Excerpt
„Ribinė padėtis M,T, prie kurios artėja kreivės I kirstinė MM, kai taškas M kreive artėja prie taško Mą, vadinama tos kreivės liestine taške Mą. Jei duotoji kreivė yra funkcijos y =f (x) grafikas (146 brėž.), tai liestinės taške M, (Xą, Vo) padėčiai …
Excerpt
Žinant liestinės krypties koeficientą, galima parašyti jos lygtį. Kadangi liestinė yra tiesė, einanti per lietimosi tašką M, (x, V9), tai jos lygtis ($ 11) bus šitokia: Y-Yo= m (X—3ų). Šioje lygtyje įrašę m=f' (xa) ir Yo =f (Xo), gauname Y-J (X) =" (X) …
Excerpt
Tei cc tai f£(4)-f(c) > 0 x-c i todėl ir lm ZAZ ų x—-c-0 7 f ()> 0. Kadangi f" (c)> 0 ir f" (c) …
Excerpt
Jei M =m, tai visas x reikšmes atitinka tik viena funkcijos reikšmė f (x) = = M. Vadinasi, funkcija yra pastovi, todėl f' (x) =0 visame intervale Ja, b[. Šiuo atveju c gali būti bet kuris skaičius iš intervalo Ja, b[. Jei M > m, tai abi reikšmės M ir m …
Excerpt
) Aiškindami Lagranžo teoremos geometrinę prasmę, pastebėsime, ka f(6)-f (a) b-a (150 brėž.) yra kreivės y=f (x) stygos AB krypties koeficientas, o f" (c) —tos kreivės liestinės taške, turinčiame abscisę x =c, krypties koeficientas. Vadinasi, Lagranžo …
Excerpt
Įrodymas. Imkime vieną to intervalo tašką x, ir bet kurį kitą tašką x. Uždarame intervale [x4, x] arba [x, x,] yra patenkintos abi Lagranžo teoremos sąlygos. Todėl turime lygybę 1(0)-f (40) =f (0) (*—x), kurioje c yra tarp x ir x;. Kaip nurodyta sąlygoje, …
Excerpt
išplaukia nelygybė f(a) 0. Tai ir reikėjo įrodyti. Įrodytąją teoremą lengva paaiškinti brėžiniu (151 brėž.). Didėjančios funkcijos grafikas kyla aukštyn, todėl jo liestinės su teigiamąja abscisių pus- aše sudaro smailius kampus (kai kurios liestinės gali …
Excerpt
Panašias išvadas galima padaryti ir apie mažėjančią funkciją. Primename, kad funkciją f(x) vadiname mažėjančia intervale Ja, b[, kai iš nelygybių …
Excerpt
yra teisinga, kai (x, y) priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai ir |x-a| Oišvedame nelygybę x*--y*> 2- |x| - | "Ž IB arba |2xy| …
Excerpt
Vadinasi, kai taškas (x, y) prie taško (0, 0) artėja tiese y= x, tos funkcijos reikšmės artėja m prie Tim“ Kai (x, y) prie taško (0, 0) artėja skirtingomis tiesėmis (keičiant m). funk- cijos reikšmės artėja prie skirtingų skaičių. Todėl tos funkcijos riba …
Excerpt
Pabrėšime, kad čia taškas (x, y) artėja prie taško (x4, y,) bet kuria kryptimi. Atskiru atveju (x, y) prie (Xą, g) gali artėti tiese, lygiagrečia x ašiai, arba tiese, lygiagrečia y ašiai (211 brėž.): lim f(x, Yo) =f (X Yo), limf (Xos V) = (X Yo): X—> Xa …
Excerpt
Pavyzdžiai. |. Rasime funkcijos z=x?42x2y+y2 dalines išvestines: 0z Sk =3x24+4xy (y=const), 20425 (x=const). X 2. Imsime funkciją z=arctg £ (x+0) ir apskaičiuosime jos dalines išvestines: 0z 1 ( 2 y pi lil (y=const), 2 2 2 0x 1+(*) = Sms x UAZ 22 ( t 0 | …
Excerpt
Įrodymas. Funkcijos pokytį Az, atėmę ir pridėję f (x0, Yo+Ay), išreiš- kiame šitaip: Az= [f (x4+A5x, y0+Ay)—f (xos Ya +A5)]+-17 (os Yo+Ay)—/ (o Yo): (5) Skirtumas, esantis pirmuose skliaustuose, yra vieno kintamojo x funk- cijos f (x, y, +Ay) pokytis. …
Excerpt
s 178. Sudėtinės funkcijos ir neišreikštinės funkcijos išvestinės Tarkime, kad funkcijos z=f (x, y) argumentai x ir y yra kinta- mojo 7 funkcijos x=9p (t), y=Ų (:). Kiekvieną / reikšmę atitinka x ir y reikšmių pora (x, y). Sakykime, kad taš- kas (x, y) …
Excerpt
arba , , , Zi =Z25* X Zr (7) Tai ir reikėjo įrodyti. Pavyzdys. Imkime funkciją z=x?— 2, ir tarkime, kad x=cos £, y=sin /. Šiuo atveju z+=2x, zy= —Ž2y, x;= —Sin f, y; =cos f. Todėl, remiantis (7) formule, z;=2x-(—sin £)—2y - cos t. Iš čia, įstatę duotąsias …
Excerpt
vietoj / 1 —x2 parašykime — y. Pasirodo, kad abiem atvejais y; bus vieno- dai išreikšta kintamaisiais x ir y, būtent, y/ = = Šį rezultatą galima gauti ir kitaip. Tuo tikslu tarsime, kad lygtyje xž+y2—1=0 vietoj y parašėme Ų1—xA? arba — V 1 —x*. Tada …
Excerpt
Turėdami mintyje, kad x„= L, iš pastarosios lygybės, kai F; (x,y) +0, gauname + Fxla, 9) EEB Kadangi funkcija F (x, y) — lygties F (x, y)=0 kairioji pusė — žinoma, tai žinoma ir y;, bet ji lieka išreikšta dviem kintamaisiais x ir y. Pavyzdys. Rasime …
Excerpt
Teorema. Jeigu funkcija z=f (x, y) diferencijuojama taške (x;. Yo). tai egzistuoja dalinės išvestinės f + (xo, Yo) ir fy (xa, Yo). Be to, fi. (xa, Yy)= A. A so V 0) =B. Įrodymas. Kadangi z=/ (x, y) diferencijuojama taške (x,, y,), tai jos pokytis Az= =f …
Excerpt
$ 177 įrodėme, kad funkcijos z=f (x, y) pokytis išreiškiamas formule Az=fž (x Jo): Ax +-f, (*0, Yo): Ay+4- Ax+-B- Ay, bet ją išvesdami tarėme, kad dalinės išvestinės f+(x, y) ir f,(x, y) egzistuoja taške (x4. Jo) ir jo aplinkoje, o pačiame taške (xą, Yy) …
Excerpt
Gautoji formulė bus tuo tikslesnė, kuo mažesni pokyčiai Ax ir Ay. Ją patogu naudoti funkcijos reikšmės f(x4+Ax, y,+Ay) apskaičiavimui, kai žinome funkcijos f(x, y) ir jos dalinių išvestinių reikšmes taške (70): Pavyzdys. Rasime stačiakampio įstrižainės …
Excerpt
Iš šios nelygybės matyti, kad paklaidos Az modulis yra ne didesnis už dydį, esantį nelygybės dešinėje pusėje. Tą dydį (su tam tikra „atsarga“) ir laikome maksimaliąja z reikšmės paklaida 6z. Vadinasi, 8z= 2 |-3r+| o |- šv. (11) Remiantis šia formule, …
Excerpt
s 181. Aukštesnių eilių dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų x ir y funkcijos z=f (x, y) dalinės išvestinės 0z 4 » 0z / Ox =; (x, J) 1T Oy =; (x, y) savo ruožtu yra kintamųjų x ir y funkcijos. Šių funkcijų dalines išvestines vadiname duotosios funkcijos …
Excerpt
2. Imkime z=arctg = (x+0). Tada OZ l (2)- y B Taa UT B Ox 14(Ž) X/x x + Oz 1 (Ž) S "TM ELTA Oy 1+(?) XJy Ay Iš čia I SALES Ox Dy Ga Der 024 GSA 1 Oy Ox EF IIS Taigi, ir šiuo atveju matome, kad GR Ox Oy Oy Ox“ s 182. Keleto kintamųjų funkcijos ekstremumai …
Excerpt
tremumų taškais (funkcijos maksimumo taškais arba minimumo taškais). Įrodysime būtiną dviejų nepriklausomų kintamųjų funkcijos ekstremumų požymį. Teorema. Jei taške (xą. y,) funkcija z=f (x, y) turi ekstremumą ir egzis- tuoja fx(Xas Yo) ir f (X, Yo), tai …
Excerpt
Pavyzdžiai. I. Rasime funkcijos z=4(x—y)—x?—y? ekstremumo taškus. Tos funkcijos dalines išvestines 0z 0z 5 Žr —4—2y prilyginę nuliui, gauname x=2, v= —2. Vadinasi, taškas (2, —2) duotajai funkcijai yra Kritinis. Tai funkcijos z=4 (x—y) —x*— y? maksimumo …
Excerpt
arba a + 4 2sin 5 Sin > =B Kadangi iš nelygybių 0 …
Excerpt
3 183. Mažiausių kvadratų metodo taikymas empirinėms formulėms išvesti Gamtos, ekonomikos ir kituose moksluose dažnai tenka nau- dotis formulėmis, kurios sudaromos, remiantis tyrimu arba stebėjimu. Tokios formulės vadinamos empirinėmis. Kai reikia …
Excerpt
kad taškai (x;, Y1), (X2s Vs), ---5 (X,» V,) yra „išbarstyti“ apie tiesę (218 brėž.). Todėl tenka atsisakyti siabė e tikslias a ir b reikšmes. Aišku, reikia stengtis, kad taškai (x;, Y;), (Xxs V»), ---5 (Xas V,) bio geriau tenkintų lygtį y=ax4-b, kad jie …
Excerpt
Prilyginę šias išvestines nuliui ir gautas lygtis padaliję iš 2, turime tokią lyg- čių sistemą: (ax, +-b-y,)X +-(ax5+b-—y5)X5+-... ei (ax, +b-y1)+(ax21+6-—y) +... +(ax,+b-y,)=0. Po paprastų algebrinių pertvarkymų 1š sudarytosios lygčių sistemos gauname al …
Excerpt
Uždaviniai 1. Raskite apibrėžimo sritis funkcijų a) z=1Inxy; D 215521 c) z=In(y—x?); d) z= Vx+y+ Vx7; e) z=arcsin E X f) z= V 4—24+ V 1— y. Ats. a) pirmojo ir trečiojo ketvirčių vidus; b) visa plokštuma, išskyrus apskritimą x*+3*= …