Excerpt
Jei g*0, tai ištos sistemos randami koeficientai A, B ir C. Tuo pačiu bus apibrėžtas sprendinys z. Kai g=0, atskirą sprendinį imame šitokį: z=x (Ax? +Bx + C). Pavyzdys. 4. Išspręsime lygtį y“ +y=A*. Čia charakteringosios lygties šaknys yra grynai menamos …
Excerpt
Šias F ir a išraiškas parašome lygybėje F =ma ir gauname taško judėjimo diferencialinę lygtį mx .F(f, i X): (42) Ši lygtis tik kintamųjų žymėjimu skiriasi nuo (23) lygties, kurios atskirus at- vejus sprendėme $$ 217—219. Norėdami išsamiai aprašyti …
Excerpt
9. Materialus taškas juda x ašimi, veikiamas jėgos, kūri proporcinga taško nuokrypai nuo O ir visą laiką nukreipta į tašką O*. Aplinkos pasiprie- šinimo nėra. Raskite taško judėjimo dėsnį. Sprendimas. Tarkime, kad 71 — taško masė, x, ir 4 — jo abscisė ir …
Excerpt
Didžiausia svyruojančio taško nuokrypa nuo O yra lygi A. Skaičius 4 vadinamas svyravimo amplitude. 253 brėžinyje pavaizduotas harmoninio svyravimo grafikas, iš kurio galima nustatyti taško nuokrypą x bet kuriuo momentu r. Norėdami rasti sprendinį, …
Excerpt
(«= — su pastoviais koeficientais. Jos charakteringosios lygties 22424 + +02=0 šaknys yra Ma= —1 Vhž-ož. Jei h> 0, tai šaknys 24 ir 2,5 realios ir neigiamos. Iš bendrojo sprendinio 0 „V-I C, „CH-Vi-a 1 matyti, kad šiuo atveju svyravimų nėra. Kadangi x—0, …
Excerpt
Lai ini Ais. agnriisikikiauamasodiššiauiu i i 1 4. Materialus taškas juda x ašimi, veikiamas jėgos, proporcingos taško nuokrypai nuo O ir nukreiptos taško O kryptimi. Be to, jį veikia perturbuojan- ti periodinė jėga H sin kt. Aplinkos pasipriešinimo nėra. …
Excerpt
Gautąsias z" ir z išraiškas rašome (45) lygtyje vietoj x" ir x ir, sutraukę pa- našiuosius narius, gauname —2Mo sin o: +2No cos of =a sin ot; —2Mo=a, 2No=0; a M =.- 95 , N=(0. Vadinasi, bendrasis sprendinys šiuo atveju yra = Asin(of+9)— L: t x=Asin(ot+0 …
Excerpt
Pavyzdžiui, jei 0z 2779, tai zs | 3x*y*dx+9(Y)=7y*+0( y). Aišku, kad turėdami nežinomos funkcijos z dalinę išvestinę 0z 3, 7806 V), galime rasti pačią funkciją Zz: z= | g(x »)dy+4 6); čia Ų (x) — bet kuri kintamojo x funkcija. Dabar tarkime, kad duota …
Excerpt
Iš čia l Be 2 AO, z100) 2. Išspręsime lygtį „žė =0 = xy=0. Kadangi y laikomas pastoviu, tai kintamųjų x ir z atžvilgiu šią lygtį reikia laikyti lygtimi su homogeniniais koeficientais. Todėl imame z=ux (4 — nežinoma kintamųjų x ir y funkcija) ir gauname 0z …
Excerpt
Matome, kad išspręstųjų diferencialinių lygčių bendrieji sprendiniai turi po vieną laisvą funkciją. Taip yra ir bendruoju atveju: pirmos eilės di- Jerencialinės lygties dalinėmis išvestinėmis bendrasis sprendinys turi vieną lais- vą funkciją. Praktikoje …
Excerpt
B. Panašiai sprendžiama ir lygtis 02Z a 7), iš kurios gauname z= | [f tss > )dy]dy+9 60 +4 60. Pavyzdys. 2. Iš lygties 02z ap dukart iš eilės integruodami, gauname Oz S (x); 9 (x) dy =x9 (x) + 4 (A). C. Lygtį = =J (x, V) sprendžiame, pirmą kartą …
Excerpt
$ 223. Stygos svyravimo diferencialinė lygtis Tarkime, kad ištempta styga ramybės būsenoje sutampa su x ašimi. Atlenkus ją iš pusiausvyros padėties ir paleidus, styga ims svyruoti. Kyla klausimas: kaip keisis stygos forma, laikui bėgant? ū u=ulx.t) 0 x šė …
Excerpt
Jei stygos linijinis tankis yra p, tai elemento AB masė yra m=pAx. To- dėl, remdamiesi Niutono dėsniu ma=F, galime rašyti apytikslę lygybę Ožu Ge), Ožu (E, t) pAx DARO P Kioai 3 Au. Suprastinę iš Ax ir artindami Ax prie nulio (tada £—x), gauname Ožu CG …
Excerpt
kurioje ę (z) ir 4 (z) — bet kurios dukart diferencijuojamos kintamojo z funk- cijos. Iš tikrųjų, 2579 K-a)+V (x+a1), Ay (x—at) + 1" (x +at); = —a9' (xX-ai)+aV (x+ai), = =ažg"(x-at)+a* V (x+at). Iš čia matyti, kad Ožų > Ožų ——=a" —. 012 Ox? Dabar …
Excerpt
Ištirsime gautojo sprendinio fizikinę prasmę. Tarkime, kad f(x)0 tik baigtiniame intervale ]—/, I[. 257 brėžinyje (a) pavaizduotas funkcijos u=f (x) grafikas, žymiai padidinus jo taškų ordinates u. Tokia forma sutei- kiama stygai pradiniu momentu a - t-0 …
Excerpt
kurios daugiklis X (x) yra tik kintamojo x funkcija, o daugiklis T(/) — tik t funkcija. Be abejo, mus domina sprendinys u (x, t), nelygus tapatingai nuliui, todėl turi būti X (x)=0 ir T()> 50. Kadangi 02 " 0ž LA ap X) T (), = =X 6) T (O), tai iš (46) …
Excerpt
Tokiu būdu, konstanta c turi būti neigiama. Ją patogu žymėti — 32a2, Tada iš (50) lygybių gauname dvi diferencialines lygtis: X'+)2X =0 T'+Ma*T =0, kurių sprendiniai atitinkamai yra X (x)=A cos Mx4+Bsinhx, T(f)=C cos Mat + D sin Nat (A, B, C ir D — …
Excerpt
Funkcija u, (x, t) tenkina stygos svyravimo lygtį ir kraštines sąlygas. Iš jos matyti, kad kiekvienas stygos taškas x svyruoja harmoniškai su amplitude Važ+62 sin Žr. Stygai svyruojant pagal dėsnį u, (x, f), kai kurie stygos taškai nejuda. Tai taškai, …
Excerpt
6. Eilutę 1+(—1)+1+(—1)+-..+(—1)"-141... visada rašome Šitains ia ki AEA Ta eilutė diverguoja, nes jos dalinės sumos S,=1, 5;=1— 1=0, S,;=1—14+1=1 ir t. t. sudaro neturinčią ribos seką 1 0 0, Iš pateiktųjų pavyzdžių matyti, kad, tiriant skaičių eilutę, …
Excerpt
Pabrėžiame, kad eilutė, tenkinanti būtiną konvergavimo sąlygą (lim.a,=0), gali diverguoti. Sakysime, 4 pavyzdyje buvo tiriama eilutė, kurios bendra- sis narys yra a,= „ Nors šiuo atveju 1 Va l — Va bet eilutė, kaip matėme, diverguoja. Vadinasi, …
Excerpt
eilutės narius nuo pirmojo iki 2"!-ojo imtinai ir gautosios sumos dėmenis sugrupuojame šitaip: 1 1 1 l l 1 1 Sm=li5+(++75)+(> +7+7+3)+ 4 D a6 —— 2 nariai 22 narių Dikės 12 po el Lai 2 + (p+5+---+Bt5)+-- (> = +25 5757. 22 ———————— 23 narių A narių Lengva …
Excerpt
Įrodymas. Imkime abiejų duotųjų eilučių dalines sumas: S,=4,+4;+a,+ m. dn c„=ka,+ka,+ka,+ ...+-ka.. Kadangi c„=k(a,+a;+-...+a,)=kS,, lim 6,= £ kS, 2 S KS: n—> 0 Vadinasi, (3) eilutė konverguoja, o jos suma lygi kS. 2 teorema. Jei a, +0;4+055+ 221 B Cr …
Excerpt
Kadangi o;=Gp+1+0p4+> +--.+-0544 Yra (5) eilutės dalinė suma, sudaryta iš k pirmųjų narių, tai Sp+k=Sp + 05: (6) Sakykime, kad tiriamoji eilutė konverguoja ir kad jos suma lygi S. Tada lim Sp+k = S k—-0 Tokiu atveju, iš (6) lygybės parašę lygybę …
Excerpt
s 194. Teigiamųjų eilučių lyginimas Lengviausia tirti eilutes, kurios neturi neigiamų narių. Jas vadiname feigiamomis eilutėmis. Vadinasi, 1-4 13 Ia yra teigiama eilutė, kai a,> 0 (n=1, 2, 3, ...). ILema (teigiamos eilutės konvergavimo požymis). Teigiama …
Excerpt
Kadangi T,, Ty, Ty, konverguoja. Palyginimui imame konverguojančią eilutę, išnagrinėtą $ 191, 1 pavyzdyje. Jos bendra- 4 1 Ž o sis narys yra ba= Ga Kadangi 1 | i, RA 2+n o DN tai, remdamiesi pirmuoju palyginimo požymiu, darome išvadą, kad nagrinėjamoji …
Excerpt
Iš (9) lygybės, remiantis ribos apibrėžimu, išeina, kad skirtumas yra kiek norima mažas, kai 7 pakankamai didelis. Todėl, pradėdami kuria nors n reikšme, turėsime . Uni A …
Excerpt
N X Dalambero požymis. Tarkime, kad, turint teigiamą skaičių eilutę V a, +0;+05+-..+a,+-.., (A) | egzistuoja (baigtinė ar begalinė) riba : ž An4i iai (0) Kai A < I, eilutė (A) konverguoja; priešingu atveju, kai A > |, eilutė (A) diverguoja. Įrodymas. Iš …
Excerpt
Vadinasi, kiekvienas eilutės (A) narys (pradedant nuo kurios nors vietos) yra didesnis už prieš jį stovintįjį narį. Tokiu atveju bendrasis narys a, neartė- ja prie nulio; todėl eilutė diverguoja. Pavyzdys. Remdamiesi Dalambero požymiu, įsitikinsime, kad …
Excerpt
Būtiną alternuojančios eilutės konvergavimo sąlygą galima išreikšti ly- gybe lim:c- 0: Be abejo, toliau tirsime tik tokias alternuojančias eilutes, kurios tenkina tą sąlygą. Yra paprastas požymis, kuriuo remdamiesi sprendžiame, ar eilutė (C) konverguoja. …
Excerpt
Pavyzdys. I. Remdamiesi Leibnico požymiu, galime tvirtinti, kad eilutė 1 1 26 1 1 pa TatĘ —- konverguoja. Ta eilutė nuo harmoninės eilutės skiriasi tik tuo, kad nariai su lyginiu numeriu yra neigiami. Sakykime, kad eilutė (C) tenkina Leibnico požymio …