Excerpt
Iš dviejų paskutiniųjų lygybių kaip tik gauname (6) lygybę, kurią reikė- jo įrodyti. 2 Pavyzdžiai. 1. Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos elipse x2 y Ci =l.: Kadangi elipsė yra simetriška koordinačių ašių atžvilgiu, tai visos figūros plotas bus lygus …
Excerpt
karto imsime x=a (+—sin t), kai 0 …
Excerpt
Iš šios lygybės gauname apibrėžtinio integralo dalinio integravimo formulę b b b | u(x) v' (x) dx =u (X) v (x) |- / 2 (x) u (x) dx, kurią, turėdami mintyje, kad du=u" (x) dx, dv=v' (x) dx, rašome trumpiau: 6 6 [udy=uv L f y dų. (7) a a Pavyzdys. …
Excerpt
Po to apskaičiuosime funkcijos y=f (x) reikšmes dalijimo taškuose: Vos Yas Yas Vis Va: Jei per dalijimo taškus nubrėšime tieses, lygiagrečias y ašiai, tai kreivinė trapecija bus padalyta į n vienodo pločio juostelių. Kiekvieną tokią juostelę galima …
Excerpt
2. Parabolių formulė. Intervalą [a, b] padalykime taškais LL S 8 į 2n lygių dalių ir atitinkamas funkcijos reikšmes pažymėkime Vos Vis Vas 5 Yan 25 Yan-15 Van: y - Imkime dvigubą dalinį intervalą [x4, Xal, kurio ilgis h=x;—x,= 21 „ir per taš- kus (Xo, …
Excerpt
Panašiai gautume, kad r 4, J J )dx= 5 (v> +4y2 194), 2n k T f (x) dx= 6 si 55 4Yan— 1 + Va), todėl ž 2 h h į J TA) dxT 5 Ua k) p Ua WAY) 1 h B (z-22 Avo 1 E Yas), arba E h f(x) dx = = Uvo+Y> )+401+Y51---+Ym-1) + ; 6 +2(y:+Y. +... +Y2m-> )l (9) (n -). …
Excerpt
Imant tą patį dalijimo taškų skaičių, Simpsono formulė duoda tikslesnį rezultatą, negu trapecijų formulė. Rezultatai bus tuo tikslesni, kuo didesnis bus dalijimo taškų skaičius. S 165. Netiesioginiai integralai b — Apibrėždami integralą f f(x) dx, …
Excerpt
Jei (10) riba baigtinė (kaip tarėme iki šiol), tai sakome, kad netiesioginis integralas konverguoja. Priešingu atveju, kai minėta riba begalinė arba visai neegzistuoja, netiesioginis integralas diverguoja. t dx L įr 1 Pavyzdžiai. 1. Kadangi = „1 = tai t 2 …
Excerpt
2 Ką tik apibrėžto netiesioginio integralo geometrinė prasmė aiški iš 184 brėžinio. 1 dx anas t a Ž Pavyzdžiai. 1. Integralas f ==. = yra netiesioginis, nes pointegralinė funkcija - x 0 l . f(*)= ——— taškex=1 turi trūkį (tim f(x)= + a). V 1 — x? x—l Imame …
Excerpt
e 8 Ė 2 d) ių 2. g "i > E Ip 2 1 1 V 0 1 T T Ats. a) 11 37 D 5: c) 37 d) i: e) 435: f) I: *|5- | 3. Apskaičiuokite apibrėžtinius integralus ir nurodykite jų geometrinę prasmę: T 1 1 2 a) į 1Žai b) ! cosxdx; C) ! V xdx. Ats. sjŽ3 b) I; J ž k Ti ĖS S 4. …
Excerpt
(6: LAR V 7 Raskite funkcijos f 0= J vidutinę reikšmę intervale [1, 9]. 1 9 2 Ats. 2 B“ / 8. Pagal trapecijų formulę 0 apskaičiuokite šiuos integralus; 1 a) | „Ž- (1=10)) 6) yes 0 rs 0-0 AG Ats. a) 0,693; b) 0,835. 9. Pagal Simpsono formulę SE) …
Excerpt
skyrius APIBRĖŽTINIO INTEGRALO PRITAIKYMAI S 166. Plotas ortogonalinėse koordinatėse Duota kreivinė trapecija a4Bb (185 brėž.), apribota tolydinės funkcijos y=f (x) grafiku, x ašies atkarpa ir tiesėmis x=a bei x=b. Tokios figūros plotą, kaip žinome, …
Excerpt
Vadinasi, be praeitame skyriuje išnagrinėto integralinių sumų metodos galima naudoti diferencialo metodą. Sekančiuose paragrafuose uždaviniu, spręsime abiem metodais. Ss 167. Plotas polinėse koordinatėse Duotas sektorius O0AB (186 brėž.), apribotas …
Excerpt
į > + 4 + ki AAS BB. i p 7 Vadinasi, sektoriaus, apriboto kreive p=f (p) ir dviem spinduliais o =x ir o=B, plotas 8 1 S=> [ptdą. (3) Pavyzdžiai. 1. Rasime plotą, apribotą kreive ;=a (1 +cos 9). Norėdami išsiaiškinti, kokią figūrą apriboja nurodytoji …
Excerpt
(žr. $ 53). Vadinasi, lemniskatės lygtis polinėse koordinatėse yra (žr. $ 53 pavyzdį) 9*=a* cos 29. Kadangi lemniskatė yra simetriška tiek x ašies, tiek ir y ašies atžvilgiu (62 brėž.), tai pakanka rasti ketvirtadalio figūros (0 -2d9-p=57 p? do. 186 brėž. …
Excerpt
Apibrėšime glodžios kreivės AB ilgio sąvoką ir kartu išvesime formulę tam ilgiui apskaičiuoti. Tuo tikslu intervalą [a, b] suskaidysime į dalinius in- tervalus r AL 155 5 > Žib > -> Da a ir imsime kreivės AB taškus M,, M,, M,, ..., M; ,, M,, ..., M,, …
Excerpt
Kreivės AB ilgiu laikysime ribą, prie kurios artėja į tą kreivę įbrėžtos laužti- nės ilgis o, kai )=max Ax;—> 0: n = lim 2 V IFUEJE Ai. (4) Pastebėsime, kad laužtinės ilgis G yra ne kas kita, kaip funkcijos VIS OF integralinė suma intervale [a, b]. …
Excerpt
Kai x didėja nuo O iki 4, kintamasis ; didėja nuo 1 iki Į/I0,, todėl y 10 | 8 a. Ja D 8 sė 12 La td=5- 5-5 (10 Vi0-1) 29,07. Sakykime, kad vienas kreivės y=f (x) taškas A (a, J (a)) yra fiksuotas, o kitas M (x J. 6)) laikomas kintančiu (191 brėž.). Tuomet …
Excerpt
Integruodami kreivės lanko diferencialą ds nuo x iki B, randame kreivė ilgį: 8 e Vx+y, de. (7) Pavyzdys. Apskaičiuosime cikloidės, apie kurią kalbėjome $ 56, vienos arkos ilgį (73 brėž.). Iš cikloidės parametrinių lygčių x=a (:—sin t), y=a (1—cos £) (0 < …
Excerpt
" Šiuo atveju dx ir dy randame, pritaikę sandaugos diferencijavimo formu- lę. Diferencijuosime funkcijas x=pcosą ir y=psino, turėdami mintyje, kad 6=f (9). Tuomet dx=dp-cos9+7-dcosp=cos p do—p sin odą, dy=dp-sinę+p-dsino=sino do +7siną do. Pakėlę …
Excerpt
S 170. Kūno tūrio skaičiavimas, kai žinomi piūvių plotai Duotas geometrinis kūnas ir ašis Ox (193 brėž.). Perkirsime šį kūną bet kuria plokštuma, statmena ašiai Ox. Šios plokštumos padėtis bus žinoma, kai bus duota jos susikirtimo su ašimi Ox taško …
Excerpt
Sudėję visų sluoksnių tūrių apytiksles reikšmes, gauname sumą «= J. S(E,) Axį. į=l Šios sumos ribą, kai )=max Ax;—> 0, laikysime duotojo kūno tūriu, t. y. n V= lim 2, S (E) Ax (9) 1— E Lengva pastebėti, kad suma G yra tolydinės funkcijos S (x) integralinė …
Excerpt
A ašiai, yra skritulys. Kadangi skritulio spindulys šiuo atveju lygus y=/ (x), tai piūvio plotas S (x)=72* =7 f? (x). Dabar, remdamiesi (10) formule, lengvai gauname sukinio tūrį: b V.=T | P6)dx, arba trumpiau b V.=x | ytdx. (11) Šią formulę galima …
Excerpt
Šiuo atveju kreivinė trapecija yra apribota elipsės lanku ir x ašies atkarpa [—a, a]. Va- dinasi, ieškomasis tūris a Vy=T »* dx. —a Čia bž = Žr EE P), todėl a T 2 2 E a L (a*—x?) dx = 2 Naja (6-7 = a 3 M = L A Jei elipsė sukama apie y ašį, tai gautojo …
Excerpt
Apskaičiuosime kiekvieną iš gautųjų integralų: 2 2K 121 = | costdr=sint || =0, 0 0 K 2r ši = 1 1 |E2 ao | cos? f dt= 5 J (1+cos 2)dt=-> (+5 sin 21) la S 0 0 2r 2K , , S | asi |2m J cos rar= | (I —sin? r) d sin t=(sin 1-5 sin :) lo (i 0 0 Vadinasi, Vy=7a …
Excerpt
Per intervalo [a, b] dalijimo taškus x; nubrėšime tieses, lygiagrečias y ašiai. Šitaip plokštelę padalysime į » juostelių, kurių kiekvieną apytiksliai galėsime laikyti stačiakampiu. Jo ilgis apytiksliai lygus f(£;), imant x; „ < 0, gausime formulę skysčio …
Excerpt
arba A DES 1 A bx š ist Čia: M B Pagal (12) formulę h h 4 EB bx Au a Mo Dha) P=y | +-57 4-2 [24- Be A 2 0 0 Uždaviniai 1. Raskite plotą figūros, apribotos parabole y=2x—x ir x ašimi. 4 Ats. 3: 2. Raskite plotą figūros, apribotos kreive y=x (x—2)? ir x …
Excerpt
10. Kreivė y*ž=x (1 —x)* turi kilpą. Raskite kilpos apribotą plotą. 8 Ats. 5 - 11. Nubrėžkite astroidę x=a cos? /, y=asin? £ ir raskite ja apribotos figūros plotą. Ats. - Taž. 12. Raskite plotą, kurį nubrėžia Archimedo spiralės ;=a2 polinis spindulys, kai …
Excerpt
22. Figūra, apribota parabole y=2x—3? ir x ašimi, sukama apie x ašį. Raskite gauto- jo kūno tūrį. Ats. Al : Ši 15 23. Figūra, apribota kreive y=sin x intervale [0, 7] ir x ašimi, sukama apie x ašį. Ras- kite gautojo kūno tūrį. 3 Ats. =. 24. Figūra, …
Excerpt
Apibrėžimas. Atitiktis f. kuria kiekvienam aibės G elementui — skaičių porai (x, y) — priskiriamas vienas ir tik vienas aibės Z skaičius z (200 brėž.), : vadinama dviejų kintamųjų (x ir y) funkcija ir žymima sintboliu z=J (x, J). Tokiu atveju aibė G …