir jo aplinkoje, o pačiame taške (xą, Yy) …
Excerpt
Gautoji formulė bus tuo tikslesnė, kuo mažesni pokyčiai Ax ir Ay. Ją patogu naudoti funkcijos reikšmės f(x4+Ax, y,+Ay) apskaičiavimui, kai žinome funkcijos f(x, y) ir jos dalinių išvestinių reikšmes taške (70): Pavyzdys. Rasime stačiakampio įstrižainės …
Excerpt
Iš šios nelygybės matyti, kad paklaidos Az modulis yra ne didesnis už dydį, esantį nelygybės dešinėje pusėje. Tą dydį (su tam tikra „atsarga“) ir laikome maksimaliąja z reikšmės paklaida 6z. Vadinasi, 8z= 2 |-3r+| o |- šv. (11) Remiantis šia formule, …
Excerpt
s 181. Aukštesnių eilių dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų x ir y funkcijos z=f (x, y) dalinės išvestinės 0z 4 » 0z / Ox =; (x, J) 1T Oy =; (x, y) savo ruožtu yra kintamųjų x ir y funkcijos. Šių funkcijų dalines išvestines vadiname duotosios funkcijos …
Excerpt
2. Imkime z=arctg = (x+0). Tada OZ l (2)- y B Taa UT B Ox 14(Ž) X/x x + Oz 1 (Ž) S "TM ELTA Oy 1+(?) XJy Ay Iš čia I SALES Ox Dy Ga Der 024 GSA 1 Oy Ox EF IIS Taigi, ir šiuo atveju matome, kad GR Ox Oy Oy Ox“ s 182. Keleto kintamųjų funkcijos ekstremumai …
Excerpt
tremumų taškais (funkcijos maksimumo taškais arba minimumo taškais). Įrodysime būtiną dviejų nepriklausomų kintamųjų funkcijos ekstremumų požymį. Teorema. Jei taške (xą. y,) funkcija z=f (x, y) turi ekstremumą ir egzis- tuoja fx(Xas Yo) ir f (X, Yo), tai …
Excerpt
Pavyzdžiai. I. Rasime funkcijos z=4(x—y)—x?—y? ekstremumo taškus. Tos funkcijos dalines išvestines 0z 0z 5 Žr —4—2y prilyginę nuliui, gauname x=2, v= —2. Vadinasi, taškas (2, —2) duotajai funkcijai yra Kritinis. Tai funkcijos z=4 (x—y) —x*— y? maksimumo …
Excerpt
arba a + 4 2sin 5 Sin > =B Kadangi iš nelygybių 0 …
Excerpt
3 183. Mažiausių kvadratų metodo taikymas empirinėms formulėms išvesti Gamtos, ekonomikos ir kituose moksluose dažnai tenka nau- dotis formulėmis, kurios sudaromos, remiantis tyrimu arba stebėjimu. Tokios formulės vadinamos empirinėmis. Kai reikia …
Excerpt
kad taškai (x;, Y1), (X2s Vs), ---5 (X,» V,) yra „išbarstyti“ apie tiesę (218 brėž.). Todėl tenka atsisakyti siabė e tikslias a ir b reikšmes. Aišku, reikia stengtis, kad taškai (x;, Y;), (Xxs V»), ---5 (Xas V,) bio geriau tenkintų lygtį y=ax4-b, kad jie …
Excerpt
Prilyginę šias išvestines nuliui ir gautas lygtis padaliję iš 2, turime tokią lyg- čių sistemą: (ax, +-b-y,)X +-(ax5+b-—y5)X5+-... ei (ax, +b-y1)+(ax21+6-—y) +... +(ax,+b-y,)=0. Po paprastų algebrinių pertvarkymų 1š sudarytosios lygčių sistemos gauname al …
Excerpt
Uždaviniai 1. Raskite apibrėžimo sritis funkcijų a) z=1Inxy; D 215521 c) z=In(y—x?); d) z= Vx+y+ Vx7; e) z=arcsin E X f) z= V 4—24+ V 1— y. Ats. a) pirmojo ir trečiojo ketvirčių vidus; b) visa plokštuma, išskyrus apskritimą x*+3*= …
Excerpt
x e) > nie. y VaR+yt-x )z— In - Valbyi+x 0z ,- y 0z Se l 0z 1 Ats. b) — =VY— ——: 5-— BT LŽ . Ox 3 = Oy 2 3 < Ox 24 2 BVa Vy 15 1-5 OZ ama. DM DUAIA S olų ko > = Lida e aus | V“ AT Tr f) 0ži Adis 2 Oz 2 XT Vis) V yVBIS 7. Raskite sudėtinių funkcijų …
Excerpt
12. Kūnas ore sveria 4,1 (+0,1) G, o vandenyje 1,8 (+0,2) G. Raskite kūno tankį ir apskaičiuokite paklaidą. Ats. 1,8 (+0,2). 13. Kūgio pagrindo spindulys lygus 10,2 (+0,1) cm, o sudaromoji 44,6 (+0,1) cm. Raskite kūgio tūrį ir apskaičiuokite paklaidą. …
Excerpt
(219 brėž.), iš šonų — cilindriniu paviršiumi, kurio sudaromosios lygiagrečios z ašiai, o iš apačios — xy plokštumos figūra (P). Rasime šio kūno, vadinamo: cilindroidu, tūrį V. Spręsdami šį uždavinį, figūrą (P) — cilindroido pagrindą — padalysime: į n …
Excerpt
5 185. Dvilypio integralo skaičiavimas Aišku, kad praktiškai sudarinėti dvimates integralines sumas ir ieškoti jų ribas būtų sunku. Todėl dvilypiam integralui skaičiuoti nurodysi- me kitą būdą. Tam reikalui dvilypį integralą laikysime cilindroido tūriu. …
Excerpt
Įstatę gautąją S (x) išraišką į (4) formulę, gauname punėd V= | | f f. »)ay] dx. (5) Apskaičiuojant cilindroido tūrį V pagal šią formulę, iš pradžių funkcija f (x, y) integruojama y atžvilgiu (laikant x pastoviu) nuo e iki d, o paskui gautoji funkcija …
Excerpt
Tada 3 A 3 = 2 =| — — I= | (2+2)dx ( 212) |, 0 Integruodami kita eile, gauname tą patį skaičių: 2 [f nas | [(Zo) [jo 0 0 0 * 112 = | (9+3y) dy=[9y+2C) „2 0 2. Tarkime, kad integravimo sritis (P) yra kreivinė trapecija, apribota dviem kreivėmis: Y=8 (x), …
Excerpt
ir dviem tiesėmis y=c, y=d (222 brėž.), gauname V (») [f f(x, y)dxdy= f dyt“ i f(a, y) dx. (7a) iš c 0 (») Pavyzdžiai. 1. Apskaičiuosime dvilypį integralą L | | (2x2 y +3x92) dx dy, (P) kai sritis (P) yra figūra, apribota parabole y=x* ir tiese y=x (223 …
Excerpt
Apskaičiavę vidinį integralą: = r (B y+ 399) dr=[ 2 2 E) si “V „2 2 3 „42 ab 2 = Žž 13 211 Aa lasas alis EV: randame I: 1 pa > 3 13 žs (5 »Vr+5 57-57) 6 Ž 22, 5903 =(2r TL = SAR 2. Rasime tūrį kūno, apriboto sukimosi paraboloidu z=x74-)7, koordinatinėmis …
Excerpt
yra vidutinis tos kūno dalelės tankis. Tai masės kiekis, tenkąs dalelės (A V) tūrio vienetui. Kuo mažesni dalelės (A V) matmenys, tuo geriau vidutinis tankis apibū- dina masės kiekį tūrio vienete prie taško (Xą, Yo, Zą). Todėl ribą lim > Š ę AV ž kurią …
Excerpt
"Sumą, parašytą (8) lygybės dešinėje pusėje vadiname funkcijos s=/f (x, y, z) integraline suma trimatėje srityje ( V), o tos sumos ribą — funkcijos > =/ (x, y. z) trilypiu integralu srityje ( V). Tas integralas žymimas simboliu 116| f(x, y, z)dxdydz, (V) …
Excerpt
Tetraedras (V)iš viršaus yra apribotas plokštuma z= 1 —x— y, o iš apačios — plokštu- ma z=0. Jo projekciją xy plokštumoje pažymėję (P), turime I-x-y i Iz 1=[[[ | "Užxžy1 25 jo (P) 0 Apskaičiuojame vidinį integralą: 1—-x-y dz 1 z=LA ie A E > [ l 2 …
Excerpt
Tarsime, kad taškų A; (i=0, 1,2, ..., 1) koordinatės yra x, bei y;, ir įvesime žymėjimą Ax;=x;—x;-, (i=1, 2, ..., m). Be to, kiekviename lanke A; „A; pasirinksime po vieną tašką (Ė;, 1,;). Turėdami 7 taškų (ž45 71); (Ė25 12), =--> (Ei Ni), --> (E,5 T,), …
Excerpt
Jeigu kreivės AB taškuose yra apibrėžtos dvi funkcijos P (x, y) ir O (x, y), tai integralų [ Plk y)dx ir | O(x y)dy AB AB suma rašoma trumpai, praleidžiant antrąjį integralo ženklą: i! P(x, y)dx+ 0 (x, y)dy. AB s 188. Kreivinio integralo skaičiavimas …
Excerpt
kad [ Pl, v)dx+06x y)dy=— | P(x, v)dx+06, y)dy. BA AB Kai integravimo kreivė / yra uždara, t. y. jos pradžios ir galo taškai su- tampa, tai viena kreivės kryptis laikoma teigiama, o kita — neigiama. Teigia- mąja uždaros kreivės / kryptimi laikoma ta, …