Excerpt
S 142. Diferenciaio reiškimas, naudojantis išvestine Savaime kyla klausimas: kaip apskaičiuoti funkcijos diferen- cialą, neapskaičiuojant funkcijos pokyčio? Atsakydami į šį klausimą, įrodysi- me teoremą. Jei funkcija y=f (x) yra diferencijuojama taške xą, …
Excerpt
Iš įrodytųjų teoremų matyti, kad diferencialo dy išraiškoje A - Ax koe- ficientas A gali būti tik f' (x,). Todėl visada dy=f' (x4) : Ax. Peržiūrėję praeito paragrafo pavyzdžius, matome, kad pagrindinė pokyčio dalis taip ir buvo išreikšta. Nepriklausomo …
Excerpt
IV. Funkcijų u ir v dalmens diferencialas v 22 yž iš Čia u vdu—u dy 4 (245 S 145. Sudėtinės funkcijos diferencialas Iki šiol nagrinėjome funkcijos y=/ (x) diferencialą, laikydami x nepriklausomu kintamuoju. Tuo atveju diferencialas dy išreiškiamas formule …
Excerpt
* x pokytis Ax, o (5) reiškinyje dx yra funkcijos x =g (7) diferencialas — poky- čio Ax pagrindinė dalis (dx=x,-dt=x; : At). Tiek iš (4), tiek ir iš (5) lygybių išvestinę galima išreikšti diferencialų santykiu: A dy Va= dx Todėl labai dažnai funkcijos …
Excerpt
Jeigu x,+Ax=x, Ax=x—x4, tai vietoj (6) formulės turėsime šitokią: J) 2 (0) + (o) — AI). Atskiru atveju, kai x,=0, gauname f) £(0)+f£'(0)- x. (7) Iš šios lygybės, vietoj f (x) imdami elementariąsias funkcijas, gauname keletą apytikslių formulių, tinkančių …
Excerpt
Pavyzdžiui, pieštuko ilgi matuodami liniuote, turinčia milimetrines pa- dalas, galime garantuoti, kad paklaidos modulis nėra didesnis už 0,1 cm. Šiuo atveju 0,1 cm ir bus maksimalioji paklaida. Sverdami parduotuvės svarstyklėmis, galime garantuoti, kad …
Excerpt
Pavyzdys. Rasime skaičiaus 7 artinio x=3,14 maksimaliąją santykinę paklaidą. Kadangi 7=3,14i59 ..., tai absoliutinė paklaida yra mažesnė už 0,002. Maksima- linė santykinė paklaida Bra 0002 pisioIga T T Vadinasi, maksimalioji santykinė paklaida sudaro …
Excerpt
S 148. Aukštesnių eilių diferencialai Tarkime, kad funkcijos y=/f (x) argumentas x — nepriklauso- mas kintamasis. Jei ši funkcija diferencijuojama kiekviename intervalo Ja, b[ taške, tai jos diferencialas dy=— | (G) dx (9) priklauso nuo x ir nuo dx =Ax. …
Excerpt
Kadangi dx? = (Ax) yra pastovus daugiklis, tai iš paskutinės lygybės lengvai gauname dšy =f" (x) * dx. Analogiškai apibrėžiami ir dar aukštesnių eilių diferencialai. Uždaviniai 1. Raskite funkcijos y=x* pokytį, atitinkantį nepriklausomo kintamojo pokytį …
Excerpt
XIX ia skyrius NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS $ 149. Primityvioji funkcija ir neapibrėžtinis integralas Pirmasis diferencialinio skaičiavimo uždavinys buvo apskai- čiuoti funkcijos išvestinę arba diferencialą. Dabar spręsime atvirkštinį už- davinį — ieškosime …
Excerpt
Vadinasi, funkcija O (x) tikrai išreiškiama suma F (x) + C, atitinkamai pasirin= kus skaičių C. J Interpretuojant įrodytąją teoremą geometriškai, matyti, kad visų funk- cijos f(x) primityviųjų grafikai gaunami, stumiant kreivę y= F (x) lygiagre- čiai y …
Excerpt
Kyla klausimas: ar kiekviena funkcija, apibrėžta kuriame nors intervale, turi primityviąją? Apskritai į šį klausimą atsakome neigiamai, bet pabrė- žiame, kad kiekviena elementarioji funkcija bet kuriame savo egzistavimo in- tervale turi primityviąją. 2 1 …
Excerpt
1 cosž T. | Z--t:+G nes (tg x) = cos* „g | -—— = —etgx 17C, nes (—ctg X) S 5) | — =aresinx+C, nes (arcsin x)' = B V V1-2 v= dx s A 4 / 11, 7arcigx+C, nes (arctg x) — Ek, Integralus, surašytus šioje lentelėje, vadinsime lenteliniais. Juos rei- kia gerai …
Excerpt
2. Dviejų funkcijų sumos integralas lygus tų funkcijų integralų sumai. Imsime funkcijas f(x) ir g (x) ir įrodysime, kad | (F0+5 ())ds= | fla)ds+ | s(aax. (4) Norint šią lygybę įrodyti, reikia palyginti jos kairiosios ir dešiniosios pu- sių išvestines. …
Excerpt
“0 f 2 ša ae ax= [ T ži Ž (=7-1)6= pa I Ž Sa - | dx=tgx-x+C. d [ dx - [ sinž x+C0S* x = | (art zsz)ė- sin“ cos 70 sin? x cos? x cos4+ Sinė+ - | ZŽ E =tgx-ctgx+C cosžx six 8 2 Gi || Er (-Z=)ėa=[6-[ 2 =x-arctgx+C. Saių Kintamojo keitimas Kai kurias …
Excerpt
Integruodami praktiškai, turime mintyje, kad +=4 (x), dt=hA' (x) dx, ir rašome tokią lygybių grandinę: [f0)4= [5 (i ())-A )dx= | s(ar=G()+C=G (+ 6))+C. Pavyzdžiui, apskaičiuodami integralą [ sin? x cos x dx, tariame, kad t=sinx (tada di=cos x dx), ir …
Excerpt
Tokiam integralui tinka keitinys +=3x. Tada dt=3 dx, 0 d=> dt. Todėl cos 3xdx= | cos +- L do sia t+C=— sin 3x1C. ž a 3 ; 2. Integralui I g (sin x) cos x dx naudojamas keitinys /=sinx, nes tokiu atveju dt= cos x dx. cos x dx dt ; a) || tg xdx= | A = - …
Excerpt
Dažniausiai naujasis integravimo kintamasis (išreikštas raide £ ar kita raide) nerašomas, bet perdirbamas pointegralinis reiškinys: [s (/ (x)) A (s)dx= [5 (r 69)a (r (> )) ; ir integralas skaičiuojamas, funkciją A (x) laikant nauju kintamuoju. Toliau taip …
Excerpt
Pavyzdžiai. 12. Apskaičiuosime integralą [v 1—x*dx, tardami, kad x=sin t, a E i E Ž). xe[-!, I]. Tokiu atveju V 1—32= VI Zsinžr=cos +; dx=cos t dr. Vadinasi, šaka 1 ) | VilRas [ cos £- cos ! di= | cosž/ di=5 || (1 +cos 2:)dt= 1 1 9 9 1 (E 1 a ; 52 || d+į …
Excerpt
Kadangi uv yra funkcijos (u2)' primityvinė, tai paskutinę lygybę galima para- šyti šitaip: uv = J u vdx + [ uv' dx. Iš čia [ uv' dx =uv — [ u vdx, arba [ udy= uv — | vdu (5) (v' dx=dv, u' dx =du). Gavome vadinamąją dalinio integravimo formulę, iš kurios …
Excerpt
Pavyzdžiai. IE | xcosxds. u=x, dy=cos x dx; du=dx, v=sin x; | x cosxdx=x sin x— f sinxdx=x sin x+co0s x+C. k | x isinodxa“ u=x, dy=sinx dx; du=dx, v= — cos x; f x sinxdx= —X Cos “A xdx=—xcoSx+sinx+C. 3, || kalna 2 dx a u=ln x, dv=xž dx; du= = „09-33 3 3 …
Excerpt
a $ 153, 5 ' Paprasčiausių racionaliųjų funkcijų integravimas A. Imsime bet kurį polinomą P(x)=a,x7+a, x7711+...+ +a,-„XxX+a, ir išsiaiškinsime, kaip skaičiuojamas integralas P(x) G- 2 S hs kai k — natūrinis skaičius. Jei polinomo P (x) laipsnis 2 ne …
Excerpt
f. Pavyzdys. 1. Apskaičiuosime tokį racionaliosios funkcijos integralą: ž x1—2 p a Tip B Ž Skaitiklį x*—2 dalydami iš vardiklio (x— 1)=x3—3x24+3x— 1, gauname dalmenį x+3 ir liekaną 6x2—8x4 1. Todėl x1-2 3 6x*—8x11 ET EE Dabar tapatybės 62 —8x+1= 4, …
Excerpt
I. Jei trinario x*4+px+4 diskriminantas p?—4g yra teigiamas, tai tri- naris turi'dvi skirtingas realias šaknis x, ir x;. Tokiu atveju (7) integralo po- integralinę funkciją išreiškiame paprastųjų trupmenų suma: mx+n A B +px+g X-XI i E (8) ir integruojame …
Excerpt
Vadinasi, x41 2 1 | x*-x-2 dx= | — A lū= (x—2)? xX+1] “ =2ln|x-2|- In|x+1|4+C=1n +C. II. Kai kvadratinio trinario X? 4-7x +-4 diskriminantas p? —44 yra neigia- mas, trinarį pertvarkome taip: AE +px+ą =|14+5) + 1-2 . —1—2151 222 Po to tariame, kad t=x15 …
Excerpt
tenka atlikti daugiau veiksmų. paie *+x+l=[(*+5) +3- „ka š xdx 4. Skaičiuojant integralą j' Er 3 1 Ka Ė —=t, tai iš jos gausime x= E dx=dt. Vadinasi, Jeigu parašysime lygybę x + 5 Is e a rxEl Lis Kol ies 48 25 Ų i DT“ EE Ei ESA 2x+1 = 1 1 Ž a In EAT. …
Excerpt
B. Iš kitų dažniau pasitaikančių iracionaliųjų funkcijų integralų čia iš- nagrinėsime tik vieną, būtent, LŽ ——— BEF kai trinaris ax*4-bx +-c nėra dvinario kvadratas. Tuo atveju trinaris perdirba-. mas šitaip: V — h2 4ac-b š 2 a +bx+c=a|x+ 57) + 7 ir iš …
Excerpt
sa dx a Antrasis integralas [ — , pažymėjus x=až (x > 0!), integruojamas B Vax sitaip: LŽ TR 2 — =arosin Ž+C. a | 1-|= p Vadinasi, i 2 I E! ŽTC. (12) Pavyzdžiai. ST : dx dx 2. | "==! TE Šiuo atveju iš lygybės x— 1 =/ rašome lygybę dx= dr ir, remdamiesi …
Excerpt
Pavyzdžiai. [si Sa ss sa aa cos 4x | cos 2x IL J Sin 3x cos xdk=5 J Gindx+sin x) dx= r aES M L 1 sin 2 sin 4x 2. J sin ŠX sin x dx= 5 || (cos 2x—cos 4x) d 22 8 E aC. B. Nurodysime keletą atvejų, kai lengvai apskaičiuojamas integralas [ sin caS" db 1. Jei …
Excerpt
1 1 1=cos4 1 + 3 J sin Becos2rdr=3 | 2 migg [sin 2rdsin2x= 1 1 1 sin*2x x sin4x sin? 2x 15 | 4-15 J costxdr+15- ERB. M 11 + C. Tarkime, kad m — natūrinis skaičius, ir išnagrinėkime integralą [ te" xdx. Šiuo atveju geriausia imti /=tg x; tada t arctgf, dx …