Excerpt
Kadangi = 0, 001, tai ir |S;— S| 0, ir a,+ |a,|=0 kai a, …
Excerpt
Parašytąją eilutę lyginame su konverguojančia eilute, kurios bendrasis narys Yra Kadangi |sin na | 1 B Sons tai (14) eilutė konverguoja. Dabar belieka remtis įrodytąja teorema: jei konverguoja (14) eilutė, tai konverguoja ir (13) eilutė. Pabrėžiame, kad …
Excerpt
Norėdami pritaikyti ką tik nurodytą Dalambero požymį, turime apskaičiuoti tokią ribą: An+1 T = lim lim | ' n-0 N n—o0o Kadangi A4= |x|, tai tiriamoji eilutė konverguoja absoliučiai, kai |x| < I, ir diverguoja, kai Iss|-15 Belieka sužinoti, ar tiriamoji …
Excerpt
2. Palyginę duotąsias eilutes su žinomomis eilutėmis, nustatykite, ar jos konverguoja, ar diverguoja: 1 1 1 a) 2 *325 7 Gun 142 1+n Nžiikti a EEA AS op Ds Ba (n+1)(n+4) || 2-3 n+1 , ata. Ga E 1 1 1 9) 5 t5t--- ty +--- Ats. a) konverguoja; b) diverguoja; …
Excerpt
5. Eilučių 2 l 1 a) |-5r T —- D l l n+1 dis tp) Z E sumas apskaičiuokite 0,001 tikslumu. Ats. a) S20,901; b) S=0,6325 b L- 6. Jei konverguoja eilutės ai+až+aši+t... kaži... e b3+bž+b6š+...+62+..., tai eilutė ab, -a5b;+a5b5+- ...L-Anb) > konverguoja …
Excerpt
Pavyzdys. 1. Funkcijos x, x*, x*, ..., x", ... yra apibrėžtos intervale ]—- 0, + 0[. Tų funkcijų eilutė x+x* +... 1... x 1 1 taške 5 konverguoja, nes vietoj x parašę skaičių 2 „ gauname konverguojančią eilutę 1 1 1 | > tuios t--- Ton S Taške 2 ta funkcijų …
Excerpt
Belieka sužinoti, ar tiriamoji eilutė konverguoja, kai |x|=!, t. y. taškuose I ir — I. Tuo tikslu tiriamoje eilutėje vietoj x parašome | ir —1; gauname skaičių eilutes l 1 Ž 1 Linas 4 a 2 TB Ss kurios konverguoja absoliučiai ($ 194, 3 pavyzdys). Vadinasi, …
Excerpt
Funkcijų eilutės (F) dalinė suma yra kintamojo x funkcija: S.(x) = ()-+-/> 0) +/5 (4) +---+/, (X) Tos eilutės suma S (x)=lim S, (x) yra funkcija, apibrėžta eilutės (F) konver- gavimo srityje. 0 Pavyzdys. 8. Eilutės 1+x+x24+...1-x"7—14+1... nariai sudaro …
Excerpt
Kadangi seka Cą4, C;Xp, C5X5, +++, C,XI, -.. turi baigtinę ribą, tai visų tos sekos narių moduliai yra mažesni už kokį nors skaičių M: lex | < M. Dabar tarkime, kad x reikšmė x tenkina nelygybę |xX| < |xg|, ir įrodykime, kad skaičių eilutė Ca 66 X E kais …
Excerpt
Sakydami, kad ]—r, r[ yra laipsninės eilutės (L) konvergavimo intervalas, nekreipiame dėmesio, kad eilutė gali konverguoti taškuose r ir —r (viename ar abiejuose). Pavyzdžiui, laipsninės eilutės x2 x3 i di psp 3 nas S Emppiibs > = (žr. praeito paragrafo 5 …
Excerpt
Apskaičiavę kiekvieno eilutės (L) nario išvestinę f, (x)= nc,x"-1, sudary- kime kitą laipsninę eilutę c,+-20;x1-305321 L no, 1. (L) Galima įrodyti, kad eilutės (L') konvergavimo intervalas sutampa su eilutės (L) konvergavimo intervalu ]—r, r[. Lengviausia …
Excerpt
Ta laipsninė eilutė irgi konverguoja intervale ]— I, I[, o jos suma yra 1 S 6)= 1“ Parašykime laipsninę eilutę, kurios narių išvestinės yra eilutės (L) nariai: Ei a ia Cn +1 Ožt5 15 R Lai (L,) Kadangi eilutė (L) gaunama 1š eilutės (L,), diferencijuojant …
Excerpt
nę eilutę, kurios suma yra ta funkcija. Tokiu atveju sakome, kad funkciją f(x) reikia išreikšti laipsnine eilute. 1. Parašykime laipsninę eilutę, kurios nariai sudaro geometrinę progre- siją su vardikliu —x: 1-x+x2-...+(-17" 1... Ta eilutė konverguoja …
Excerpt
Lengva įsitikinti, kad čia C =0 (pakanka vietoj x parašyti 0). Vadinasi, x3 xš x2n+1 aria =*—- Aa: „+(-17" T 4.. (7) (-1 …
Excerpt
Jeigu ir lygybėje (A), ir visose pastarosiose lygybėse kintamąjį x pakeisi- me skaičiumi 0, tai gausime (0) = 27 (0) Za 70) =2057-(0) la 79O0JE na 25 Iš parašytųjų lygybių aišku, kaip apskaičiuojami eilutės (A) koeficientai: * (0 " (0 " (0) f (0) a,=/ …
Excerpt
2. Funkciją f (x) =sin x irgi galima išreikšti laipsnine eilute. Tam reikalui apskaičiuojame išvestines: f'(x)=cos x, f" (x)= —sinx, f" (x)= —cos x, f90 (x)=sinx, ... Vietoj x parašę skaičių 0, gauname funkcijos f(x)=sin x išvestinių reikšmes taške 0: …
Excerpt
Kai rastąsias išvestinių reikšmes parašome (8) lygybėje, gauname vadinamąją binominę eilutę: (+x=1i r RED a, p EGO (19) 1! n! Jei x=m, o m — natūrinis skaičius, tai daugiklis x — 27+1=m-—n11 yra lygus nuliui, kai 1=m+ 1. Vadinasi, tokiu atveju …
Excerpt
Jeigu tarsime, kad l asliirtart--tZ7 tai padarysime paklaidą lako iai Pržgkooi eid (n+1)! ta (n+3)! (n+!)! [ ET .| < R,= L = mir lele si rr 1 1 1 = [ 5 TP A Sumą laužtiniuose skliausteliuose galima rasti, kaip begalinės geometrinės =. Ši 1 progresijos su …
Excerpt
galime apskaičiuoti sinuso reikšmes. Kadangi eilutė yra alternuojanti. tai apytikslės lygybės xanti x xš 17 sinx=1——— > , 2 10 1) TaTDT 3! 5! paklaida R,„,, yra mažesnė už pirmo atmestojo nario modulį: 2 į2n+3 Ri, < (2n+3)! a Imdami x=1, apskaičiuosime …
Excerpt
4. Natūrinių logaritmų skaičiavimas. Čia parodysime, kaip apskaičiuo- ti sveikų teigiamų skaičių natūrinius logaritmus. $ 201 išvesta formulė 2 a 14-24 1 In(1 +x)=*—> 7+ ITG mr E 85 tam reikalui netinka, nes ta eilutė diverguoja, kai x > 1. Iš jos gausime …
Excerpt
1 1 Ž G ĖiĖ DR re S pakeisdami dides- Šią paklaidą įvertinsime, trupmenas ne trupmena 5— Ti ; tada turėsime nelygybę 2 l | 1 Ra-1€ 551 ATI [1-+ …
Excerpt
tinkančią visoms x reikšmėms ($ 203, 2). Ją panariui padaliję iš x, gauname formulę sin x S až gė RR air ioo kurios dešinėje esanti eilutė konverguoja intervale |—- 00, + oo[. Tokią eilu- tę galima panariui integruoti nuo O iki 1: 1 1 sin x r [ 5 dx= | L …
Excerpt
kuri konverguoja, kai |x—a| …
Excerpt
Todėl Inx=ln 141 ( …
Excerpt
Sąlygoje pasakyta, kad ši eilutė konverguoja. Kadangi [a | |-+ [55|-----+[5,|+---- irgi konverguoja (remiamės teigiamųjų eilučių palyginimo požymiu). Vadi- nasi, eilutės (A) ir (B) konverguoja absoliučiai, o pagal apibrėžimą tai ir reiškia eilutės (C) …
Excerpt
kurios suma yra e*. Kadangi (21) eilutė gaunama iš (19) eilutės, kai z=x yra realus, tai (19) eilutės sumą natūralu žymėti eZ. Vadinasi, Zz z Žž. =. 1 irigi ais ais : (22) Atskiru atveju, kai z=/x yra grynai menamas (x — realus), iš (22) lygybės gauname i …
Excerpt
Nurodysime paprastą atvejį. kai trigonometrinė eilutė konverguoja intervale ]— 00, + 00[. Teorema. Jei iš trigonometrinės eilutės (T) koeficientų sudarytos eilutės a,+05+...+a,+-.. ir b+b;+-...1+b,+-.. konverguoja absoliučiai, tai trigonometrinė eilutė …
Excerpt
Į pateiktąjį klausimą atsakoma platesniuose vadovėliuose: funkciją f (x) ūntervale ]— 00, + o0[ galima išreikšti trigonometrine eilute, kai f (x) ir f' (x) yra tolydinės tame intervale. ; 5 208. Furjė koeficientai Sakykime, kad funkciją f (x) intervale ]— …
Excerpt
Norėdami rasti koeficiento a, (n=1, 2, ...) išraišką, eilutę (T) padaugin- sime iš cos nx ir integruosime panariui: T T T [ f(x) cos nxdx=-3 i! cosnxdx + [ap / COS X COS nxdx + —z —T —T T T +6, [ sin X COS nxdx)+ (as Ė COS 2x cos nx dx + E ke T T +b; [ …
Excerpt
Lengva pastebėti, kad (24) formulė yra (25) formulės atskiras atvejis (kai 2=0), todėl iš (25) formulės, imant n=0, 1, 2, ..., galima rasti a4, a, das šš S Norėdami rasti koeficientus b,. eilutę (T) padauginsime iš sin nx ir iu- tegruosime panariui nuo —7 …