Excerpt
x e) > nie. y VaR+yt-x )z— In - Valbyi+x 0z ,- y 0z Se l 0z 1 Ats. b) — =VY— ——: 5-— BT LŽ . Ox 3 = Oy 2 3 < Ox 24 2 BVa Vy 15 1-5 OZ ama. DM DUAIA S olų ko > = Lida e aus | V“ AT Tr f) 0ži Adis 2 Oz 2 XT Vis) V yVBIS 7. Raskite sudėtinių funkcijų …
Excerpt
12. Kūnas ore sveria 4,1 (+0,1) G, o vandenyje 1,8 (+0,2) G. Raskite kūno tankį ir apskaičiuokite paklaidą. Ats. 1,8 (+0,2). 13. Kūgio pagrindo spindulys lygus 10,2 (+0,1) cm, o sudaromoji 44,6 (+0,1) cm. Raskite kūgio tūrį ir apskaičiuokite paklaidą. …
Excerpt
(219 brėž.), iš šonų — cilindriniu paviršiumi, kurio sudaromosios lygiagrečios z ašiai, o iš apačios — xy plokštumos figūra (P). Rasime šio kūno, vadinamo: cilindroidu, tūrį V. Spręsdami šį uždavinį, figūrą (P) — cilindroido pagrindą — padalysime: į n …
Excerpt
5 185. Dvilypio integralo skaičiavimas Aišku, kad praktiškai sudarinėti dvimates integralines sumas ir ieškoti jų ribas būtų sunku. Todėl dvilypiam integralui skaičiuoti nurodysi- me kitą būdą. Tam reikalui dvilypį integralą laikysime cilindroido tūriu. …
Excerpt
Įstatę gautąją S (x) išraišką į (4) formulę, gauname punėd V= | | f f. »)ay] dx. (5) Apskaičiuojant cilindroido tūrį V pagal šią formulę, iš pradžių funkcija f (x, y) integruojama y atžvilgiu (laikant x pastoviu) nuo e iki d, o paskui gautoji funkcija …
Excerpt
Tada 3 A 3 = 2 =| — — I= | (2+2)dx ( 212) |, 0 Integruodami kita eile, gauname tą patį skaičių: 2 [f nas | [(Zo) [jo 0 0 0 * 112 = | (9+3y) dy=[9y+2C) „2 0 2. Tarkime, kad integravimo sritis (P) yra kreivinė trapecija, apribota dviem kreivėmis: Y=8 (x), …
Excerpt
ir dviem tiesėmis y=c, y=d (222 brėž.), gauname V (») [f f(x, y)dxdy= f dyt“ i f(a, y) dx. (7a) iš c 0 (») Pavyzdžiai. 1. Apskaičiuosime dvilypį integralą L | | (2x2 y +3x92) dx dy, (P) kai sritis (P) yra figūra, apribota parabole y=x* ir tiese y=x (223 …
Excerpt
Apskaičiavę vidinį integralą: = r (B y+ 399) dr=[ 2 2 E) si “V „2 2 3 „42 ab 2 = Žž 13 211 Aa lasas alis EV: randame I: 1 pa > 3 13 žs (5 »Vr+5 57-57) 6 Ž 22, 5903 =(2r TL = SAR 2. Rasime tūrį kūno, apriboto sukimosi paraboloidu z=x74-)7, koordinatinėmis …
Excerpt
yra vidutinis tos kūno dalelės tankis. Tai masės kiekis, tenkąs dalelės (A V) tūrio vienetui. Kuo mažesni dalelės (A V) matmenys, tuo geriau vidutinis tankis apibū- dina masės kiekį tūrio vienete prie taško (Xą, Yo, Zą). Todėl ribą lim > Š ę AV ž kurią …
Excerpt
"Sumą, parašytą (8) lygybės dešinėje pusėje vadiname funkcijos s=/f (x, y, z) integraline suma trimatėje srityje ( V), o tos sumos ribą — funkcijos > =/ (x, y. z) trilypiu integralu srityje ( V). Tas integralas žymimas simboliu 116| f(x, y, z)dxdydz, (V) …
Excerpt
Tetraedras (V)iš viršaus yra apribotas plokštuma z= 1 —x— y, o iš apačios — plokštu- ma z=0. Jo projekciją xy plokštumoje pažymėję (P), turime I-x-y i Iz 1=[[[ | "Užxžy1 25 jo (P) 0 Apskaičiuojame vidinį integralą: 1—-x-y dz 1 z=LA ie A E > [ l 2 …
Excerpt
Tarsime, kad taškų A; (i=0, 1,2, ..., 1) koordinatės yra x, bei y;, ir įvesime žymėjimą Ax;=x;—x;-, (i=1, 2, ..., m). Be to, kiekviename lanke A; „A; pasirinksime po vieną tašką (Ė;, 1,;). Turėdami 7 taškų (ž45 71); (Ė25 12), =--> (Ei Ni), --> (E,5 T,), …
Excerpt
Jeigu kreivės AB taškuose yra apibrėžtos dvi funkcijos P (x, y) ir O (x, y), tai integralų [ Plk y)dx ir | O(x y)dy AB AB suma rašoma trumpai, praleidžiant antrąjį integralo ženklą: i! P(x, y)dx+ 0 (x, y)dy. AB s 188. Kreivinio integralo skaičiavimas …
Excerpt
kad [ Pl, v)dx+06x y)dy=— | P(x, v)dx+06, y)dy. BA AB Kai integravimo kreivė / yra uždara, t. y. jos pradžios ir galo taškai su- tampa, tai viena kreivės kryptis laikoma teigiama, o kita — neigiama. Teigia- mąja uždaros kreivės / kryptimi laikoma ta, …
Excerpt
Pavyzdžiai. |. Apskaičiuosime kreivinį integralą H— [ 2xy dx+-x3 dy, OA kai integravimo kelias OA, jungiąs taškus O (0, 0) ir A (1, I), yra a) tiesė y=x; b) parabolė y=x*; c) kubinė parabolė y=x*; d) parabolė x=y* (230 brėž.). a) Kadangi y=x, dy=dx, tai 1 …
Excerpt
co) Kai y—x7, dy— A dx, 1 žpils + Ia AŽ Ci Epe > ) 10 G= | (6+39) de=| 0 d) Čia x=y?, dx=2y dy; todėl 1 2y3 17 19 ži 4 6 = La ių Zi = | er+6> [++)|, 35“ 0 Pastaba. Skaitytojas, be abejo, pastebėjo skirtumą tarp 1 pavyzdžio ir 2 pavyzdžio rezultatų. …
Excerpt
Vadinasi, P=- | ydx. (11) I Iš kitos pusės, jei kreivės BAD ir BC D reiškiamos atitinkamai lygtimis x=gi (y) ir x=8> (9) (c …
Excerpt
Taškas (x, y) apeina kilpą teigiamąja kryptimi, kai / kinta nuo 0 iki 1. Todėl paga! (11) formulę plotas 1 1 P=- | yax=- | (2) (L 2)dr= | (313—12—21*) d: = 1 0 0 -( 314 AD al i Ad 3 za š o o o $ 190. Kada kreivinis integralas nepriklauso nuo integravimo …
Excerpt
Teorema. Sakykime, kad funkcijos P(x, y) ir O(x, y) yra tolydinės kiek- viename srities (P) taške, 0 A ir B — du tos srities taškai. Jeigu integralas | Px, »)dx+0(x; y) dy AB nepriklauso nuo integravimo kelio, tai P(x, y)dx+ O (x, y)dy yra kokios nors …
Excerpt
Iš parašytųjų lygybių lengva apskaičiuoti funkcijos U (x, y) pokytį, ati- tinkantį pokytį Ax: U (x4 + Ax,74)—U (ys 91) = | P(6s »)dx +0 (x, y)dy. BC Turėdami mintyje, kad atkarpos BC lygtis yra y=y,, kad dy =Ū ir kad x kin- ta tarp x, ir x, +Ax, kreivinį …
Excerpt
kuris, atsižvelgiant į (14) lygybes, lygus pointegraliniam kreivinio integralo reiškiniui: dU (x, y)=P (x, y)dx+ 0 (x, y) dy. Atvirkštinė teorema. Jei reiškinys P (x, y) dx + O (x, y) dy yra dviejų kin- | tamųjų funkcijos diferencialas, tai kreivinis …
Excerpt
Matome, kad nurodytu atveju kreivinio integralo reikšmė priklauso tik nuo integravimo kreivės pradžios ir pabaigos koordinačių. Iš (16) formulės matyti, kad tuo atveju, kai pointegralinis reiškinys yra kurios nors funkcijos F(x, y) diferencialas, …
Excerpt
a) trikampis su kraštinėmis x=0, y=0, x4+y=2; b) lygiagretainis su kraštinėmis x=1, x=3, x—y—1=0, x—y+1=0; c) skritulys, apribotas apskritimu x24+32= d) figūra, apribota parabolėmis y=x2, y?=x. DS 3 1 Ats. a) i dx J f(x, y) dy; b) | dx 1 f(x, V) dy; 0 0 1 …
Excerpt
kai sritis (P) yra pusskritulis, apribotas pusapskritimiu y= V1-3 ir x ašimi. Ats. k. a ND 7. Apskaičiuokite dvilypį integralą J [ (+) dx dy, (P) kai sritis (P) yra apribota parabolėmis y=x? ir y*=x. 33 Ats. mp“ 8. Apskaičiuokite dvilypį integralą | F …
Excerpt
12. Apskaičiuokite trilypį integralą i ycos (z+x) dx dy dz, (V) kai sritis (V) yra apribota cilindru »=Vx ir plokštumomis y=0, z=0 ir x+2= 7. T 1 Ats. AB: I > . 13. Apskaičiuokite kreivinį integralą (2, 4) (x2—)?) dx, (0, 0) kai integravimo kelias yra …
Excerpt
AZ 18. Kreiviniu integralu apskaičiuokite plotą, apribotą astroide x=a cos*, y=a sin. Ats. > Taš. 19. Apskaičiuokite kreivinius integralus, kurių pointegraliniai reiškiniai yra pilnieji diferencialai: (2, 3) a) [ ydx+xdy; (1, 2) (I, I) b) p xdx-dy. (0, 0) …
Excerpt
Kai lim S, yra begalinė arba neegzistuoja, sakome, kad eilutė diverguoja. Diverguojanti eilutė, aišku, sumos neturi, Pavyzdžiai. 1. Išnagrinėsime skaičių eilutę 1 l l ltzta t ta T too Tos eilutės nariai sudaro geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys …
Excerpt
3. Eilutės 1+24+34+1+-...1+7+... nariai sudaro aritmetinę progresiją. Todėl šiuo at- veju 2 1 S,=1+24+3+...+71= — 2 ; š 1 lim S„,=lim Ai A =+0. Matome, kad dalinės sumos S, riba yra begalinė. Vadinasi, pateiktoji skaičių eilutė diverguoja. 4, Sakykime, …
Excerpt
Tuo pačiu keitiniu £= = (d:= = dx) galima perdirbti ir formules koeficien- tams nustatyti: 1 ŽLSOS 2 dx, = S) sin ETž dx, 2 1 k 2 E £ (0 2 (2 Uždaviniai 1. Raskite funkcijų eilutės konvergavimo sritį: a) Inx+1Inžx—-...+In?x1...; 9 E 1+x 14132 1+x" „2 „Nn …
Excerpt
5. Iš pradžių integruodami, o po to diferencijuodami panariui,raskite sumą laipsninės eilutės 1+2x+37141-... 1 Ats. 5 (-1 …