Excerpt
Dabar aptarsime tokį klausimą: ką galima pasakyti apie funkcijų f (x)+ +g (3), f(x) g (x) ir La ribas, kai funkcijų f(x) ir g (ax) ribos (viena ar abi) yra begalinės arba kai vardiklio riba Lygi-nuliui, Tirsime tik keturis svarbiau- sius ir įdomiausius …
Excerpt
lim/f(x)= + 00 ir limg(x)= + oo. Santykio riba šiuo atveju gali būti ir ietinė ir rinos o kartais gali visai neegzistuoti. Ž Tuo įsitikiname, nagrinėdami paprastus Žau A Sakysime, kai 7 6)-Ž „E (A — realus skaičius), o g (x) = + Matome, kad -— MC =+0 EE …
Excerpt
Skaitiklį ir vardiklį padauginę iš Vliix+ 1, gauname (kai x0) V 1 t EEA Todėl lim Las Ni eso x—0 X x—0 Vlix+1 2 3x2—1 c0 2. sa B Skaitiklį ir vardiklį padaliję iš x*, gauname (kai x> 0) 1 ai Ora E 1 i a Todėl 1 E 2 31211 "i Ša 3 i LT = Ua ==. x—+0 2x3—1 …
Excerpt
xž+|—32 x sublus Vail+x k Pi“ i K D 1 | lim x(Vx2+1-x= lim ——=5- x—10 x—-+2 / 1 /11—+1 X s 108. Nykstančių funkcijų palyginimas Sakykime, kad funkcijos «x(x)ir B(x) nyksta, kai x—a: lim x (x) =0, lim B(x) =0. Tokias funkcijas galima vieną su kita lyginti, …
Excerpt
Pavyzdžiui, 1 —cos x, kai x—> 0, yra antros eilės nykstanti funkcija, ly- ginant ją su a (x)=x: lm 1—cos x ži 2 x—> 0 Oa 2 : Panašiai tgx—sinx, kai x—0, yra trečios eilės nykstanti funkcija, lyginant su « (x)=x: : į —si 1 štn tgx Šis Bija x—> 0 x 2 a 4. …
Excerpt
s 109. Seka ir jos riba Iki šiol nagrinėjome funkcijas, kurių argumento x reikšmės sudaro intervalą. Tokiu atveju sakome, kad argumentas x kinta tolydžiai. Dabar trumpai pakalbėsime apie funkcijas, kurių argumento reikšmės yra natūriniai skaičiai …
Excerpt
„skai < Ša 5. Funkcijos x;= reikšmių sekoje kas antras narys lygus nuliui: Iš žiji n l 1 GEO, D Uu Funkcijos x, riba apibrėžiama taip, kaip funkcijos f (x) riba, kai x—> + 00. Skaičius a vadinamas funkcijos x, riba, kai n—> + 00, jei bet kurį teigiamą …
Excerpt
Natūrinio kintamojo funkcija x, vadinama didėjančia, kai r Tokios funkcijos pavyzdžiu gali būti 1 (pažvelkite į jos reikšmių seką!). Funkcija x, vadinama aprėžta iš viršaus, kai visos jos reikšmės yra mažesnės už kurį nors skaičių M: Se Ma(BE E 2. 355). …
Excerpt
3. Nustatysime funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, kai funkcija išreikšta for- mule F= 51 Pastebėję, kad tiriamoji funkcija egzistuoja intervale ]— 0, +00[, apskaičiuojame jos išvestinę: Ž 2(1-x2) 2 mažas Išvestinė lygi nuliui, kai x= —1 ir kai …
Excerpt
Funkcijos maksimumus ir minimumus vadiname jos ekstremumais, o tas argumento x reikšmes (x;, x; ir pan..), kurias atitinka funkcijos maksimu- mas ar minimumas, — ekstremumo taškais. Kyla klausimas: kaip rasti funkcijos ekstremumo taškus, t. y. tas …
Excerpt
aplinką ]x;— D, Xo[ U Įxo, Xo+-[, kad išvestinė f' (x) egzistuotų kiekviename tos aplinkos taške ir, be to, intervaluose ]x;— O, xg[ bei Įxų, X; + 0[ nekeistų ženklo. 1. Jei f' (x)> 0, kai …
Excerpt
ir taške x, ekstremumo nėra (157 brėž.). Taške x, nebus ekstremumo ir tuo atveju, kai f' (x) taško x, aplinkoje yra neigiama. Tada funkcija f (x) abiejuo- se intervaluose ]x,—0, x4[ ir Įx,, x;+5[ mažėja (158 brėž.). g y Į I ) fi,) f06) : i Į DKD" 041 Olė …
Excerpt
Antroji taisyklė. Jei taške x, funkcijos f (x) išvestinė f' (x) lygi nuliui, o antroji išvestinė f“ (x) nelygi nuliui, t. y. f (0)=0, f" (x) *0, tai tame taške funkcija f(x) turi ekstremumą: a) f (xp) yra minimumas, kai f" (x) > 0; b) f (xe) yra …
Excerpt
Pavyzdys. Funkcijos f(x)=x*— 3x išvestinė f' (x)=3 (x*— I) lygi nuliui, kai x= — I ir kai x=1. Suradę antrąją išvestinę f“ ()=0x, matome, kad f“ (—1)= —-6 0, todėl taške x= —1 funkcija įgyja maksi- mumą f(—1)=(—!1)*—3(—1)=2, o taške x=1 — minimumą …
Excerpt
2 T Kadangi per valandą garlaivis nuplaukia x km, tai vienam kilometrui nuplaukti su- naudojama 48 3x3 £- 1000 ) Ei: Uždavinyje reikia rasti tokį greitį x, kad pastaroji sama būtų mažiausia, t. y. reikia rasti funkcijos Kaas Sta, Kr BOO minimumo tašką. …
Excerpt
Kreivės iškilumo žemyn požymis. Jei funkcijos y -=f (x) antroji išvestinė f“ (x) intervale Ja, b[ teigiama, tai tos funkcijos grafikas intervale Ja, b[ iškilas žemyn. Kadangi funkcijos y'=f" (x) išvestinė f" (x) intervale Ja, bĮ teigiama, tai pati …
Excerpt
Įrodymas. Tarkime, kad f" (x), kai x praeina pro x,, iš teigiamos pasi- daro neigiama. Tada yra intervalas ]x,—0, x,[, kuriame f" (x) teigiama, ir intervalas Įx,, x;+3[, kuriame f" (x) neigiama (163 brėž.). Intervale Įx,— D, Xo[ funkcijos y=/ (x) grafikas …
Excerpt
Vadinasi, pirmajame intervale duotoji kreivė yra iškila žemyn, antrajame — aukštyn, is 2 š 1 5 1 3 o trečiajame — vėl žemyn. Taškuose ( ———— —| 111 S ivė į- V3 aa V3 Fi kreivė persi lenkia (164 brėž.). 3 2. Funkcijos y= Į/ x pirmoji išvestinė 1 3 — 3Va …
Excerpt
4. Išsprendę lygtį f' (x) =0, randame funkcijos f(x) stacionarinius taš- kus. Prie jų prijungiame tuos taškus, kuriuose išvestinė neegzistuoja. Tokiu būdu gauname visus kritinius taškus. Nustatome išvestinės ženklą kiekvie- name intervale tarp dviejų …
Excerpt
Dabar imame duotosios funkcijos antrąją išvestinę y"=32—4=3 (*-5) į š a 22 L p Ė 2 …
Excerpt
Kadangi y'— + 0, kai x—+0, tai taške (0, 0) grafikas turi vertikalią liestinę. Taške (1, I) liestinė, aišku, horizontali, nes y/=0, kai x= L. žali Turėdami išvestinę y“ =2x 3 —2, randame antrąją išvestinę O 9 3 3 — sBVa ir pastebime, kad ji visoms x …
Excerpt
Pabrėšime, kad, pereinant iš intervalo 1:- =| į intervalą | > [ išvestinė ženklo nekeičia. Vadinasi, taške x=7+ ekstremumo nėra. Nežiūrint to, atitinkamas kreivės taškas yra svarbus, nes jame nubrėžta liestinė lygiagreti x ašiai (y“=0!). Todėl ir parašėme …
Excerpt
mą tarp a ir b yra toks taškas c, ia Pl. ai 0, Kitaip Siam ; 6)- f(a) , ri- LA--8(9=0 arba J f(b) = AO) S 7 = a Padaliję iš g' (c) (tai galima, nes g' (c) £0), gauname (3) lygybę, kurią vadiname Koši formule. Pastebėsime, kad Lagranžo formulė yra atskiras …
Excerpt
Kai x—a, aišku, ir c—a. Vadinasi, ia TE lių 0 L = BJ — ED“ Pagal įrodytąją teoremą, užuot ieškoję funkcijų santykio ribos, galime ieškoti jų išvestinių santykio ribos, jei pastaroji egzistuoja. Dažnai išvestinių santykio ribą rasti būna lengviau. …
Excerpt
Pavyzdžiai. 4. Apskaičiuosime : In x co Lmti-—— 0 (2) : =—+0 Aš EE 0 Pagal Liopitalio taisyklę tim MX tim 05) im Ž Im 1 x=— 10 120 a (07) RS LS 5. Apskaičiuosime 14 li — (a> 1, 4> 0) (2): a (L tim „2 pli E x-—-0 až x-—-+0 aš In a Jei «> 1, tai dešinėje …
Excerpt
o antrajam pritaikoma Liopitalio taisyklė: lim „XCOSX—SINX im zxsin x a x—0 xsinžx x> 0 sinž x+2xsinxcos x —lim LL 2 x> 0 sin x i leo Taigi > 1 1 2 lim L | OJ4 —— — —— lim, (ctg* x 5) 2.( 2 3. Uždaviniai 1. Per kreivės y=x“ tašką (I, 1) nubrėžta liestinė. …
Excerpt
12. Įrodykite, kad funkcija y=33+x visur didėja. 13. Įrodykite, kad funkcija y=arctg x—x visur mažėja. 14. Raskite žemiau nurodytų funkcijų didėjimo ir mažėjimo intervalus: a) y=x—-€7; b) y=x*—4x?1-4x2; el = ež d) y=2x*-Inx; e) v=x -+-cos x. Ats. a) ]— …
Excerpt
22. Tunelio skersinis piūvis yra stačiakampio formos, iš viršaus užbaigtas spindulio R pusskrituliu. Koks turi būti R, kad tunelio skersinio piūvio plotas būtų didžiausias, kai to skersinio piūvio perimetras lygus 18 m? Ats. R= 2,5. 18 z+4 23. Iš trijų …
Excerpt
26. Patikrinkite Koši formulės teisingumą intervale 1[, 2], kai f(x)=33, g(x)= =x2+1. 5 Ats. e=l5 š 27. Apskaičiuokite: a) lim Jncosx f) im „Jnsinžx, x—0 X x—0 Insin x - x-arctgx | EE lime): b) E 13 T x7-—> 10 : Ž 5 Tim > ME h) lim (x*e*); x-—-0 X-tEX x—0 …
Excerpt
Bendruoju atveju duosime tokį apibrėžimą. Jei funkcijos y=f (x) pokytį Ay =f (x+Ax)-f (x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma Ay=4A-Ax+0 (Ax), (1) kurių pirmasis (A - Ax) yra tiesiškas Ax atžvilgiu, o antrasis — nykstantis dydis aukštesnės eilės. negu Ax …