Excerpt
funkcijos 2 + 2 reikšmių ir skaičiaus 2 skirtumo modu yra kiek norima mažas, kai x reikšmės yra pakankamai didel : (2 - +) — 92 | + c0, jei bet kuri (kiek norime mažą) teigiamą skaičių < atitinka toks skaičius A, kad visos x reikšmės, didesnės už A, …
Excerpt
nelygybę |f(x)—2| < e. Todėl skaičius 2 tenkina tuos reikalavimus, kurie funkcijos ribos apibrėžime keliami skaičiui A: 1 lim ( 247)=2. x7—+0 x Atkreipiame dėmesį, kad funkcijos y=2+2 reikšmės yra didesnės už jos ribą,kai x—> +0 (132 brėž.). 2. Panašiai …
Excerpt
| 4. Nagrinėjant tolesnius pavyzdžius ir sprendžiant pratimus, labai svarbu žinoti, kad 1 lim TA =0, x—+0 x kai 4 — bet kuris teigiamas "EMS skaičius. Laipsninę funkcija f = ( . + 1 1 š . I 3 1 s Kadangi nelygybė =x Zr nelygybei x> (=) „tai If (+)—0| …
Excerpt
+ Z ; Skaičius A, minimas ribos apibrėžime, priklauso nuo =. Mažinant E, skaičių A dažniausiai reikia didinti. Kitaip sakant, kuo siauresnė yra juosta tarp tiesių y=4A— < ir y=4+5, tuo toliau reikia eiti į dešinę, kad funkcijos y =/(x) grafikas nebeišeitų …
Excerpt
V=/f(x) grafikas yra tarp tiesių y= A —e ir y=4A+e (135 brėž.). Kuo mažes- * nis skaičius …
Excerpt
Panašiai apibrėžiama ir funkcijos riba, kai x artėja prie a iš dešinės. Šiuo atveju funkcija y=/(x) turi būti apibrėžta kokiame nors intervale, kurio kairysis galas yra taškas a (137 brėž.). ko y Y=f[x] Vf4)-A| Įf4)-A| Y=fl4) A+€ 4:6 //+-——— NE ŽŽ A …
Excerpt
Intervalų junginį Ja —0, a[ U Ja, a+0[, kurį gauname, iš intervalo ]a-—ė, a+-0[ pašalinę skaičių a, vadiname taško a aplinka. Naudodamiesi šia są- voka, galime funkcijos ribą taške a apibrėžti trumpiau: Skaičių A vadiname funkcijos f(x) riba taške a, kai …
Excerpt
ans „0 (—x)*=x*. Vadinasi, (5) nelygybės yra teisingos ne tik tada, kai 0 …
Excerpt
Tarkime, kad f(x) — bet kuri funkcija ir kad lim J(x) = A. Tokiu atveju pakankamai mažoje taško a aplinkoje yra teisinga nelygybė If(x)— A| + 00 (žr. 1 pavyzdį), gauname 2x241 lim = 1 x-—-> 10 Dėstant tolesnę teoriją, bus pravartu žinoti dvi lemas, …
Excerpt
ir tokia taško a aplinka, kurioje € I86)| Mažesniojoje iš tų dviejų aplinkų abi parašytosios nelygybės yra teisin- gos. Todėl toje aplinkoje …
Excerpt
EV : $ 105. Funkcijų sumos, sandaugos ir dalmens ribos | 7 teorema. Jeigu funkcijos y =f(x) ir y =g(x) turi ribas, kai x—=a: lim f(x) = A, limg(x)=B, x—a XxX—> a tai tų funkcijų-suma-f(x) + g (x) irgi turi ribą (kai x—a), būtent, lim[ f(x) +7(5)]= 418. …
Excerpt
Funkcijos A B(x), B x(x) ir x(x) P(x), kaip nurodyta praeito paragrafo 2 lemoje, nyksta, kai x—a. Todėl jų suma AB(x)+-B «(x) +-x(x) B(x) irgi nyks- ta, kai x—> a (1 lema). Jei tą sumą pažymėsime y(x), tai gausime J) glx)= AB +x(x). Vadinasi, funkcija …
Excerpt
Iš praeito paragrafo lemų matyti, kad paskutiniuose laužtiniuose skliaustuo- se parašyta funkcija nyksta, kai x—a. Be to, funkcija r ankščiau pami- nėtoje taško a aplinkoje yra aprėžta: 1 1 0 < RE) z0) < IB (turime mintyje, kad B> 0 ir g (x)> 7> 0). Todėl …
Excerpt
3. Remdamiesi 3 teoremos išvada, apskaičiuosime dalmens ribą (kai 670); sin ax asinas I sin ax Ii se x—0 a im. =————— NS ————> ———> —> —> 15 eso Sina SIODE ia sinibx“ 7 5 2 x—0 Praktiškai skaičiuojant ribas, kai kada pravartu žinoti toliau gaunamus …
Excerpt
Įrodinėdami šį teiginį, pasirenkame bet kurį (kad ir labai mažą) teigiamą skaičių E (remiamės neaprėžtai didėjančios funkcijos apibrėžimu). Toje aplinkoje 1 1 I 0)l=- TBT“ E“ Vadinasi, kiekvieną teigiamą skaičių < atitinka taško a aplinka, kurioje ja (x)| …
Excerpt
Dabar aptarsime tokį klausimą: ką galima pasakyti apie funkcijų f (x)+ +g (3), f(x) g (x) ir La ribas, kai funkcijų f(x) ir g (ax) ribos (viena ar abi) yra begalinės arba kai vardiklio riba Lygi-nuliui, Tirsime tik keturis svarbiau- sius ir įdomiausius …
Excerpt
lim/f(x)= + 00 ir limg(x)= + oo. Santykio riba šiuo atveju gali būti ir ietinė ir rinos o kartais gali visai neegzistuoti. Ž Tuo įsitikiname, nagrinėdami paprastus Žau A Sakysime, kai 7 6)-Ž „E (A — realus skaičius), o g (x) = + Matome, kad -— MC =+0 EE …
Excerpt
Skaitiklį ir vardiklį padauginę iš Vliix+ 1, gauname (kai x0) V 1 t EEA Todėl lim Las Ni eso x—0 X x—0 Vlix+1 2 3x2—1 c0 2. sa B Skaitiklį ir vardiklį padaliję iš x*, gauname (kai x> 0) 1 ai Ora E 1 i a Todėl 1 E 2 31211 "i Ša 3 i LT = Ua ==. x—+0 2x3—1 …
Excerpt
xž+|—32 x sublus Vail+x k Pi“ i K D 1 | lim x(Vx2+1-x= lim ——=5- x—10 x—-+2 / 1 /11—+1 X s 108. Nykstančių funkcijų palyginimas Sakykime, kad funkcijos «x(x)ir B(x) nyksta, kai x—a: lim x (x) =0, lim B(x) =0. Tokias funkcijas galima vieną su kita lyginti, …
Excerpt
Pavyzdžiui, 1 —cos x, kai x—> 0, yra antros eilės nykstanti funkcija, ly- ginant ją su a (x)=x: lm 1—cos x ži 2 x—> 0 Oa 2 : Panašiai tgx—sinx, kai x—0, yra trečios eilės nykstanti funkcija, lyginant su « (x)=x: : į —si 1 štn tgx Šis Bija x—> 0 x 2 a 4. …
Excerpt
s 109. Seka ir jos riba Iki šiol nagrinėjome funkcijas, kurių argumento x reikšmės sudaro intervalą. Tokiu atveju sakome, kad argumentas x kinta tolydžiai. Dabar trumpai pakalbėsime apie funkcijas, kurių argumento reikšmės yra natūriniai skaičiai …
Excerpt
„skai < Ša 5. Funkcijos x;= reikšmių sekoje kas antras narys lygus nuliui: Iš žiji n l 1 GEO, D Uu Funkcijos x, riba apibrėžiama taip, kaip funkcijos f (x) riba, kai x—> + 00. Skaičius a vadinamas funkcijos x, riba, kai n—> + 00, jei bet kurį teigiamą …
Excerpt
Natūrinio kintamojo funkcija x, vadinama didėjančia, kai r Tokios funkcijos pavyzdžiu gali būti 1 (pažvelkite į jos reikšmių seką!). Funkcija x, vadinama aprėžta iš viršaus, kai visos jos reikšmės yra mažesnės už kurį nors skaičių M: Se Ma(BE E 2. 355). …
Excerpt
3. Nustatysime funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, kai funkcija išreikšta for- mule F= 51 Pastebėję, kad tiriamoji funkcija egzistuoja intervale ]— 0, +00[, apskaičiuojame jos išvestinę: Ž 2(1-x2) 2 mažas Išvestinė lygi nuliui, kai x= —1 ir kai …
Excerpt
Funkcijos maksimumus ir minimumus vadiname jos ekstremumais, o tas argumento x reikšmes (x;, x; ir pan..), kurias atitinka funkcijos maksimu- mas ar minimumas, — ekstremumo taškais. Kyla klausimas: kaip rasti funkcijos ekstremumo taškus, t. y. tas …
Excerpt
aplinką ]x;— D, Xo[ U Įxo, Xo+-[, kad išvestinė f' (x) egzistuotų kiekviename tos aplinkos taške ir, be to, intervaluose ]x;— O, xg[ bei Įxų, X; + 0[ nekeistų ženklo. 1. Jei f' (x)> 0, kai …
Excerpt
ir taške x, ekstremumo nėra (157 brėž.). Taške x, nebus ekstremumo ir tuo atveju, kai f' (x) taško x, aplinkoje yra neigiama. Tada funkcija f (x) abiejuo- se intervaluose ]x,—0, x4[ ir Įx,, x;+5[ mažėja (158 brėž.). g y Į I ) fi,) f06) : i Į DKD" 041 Olė …
Excerpt
Antroji taisyklė. Jei taške x, funkcijos f (x) išvestinė f' (x) lygi nuliui, o antroji išvestinė f“ (x) nelygi nuliui, t. y. f (0)=0, f" (x) *0, tai tame taške funkcija f(x) turi ekstremumą: a) f (xp) yra minimumas, kai f" (x) > 0; b) f (xe) yra …
Excerpt
Pavyzdys. Funkcijos f(x)=x*— 3x išvestinė f' (x)=3 (x*— I) lygi nuliui, kai x= — I ir kai x=1. Suradę antrąją išvestinę f“ ()=0x, matome, kad f“ (—1)= —-6 0, todėl taške x= —1 funkcija įgyja maksi- mumą f(—1)=(—!1)*—3(—1)=2, o taške x=1 — minimumą …