Excerpt
1 1 Š 5 *—5ln(?+1); 4 S O kiarolgsi 5. +17 +nlx+1 Iš 2 T šias Ix=i 6. 5 414 — p dinix-lį; 7. In i S 8: x+1n | Zri E (x+2)2 * | x-2 9. In il 10. In Dei E 2 In (x*—2x42)+2 arctg(x—!); m 12. arctg (x—2). Apskaičiuokite žemiau pateiktus iracionaliųjų funkcijų …
Excerpt
8. | cos* x dx; 13. [ (te? x+tg! x) dx; 10. [ sini x dx; 14, [ =: t. [tg x dx; 15. | =: 2 [tė kas Ž £ „Viexo 12 sin X COS X sin x cos x 1 1 1 Ats. 1. 3 (cos X—3C0S 3x); 2 E sin 2x- 5 : sin 4x) i; 1 1 1 3. Ž (sin 2x+ 2 sin 4x); 4 2 5 (2x+sin 2x+5 | sin 411 …
Excerpt
Per dalijimo taškus, pavaizduotus x ašyje, nubrėžiame statmenis x ašiai iki susikirtimo su kreive AB. Tie statmenys kreivinę trapeciją dalija į n vertikalių juostelių. . Sakykime, kad intervalo [a, b] skaidinys yra pakankamai smulkus: visų dalinių …
Excerpt
Bent vienas iš dalinių intervalų, į kuriuos suskaidėme intervalą [a, b], tu- ri didžiausią ilgį. Tas ilgis, žymimas raide 2, yra didžiausias iš skaičių Ax;, Akai 2 Ak: A=max Ass (ik. 2 150): Dabar įsivaizduokime, kad intervalą [a, b] skaidome vis smulkiau …
Excerpt
Iš kiekvieno dalinio intervalo laisvai pasirenkame po vieną skaičių E,(i= 2 as E: Ei Al. Apskaičiavę funkcijos y=f (x) reikšmes taškuose č;, kiekvieną reikšmę f (š;) padauginame iš atitinkamo dalinio intervalo ilgio Ax; ir tas sandaugas sude- dame. …
Excerpt
Kai funkcijos f (x) integralinė suma intervale [a, b] turi baigtinę ribą, ki- b ' taip sakant, kai egzistuoja [ f(x)dx, tą funkciją vadiname integruojama - a intervale [a, b]. Pabrėžiame (be įrodymo), kad kiekviena funkcija, tolydinė uždarame in- tervale, …
Excerpt
trapecijos, kuri yra apribota kreive y=f (x), x ašies atkarpa ir tiesėmis x= S BEL AS 6 [f6)ix=s. a Jei f (x) …
Excerpt
t Funkciją D (:)= ii Jf(x)dx vadiname apibrėžtiniu integralu su kintamu viršutiniu rėžiu t. Teorema. Jei Junkcija f(x) yra tolydinė kiekviename intervalo [a, b) taške, tai Junkcija O (r) turi išvestinę D" (f), lygią f (1). Įrodymas. Suformuluotąjį teiginį …
Excerpt
Pažymėkime funkcijos O argumentą raide x. Tada turėsime funkciją O (x), apibrėžtą intervale [a, b], kurios išvestinė lygi f (x): D O) TO) 1-1 Vadinasi, O (x) yra viena iš funkcijos f (x) primityviųjų funkcijų. Ji ypa- tinga tuo, kad O (a)= | f()dx=0. …
Excerpt
Dabar aišku, kad (2) tapatybę reikia rašyti taip: O (x)=F(x)—F (a). Jei (1) lygybėje O (:) pakeisime skirtumu F (/)—F (a), tai gausime lygybę F(1)-F(a)= | f(x)dx. Kadangi 7 yra bet kuris intervalo [a, b] skaičius, tai atskiru atveju galima tar- ti, kad …
Excerpt
s 160. Apibrėžtinio integralo savybės | 6 I. Apibrėždami integralą f f(x) dx, kaip integralinės sumos a ribą ($ 157), be abejo, galvojome, kad apatinis rėžis a yra mažesnis už viršu- tinį rėžį b …
Excerpt
III. Skaitinį daugiklį galima iškelti prieš apibrėžtinio integralo ženklą. Tarkime, kad F' (x)=f (x); tada [k F (x)Į =kf (x), todėl 6 | kf(x)dx=kF (x) Kadangi =kF (b) —kF (a)=k[F(b)- F (a)). b a F(B)-F (a)= | f()dx, tai b b Į kf(x)dx=k | f) dx. a IV. …
Excerpt
S 161. Vidutinės reikšmės teorema Tarkime, kad F (x) yra tolydinės funkcijos f(x) primityvioji intervale [a, bl, t. y. F' (x) =f (x), kai …
Excerpt
2. Panašiai randama ir funkcijos f(x)=x* vidutinė reikšmė intervale [0, 3]: 3 1 K > KA 2 —————211—a4. i-3 | 84-3-5 3 0 S 162. Apibrėžtinio integralo skaičiavimas, keičiant kintamąjį 6 Sakysime, reikia apskaičiuoti integralą f f(x)dx, kurio po- integralinė …
Excerpt
Iš dviejų paskutiniųjų lygybių kaip tik gauname (6) lygybę, kurią reikė- jo įrodyti. 2 Pavyzdžiai. 1. Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos elipse x2 y Ci =l.: Kadangi elipsė yra simetriška koordinačių ašių atžvilgiu, tai visos figūros plotas bus lygus …
Excerpt
karto imsime x=a (+—sin t), kai 0 …
Excerpt
Iš šios lygybės gauname apibrėžtinio integralo dalinio integravimo formulę b b b | u(x) v' (x) dx =u (X) v (x) |- / 2 (x) u (x) dx, kurią, turėdami mintyje, kad du=u" (x) dx, dv=v' (x) dx, rašome trumpiau: 6 6 [udy=uv L f y dų. (7) a a Pavyzdys. …
Excerpt
Po to apskaičiuosime funkcijos y=f (x) reikšmes dalijimo taškuose: Vos Yas Yas Vis Va: Jei per dalijimo taškus nubrėšime tieses, lygiagrečias y ašiai, tai kreivinė trapecija bus padalyta į n vienodo pločio juostelių. Kiekvieną tokią juostelę galima …
Excerpt
2. Parabolių formulė. Intervalą [a, b] padalykime taškais LL S 8 į 2n lygių dalių ir atitinkamas funkcijos reikšmes pažymėkime Vos Vis Vas 5 Yan 25 Yan-15 Van: y - Imkime dvigubą dalinį intervalą [x4, Xal, kurio ilgis h=x;—x,= 21 „ir per taš- kus (Xo, …
Excerpt
Panašiai gautume, kad r 4, J J )dx= 5 (v> +4y2 194), 2n k T f (x) dx= 6 si 55 4Yan— 1 + Va), todėl ž 2 h h į J TA) dxT 5 Ua k) p Ua WAY) 1 h B (z-22 Avo 1 E Yas), arba E h f(x) dx = = Uvo+Y> )+401+Y51---+Ym-1) + ; 6 +2(y:+Y. +... +Y2m-> )l (9) (n -). …
Excerpt
Imant tą patį dalijimo taškų skaičių, Simpsono formulė duoda tikslesnį rezultatą, negu trapecijų formulė. Rezultatai bus tuo tikslesni, kuo didesnis bus dalijimo taškų skaičius. S 165. Netiesioginiai integralai b — Apibrėždami integralą f f(x) dx, …
Excerpt
Jei (10) riba baigtinė (kaip tarėme iki šiol), tai sakome, kad netiesioginis integralas konverguoja. Priešingu atveju, kai minėta riba begalinė arba visai neegzistuoja, netiesioginis integralas diverguoja. t dx L įr 1 Pavyzdžiai. 1. Kadangi = „1 = tai t 2 …
Excerpt
2 Ką tik apibrėžto netiesioginio integralo geometrinė prasmė aiški iš 184 brėžinio. 1 dx anas t a Ž Pavyzdžiai. 1. Integralas f ==. = yra netiesioginis, nes pointegralinė funkcija - x 0 l . f(*)= ——— taškex=1 turi trūkį (tim f(x)= + a). V 1 — x? x—l Imame …
Excerpt
e 8 Ė 2 d) ių 2. g "i > E Ip 2 1 1 V 0 1 T T Ats. a) 11 37 D 5: c) 37 d) i: e) 435: f) I: *|5- | 3. Apskaičiuokite apibrėžtinius integralus ir nurodykite jų geometrinę prasmę: T 1 1 2 a) į 1Žai b) ! cosxdx; C) ! V xdx. Ats. sjŽ3 b) I; J ž k Ti ĖS S 4. …
Excerpt
(6: LAR V 7 Raskite funkcijos f 0= J vidutinę reikšmę intervale [1, 9]. 1 9 2 Ats. 2 B“ / 8. Pagal trapecijų formulę 0 apskaičiuokite šiuos integralus; 1 a) | „Ž- (1=10)) 6) yes 0 rs 0-0 AG Ats. a) 0,693; b) 0,835. 9. Pagal Simpsono formulę SE) …
Excerpt
skyrius APIBRĖŽTINIO INTEGRALO PRITAIKYMAI S 166. Plotas ortogonalinėse koordinatėse Duota kreivinė trapecija a4Bb (185 brėž.), apribota tolydinės funkcijos y=f (x) grafiku, x ašies atkarpa ir tiesėmis x=a bei x=b. Tokios figūros plotą, kaip žinome, …
Excerpt
Vadinasi, be praeitame skyriuje išnagrinėto integralinių sumų metodos galima naudoti diferencialo metodą. Sekančiuose paragrafuose uždaviniu, spręsime abiem metodais. Ss 167. Plotas polinėse koordinatėse Duotas sektorius O0AB (186 brėž.), apribotas …
Excerpt
į > + 4 + ki AAS BB. i p 7 Vadinasi, sektoriaus, apriboto kreive p=f (p) ir dviem spinduliais o =x ir o=B, plotas 8 1 S=> [ptdą. (3) Pavyzdžiai. 1. Rasime plotą, apribotą kreive ;=a (1 +cos 9). Norėdami išsiaiškinti, kokią figūrą apriboja nurodytoji …
Excerpt
(žr. $ 53). Vadinasi, lemniskatės lygtis polinėse koordinatėse yra (žr. $ 53 pavyzdį) 9*=a* cos 29. Kadangi lemniskatė yra simetriška tiek x ašies, tiek ir y ašies atžvilgiu (62 brėž.), tai pakanka rasti ketvirtadalio figūros (0 -2d9-p=57 p? do. 186 brėž. …
Excerpt
Apibrėšime glodžios kreivės AB ilgio sąvoką ir kartu išvesime formulę tam ilgiui apskaičiuoti. Tuo tikslu intervalą [a, b] suskaidysime į dalinius in- tervalus r AL 155 5 > Žib > -> Da a ir imsime kreivės AB taškus M,, M,, M,, ..., M; ,, M,, ..., M,, …