Excerpt
Kreivės AB ilgiu laikysime ribą, prie kurios artėja į tą kreivę įbrėžtos laužti- nės ilgis o, kai )=max Ax;—> 0: n = lim 2 V IFUEJE Ai. (4) Pastebėsime, kad laužtinės ilgis G yra ne kas kita, kaip funkcijos VIS OF integralinė suma intervale [a, b]. …
Excerpt
Kai x didėja nuo O iki 4, kintamasis ; didėja nuo 1 iki Į/I0,, todėl y 10 | 8 a. Ja D 8 sė 12 La td=5- 5-5 (10 Vi0-1) 29,07. Sakykime, kad vienas kreivės y=f (x) taškas A (a, J (a)) yra fiksuotas, o kitas M (x J. 6)) laikomas kintančiu (191 brėž.). Tuomet …
Excerpt
Integruodami kreivės lanko diferencialą ds nuo x iki B, randame kreivė ilgį: 8 e Vx+y, de. (7) Pavyzdys. Apskaičiuosime cikloidės, apie kurią kalbėjome $ 56, vienos arkos ilgį (73 brėž.). Iš cikloidės parametrinių lygčių x=a (:—sin t), y=a (1—cos £) (0 < …
Excerpt
" Šiuo atveju dx ir dy randame, pritaikę sandaugos diferencijavimo formu- lę. Diferencijuosime funkcijas x=pcosą ir y=psino, turėdami mintyje, kad 6=f (9). Tuomet dx=dp-cos9+7-dcosp=cos p do—p sin odą, dy=dp-sinę+p-dsino=sino do +7siną do. Pakėlę …
Excerpt
S 170. Kūno tūrio skaičiavimas, kai žinomi piūvių plotai Duotas geometrinis kūnas ir ašis Ox (193 brėž.). Perkirsime šį kūną bet kuria plokštuma, statmena ašiai Ox. Šios plokštumos padėtis bus žinoma, kai bus duota jos susikirtimo su ašimi Ox taško …
Excerpt
Sudėję visų sluoksnių tūrių apytiksles reikšmes, gauname sumą «= J. S(E,) Axį. į=l Šios sumos ribą, kai )=max Ax;—> 0, laikysime duotojo kūno tūriu, t. y. n V= lim 2, S (E) Ax (9) 1— E Lengva pastebėti, kad suma G yra tolydinės funkcijos S (x) integralinė …
Excerpt
A ašiai, yra skritulys. Kadangi skritulio spindulys šiuo atveju lygus y=/ (x), tai piūvio plotas S (x)=72* =7 f? (x). Dabar, remdamiesi (10) formule, lengvai gauname sukinio tūrį: b V.=T | P6)dx, arba trumpiau b V.=x | ytdx. (11) Šią formulę galima …
Excerpt
Šiuo atveju kreivinė trapecija yra apribota elipsės lanku ir x ašies atkarpa [—a, a]. Va- dinasi, ieškomasis tūris a Vy=T »* dx. —a Čia bž = Žr EE P), todėl a T 2 2 E a L (a*—x?) dx = 2 Naja (6-7 = a 3 M = L A Jei elipsė sukama apie y ašį, tai gautojo …
Excerpt
Apskaičiuosime kiekvieną iš gautųjų integralų: 2 2K 121 = | costdr=sint || =0, 0 0 K 2r ši = 1 1 |E2 ao | cos? f dt= 5 J (1+cos 2)dt=-> (+5 sin 21) la S 0 0 2r 2K , , S | asi |2m J cos rar= | (I —sin? r) d sin t=(sin 1-5 sin :) lo (i 0 0 Vadinasi, Vy=7a …
Excerpt
Per intervalo [a, b] dalijimo taškus x; nubrėšime tieses, lygiagrečias y ašiai. Šitaip plokštelę padalysime į » juostelių, kurių kiekvieną apytiksliai galėsime laikyti stačiakampiu. Jo ilgis apytiksliai lygus f(£;), imant x; „ < 0, gausime formulę skysčio …
Excerpt
arba A DES 1 A bx š ist Čia: M B Pagal (12) formulę h h 4 EB bx Au a Mo Dha) P=y | +-57 4-2 [24- Be A 2 0 0 Uždaviniai 1. Raskite plotą figūros, apribotos parabole y=2x—x ir x ašimi. 4 Ats. 3: 2. Raskite plotą figūros, apribotos kreive y=x (x—2)? ir x …
Excerpt
10. Kreivė y*ž=x (1 —x)* turi kilpą. Raskite kilpos apribotą plotą. 8 Ats. 5 - 11. Nubrėžkite astroidę x=a cos? /, y=asin? £ ir raskite ja apribotos figūros plotą. Ats. - Taž. 12. Raskite plotą, kurį nubrėžia Archimedo spiralės ;=a2 polinis spindulys, kai …
Excerpt
22. Figūra, apribota parabole y=2x—3? ir x ašimi, sukama apie x ašį. Raskite gauto- jo kūno tūrį. Ats. Al : Ši 15 23. Figūra, apribota kreive y=sin x intervale [0, 7] ir x ašimi, sukama apie x ašį. Ras- kite gautojo kūno tūrį. 3 Ats. =. 24. Figūra, …
Excerpt
Apibrėžimas. Atitiktis f. kuria kiekvienam aibės G elementui — skaičių porai (x, y) — priskiriamas vienas ir tik vienas aibės Z skaičius z (200 brėž.), : vadinama dviejų kintamųjų (x ir y) funkcija ir žymima sintboliu z=J (x, J). Tokiu atveju aibė G …
Excerpt
2. Kai funkcija apibrėžiama formule z=Vx-a+ Vb=x+ Vy-c+ Vd-y (a < 20, d-y> 0, arba a …
Excerpt
3 174. Dviejų kintamųjų funkcijos grafikas. Lyzio linijos ir lygio paviršiai Vaizduodami funkciją z=f (x, y) grafiškai, imame ortogona- lią koordinačių sistemą Oxyz ir funkcijos apibrėžimo sritį G pavaizduojame Xy plokštumos figūra (203 brėž.). Po to per …
Excerpt
grafikas. Kai fiksuojama kintamojo x reikšmė (x=x,), funkcijos z=f (x,, V) grafikas yra kreivė k, nubrėžta paviršiuje S (206 brėž.). Kartais dviejų kintamųjų funkcija z=f (x, y) vaizduojama /ygio linijomis. Nubraižę funkcijos z=/ (x, y) grafiką — paviršių …
Excerpt
duoti geometriškai neįmanoma, tik galima kiekvienam funkcijos apibrėžimo srities taškui priskirti skaičių — funkcijos reikšmę tame taške. Visi funkcijos u=/ (x, y, z) apibrėžimo srities taškai, kuriuose ta funkcija įgyja reikšmę A, sudaro /ygio paviršių 4 …
Excerpt
Pastebėję, kad (1+1)!=1-2-3+ + 7- (1+1)=n! (11 1), galime rašyti Ani 22.2 2 22 AA B n!(n+-1) i 25 sal Todėl 2 arse] "Xn. 9 Kadangi PE I, tai x541 gn) 1 „n(n-1)(n-2) 1 = (142 =) 1+n-— ra 2 rs iai n(n—1) (n—2)(n—3) 1 „AU 2) L. [n=(n—1)] I 2 41 tr 5T "7 1 …
Excerpt
Čia kiekvienas dėmuo yra išreikštas dviejų trupmenų sandauga. Antro- sios trupmenos skaitiklyje daugiklių skaičius yra lygus vardiklyje esančio laipsnio rodikliui. Kiekvieną iš tų daugiklių atskirai padalysime iš n: 1 1 1 1 2 X. =2+5r (i — + 37 (i -) (i …
Excerpt
Funkcija x=( 11 LV, kaip ir kiekviena didėjaoti bei aprėžta funkci- ja, turi baigtinę ribą, kuri visada žymima raide'e: lim (1+2|'=e. (8) Pateikiame kai kurių funkcijos x„= (1 +) reikšmių lentelę T | | n Bt L | 100 | 00 | 10000 2 | (142 y || 24| …
Excerpt
į :. Gavome labai svarbų rezultatą, kuriuo toliau dažnai teks naudotis: 1 lim (1 + z)* =e. (9) z—-0 = Pastaba. Sakykime, kad z=x (x) ir kad lim « (x)=0. Tada, remdamiesi (9) lygybe, x—-a galime rašyti i I lim [1 +4 (51 * 0 =lim(1+7)7 =e. x—a z—0 Tuo …
Excerpt
Įsitikinę, kad čia neapibrėžtumas 1“, rašome lygybę cos x=1+zir pastebime, kad z—0, kai x—0. Tada sin? x išreiškiame kintamuoju z: sinžx=1—cos?x=1—(1472)?= —27—22, Vadinasi, Pk E TA pk A lim (cos x) *!"* * =lim (147) —22—-= a t a 2tz=e PR — x—U z—0 ==: 0 …
Excerpt
> a „žiktųjų funkcijų ribas, kai x—a, galima apskaičiuoti, skaitiklį ir vardiklį padzijų ar iš kito reiškinio, kurio riba (kai x—a) lygi nuliui. 1 A EL 2 BA? i 2 1 = a Aaa s „ 8x-6 Am s) im pr8 i L E=TI pironi A 152 LN 5-2 4): a ae al Kia COs x—sin x | d) …
Excerpt
8. Iracionalumą nukėlę į vardiklį ir pritaikę 7 uždavinio nurodymą, apskaičiuokite šias ribas (neapibrėžtumas o0— 00); a) lim (V x*13x—x); "i lim (VBRT3x- V R1x); 17—-> +0 4 x—10 —— 3 2 šio Varda (x+6)-x); | d) lim x2 (VB41- V-I). į x7—1+0 [-— oi 0 Ats. …
Excerpt
1 17. Naudodamiesi formule = (1 +97 =e, apskaičiuokite šias ribas (neapibrėžtu- mas 1“); 1 E x + a) lim (11+2x)*; . li (7): ) a ) 9 o x+! 1 1 7 f lim (cos 2x) SM * b) US (1-3x) + I 9 Iim (1+3)*: 78) lim (tg x)82*; a ge 4 1 3 COS X Vsin' x - 1 „ay = - e Ža …
Excerpt
Dabar tarkime, kad funkcija f(x) apibrėžta ak o ir imkime "to intervalo tašką x4. Funkcijos reikšmė tame taške yra skaičius AOca)S Jei egzistuoja riba lim f(x), tai dažniausiai (bet ne visada!) ji lygi funkcijos. reikš- X-> Xa mei f (x,). Tokiais atvejais …
Excerpt
s 112. Funkcijos trūkiai Pracitame paragrafe susitarėme funkciją f (x) vadinti tolydine taške x,, kai Tim f(x) = (6), i bet kartu pabrėžėme, kad ta lygybė kai kada gali būti neteisinga. Jei funkcijai f(x) (1) lygybė nepritaikoma, tai sakome, kad ši …
Excerpt
Kai funkcijos riba taške x; iš kairės arba iš dešinės (arba iš abiejų pusių) neegzistuoja, o taip pat tuo atveju, kai bent viena iš jų yra begalinė, sakome, kad funkcija taške „X, turi antros rūšies trūkį. Pavyzdžiui, funkcija =28 kai x 0, Jix)= S | 0, …
Excerpt
Įrodymas. Tarkime, kad funkcija y=f (x) yra tolydinė taške x,. Tada lim f(x) =/ (x), (1) arba E lim [f(x)-—/(x4)]= 0. x-x—0 212 žo Paskutiniąją lygybę, remdamiesi pokyčių žymėjimais, galima parašyti šitaip; lim Ay=0. (2) Az - Vadinasi, tolydinės funkcijos …