Excerpt
2 T Kadangi per valandą garlaivis nuplaukia x km, tai vienam kilometrui nuplaukti su- naudojama 48 3x3 £- 1000 ) Ei: Uždavinyje reikia rasti tokį greitį x, kad pastaroji sama būtų mažiausia, t. y. reikia rasti funkcijos Kaas Sta, Kr BOO minimumo tašką. …
Excerpt
Kreivės iškilumo žemyn požymis. Jei funkcijos y -=f (x) antroji išvestinė f“ (x) intervale Ja, b[ teigiama, tai tos funkcijos grafikas intervale Ja, b[ iškilas žemyn. Kadangi funkcijos y'=f" (x) išvestinė f" (x) intervale Ja, bĮ teigiama, tai pati …
Excerpt
Įrodymas. Tarkime, kad f" (x), kai x praeina pro x,, iš teigiamos pasi- daro neigiama. Tada yra intervalas ]x,—0, x,[, kuriame f" (x) teigiama, ir intervalas Įx,, x;+3[, kuriame f" (x) neigiama (163 brėž.). Intervale Įx,— D, Xo[ funkcijos y=/ (x) grafikas …
Excerpt
Vadinasi, pirmajame intervale duotoji kreivė yra iškila žemyn, antrajame — aukštyn, is 2 š 1 5 1 3 o trečiajame — vėl žemyn. Taškuose ( ———— —| 111 S ivė į- V3 aa V3 Fi kreivė persi lenkia (164 brėž.). 3 2. Funkcijos y= Į/ x pirmoji išvestinė 1 3 — 3Va …
Excerpt
4. Išsprendę lygtį f' (x) =0, randame funkcijos f(x) stacionarinius taš- kus. Prie jų prijungiame tuos taškus, kuriuose išvestinė neegzistuoja. Tokiu būdu gauname visus kritinius taškus. Nustatome išvestinės ženklą kiekvie- name intervale tarp dviejų …
Excerpt
Dabar imame duotosios funkcijos antrąją išvestinę y"=32—4=3 (*-5) į š a 22 L p Ė 2 …
Excerpt
Kadangi y'— + 0, kai x—+0, tai taške (0, 0) grafikas turi vertikalią liestinę. Taške (1, I) liestinė, aišku, horizontali, nes y/=0, kai x= L. žali Turėdami išvestinę y“ =2x 3 —2, randame antrąją išvestinę O 9 3 3 — sBVa ir pastebime, kad ji visoms x …
Excerpt
Pabrėšime, kad, pereinant iš intervalo 1:- =| į intervalą | > [ išvestinė ženklo nekeičia. Vadinasi, taške x=7+ ekstremumo nėra. Nežiūrint to, atitinkamas kreivės taškas yra svarbus, nes jame nubrėžta liestinė lygiagreti x ašiai (y“=0!). Todėl ir parašėme …
Excerpt
mą tarp a ir b yra toks taškas c, ia Pl. ai 0, Kitaip Siam ; 6)- f(a) , ri- LA--8(9=0 arba J f(b) = AO) S 7 = a Padaliję iš g' (c) (tai galima, nes g' (c) £0), gauname (3) lygybę, kurią vadiname Koši formule. Pastebėsime, kad Lagranžo formulė yra atskiras …
Excerpt
Kai x—a, aišku, ir c—a. Vadinasi, ia TE lių 0 L = BJ — ED“ Pagal įrodytąją teoremą, užuot ieškoję funkcijų santykio ribos, galime ieškoti jų išvestinių santykio ribos, jei pastaroji egzistuoja. Dažnai išvestinių santykio ribą rasti būna lengviau. …
Excerpt
Pavyzdžiai. 4. Apskaičiuosime : In x co Lmti-—— 0 (2) : =—+0 Aš EE 0 Pagal Liopitalio taisyklę tim MX tim 05) im Ž Im 1 x=— 10 120 a (07) RS LS 5. Apskaičiuosime 14 li — (a> 1, 4> 0) (2): a (L tim „2 pli E x-—-0 až x-—-+0 aš In a Jei «> 1, tai dešinėje …
Excerpt
o antrajam pritaikoma Liopitalio taisyklė: lim „XCOSX—SINX im zxsin x a x—0 xsinžx x> 0 sinž x+2xsinxcos x —lim LL 2 x> 0 sin x i leo Taigi > 1 1 2 lim L | OJ4 —— — —— lim, (ctg* x 5) 2.( 2 3. Uždaviniai 1. Per kreivės y=x“ tašką (I, 1) nubrėžta liestinė. …
Excerpt
12. Įrodykite, kad funkcija y=33+x visur didėja. 13. Įrodykite, kad funkcija y=arctg x—x visur mažėja. 14. Raskite žemiau nurodytų funkcijų didėjimo ir mažėjimo intervalus: a) y=x—-€7; b) y=x*—4x?1-4x2; el = ež d) y=2x*-Inx; e) v=x -+-cos x. Ats. a) ]— …
Excerpt
22. Tunelio skersinis piūvis yra stačiakampio formos, iš viršaus užbaigtas spindulio R pusskrituliu. Koks turi būti R, kad tunelio skersinio piūvio plotas būtų didžiausias, kai to skersinio piūvio perimetras lygus 18 m? Ats. R= 2,5. 18 z+4 23. Iš trijų …
Excerpt
26. Patikrinkite Koši formulės teisingumą intervale 1[, 2], kai f(x)=33, g(x)= =x2+1. 5 Ats. e=l5 š 27. Apskaičiuokite: a) lim Jncosx f) im „Jnsinžx, x—0 X x—0 Insin x - x-arctgx | EE lime): b) E 13 T x7-—> 10 : Ž 5 Tim > ME h) lim (x*e*); x-—-0 X-tEX x—0 …
Excerpt
Bendruoju atveju duosime tokį apibrėžimą. Jei funkcijos y=f (x) pokytį Ay =f (x+Ax)-f (x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma Ay=4A-Ax+0 (Ax), (1) kurių pirmasis (A - Ax) yra tiesiškas Ax atžvilgiu, o antrasis — nykstantis dydis aukštesnės eilės. negu Ax …
Excerpt
S 142. Diferenciaio reiškimas, naudojantis išvestine Savaime kyla klausimas: kaip apskaičiuoti funkcijos diferen- cialą, neapskaičiuojant funkcijos pokyčio? Atsakydami į šį klausimą, įrodysi- me teoremą. Jei funkcija y=f (x) yra diferencijuojama taške xą, …
Excerpt
Iš įrodytųjų teoremų matyti, kad diferencialo dy išraiškoje A - Ax koe- ficientas A gali būti tik f' (x,). Todėl visada dy=f' (x4) : Ax. Peržiūrėję praeito paragrafo pavyzdžius, matome, kad pagrindinė pokyčio dalis taip ir buvo išreikšta. Nepriklausomo …
Excerpt
IV. Funkcijų u ir v dalmens diferencialas v 22 yž iš Čia u vdu—u dy 4 (245 S 145. Sudėtinės funkcijos diferencialas Iki šiol nagrinėjome funkcijos y=/ (x) diferencialą, laikydami x nepriklausomu kintamuoju. Tuo atveju diferencialas dy išreiškiamas formule …
Excerpt
* x pokytis Ax, o (5) reiškinyje dx yra funkcijos x =g (7) diferencialas — poky- čio Ax pagrindinė dalis (dx=x,-dt=x; : At). Tiek iš (4), tiek ir iš (5) lygybių išvestinę galima išreikšti diferencialų santykiu: A dy Va= dx Todėl labai dažnai funkcijos …
Excerpt
Jeigu x,+Ax=x, Ax=x—x4, tai vietoj (6) formulės turėsime šitokią: J) 2 (0) + (o) — AI). Atskiru atveju, kai x,=0, gauname f) £(0)+f£'(0)- x. (7) Iš šios lygybės, vietoj f (x) imdami elementariąsias funkcijas, gauname keletą apytikslių formulių, tinkančių …
Excerpt
Pavyzdžiui, pieštuko ilgi matuodami liniuote, turinčia milimetrines pa- dalas, galime garantuoti, kad paklaidos modulis nėra didesnis už 0,1 cm. Šiuo atveju 0,1 cm ir bus maksimalioji paklaida. Sverdami parduotuvės svarstyklėmis, galime garantuoti, kad …
Excerpt
Pavyzdys. Rasime skaičiaus 7 artinio x=3,14 maksimaliąją santykinę paklaidą. Kadangi 7=3,14i59 ..., tai absoliutinė paklaida yra mažesnė už 0,002. Maksima- linė santykinė paklaida Bra 0002 pisioIga T T Vadinasi, maksimalioji santykinė paklaida sudaro …
Excerpt
S 148. Aukštesnių eilių diferencialai Tarkime, kad funkcijos y=/f (x) argumentas x — nepriklauso- mas kintamasis. Jei ši funkcija diferencijuojama kiekviename intervalo Ja, b[ taške, tai jos diferencialas dy=— | (G) dx (9) priklauso nuo x ir nuo dx =Ax. …
Excerpt
Kadangi dx? = (Ax) yra pastovus daugiklis, tai iš paskutinės lygybės lengvai gauname dšy =f" (x) * dx. Analogiškai apibrėžiami ir dar aukštesnių eilių diferencialai. Uždaviniai 1. Raskite funkcijos y=x* pokytį, atitinkantį nepriklausomo kintamojo pokytį …
Excerpt
XIX ia skyrius NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS $ 149. Primityvioji funkcija ir neapibrėžtinis integralas Pirmasis diferencialinio skaičiavimo uždavinys buvo apskai- čiuoti funkcijos išvestinę arba diferencialą. Dabar spręsime atvirkštinį už- davinį — ieškosime …
Excerpt
Vadinasi, funkcija O (x) tikrai išreiškiama suma F (x) + C, atitinkamai pasirin= kus skaičių C. J Interpretuojant įrodytąją teoremą geometriškai, matyti, kad visų funk- cijos f(x) primityviųjų grafikai gaunami, stumiant kreivę y= F (x) lygiagre- čiai y …
Excerpt
Kyla klausimas: ar kiekviena funkcija, apibrėžta kuriame nors intervale, turi primityviąją? Apskritai į šį klausimą atsakome neigiamai, bet pabrė- žiame, kad kiekviena elementarioji funkcija bet kuriame savo egzistavimo in- tervale turi primityviąją. 2 1 …
Excerpt
1 cosž T. | Z--t:+G nes (tg x) = cos* „g | -—— = —etgx 17C, nes (—ctg X) S 5) | — =aresinx+C, nes (arcsin x)' = B V V1-2 v= dx s A 4 / 11, 7arcigx+C, nes (arctg x) — Ek, Integralus, surašytus šioje lentelėje, vadinsime lenteliniais. Juos rei- kia gerai …
Excerpt
2. Dviejų funkcijų sumos integralas lygus tų funkcijų integralų sumai. Imsime funkcijas f(x) ir g (x) ir įrodysime, kad | (F0+5 ())ds= | fla)ds+ | s(aax. (4) Norint šią lygybę įrodyti, reikia palyginti jos kairiosios ir dešiniosios pu- sių išvestines. …