Excerpt
Šiuo atveju funkcijos grafikas yra virš tiesės y =m (116 brėž.). Skaičius m vadi- "namas funkcijos y=/(x) apatiniu rėžiu intervale Ja, bĮ[. Ė/ Pavyzdys. Intervale ]— 00, +20[ apibrėžkime funkciją y= I +-3*. Ji yra aprėžta iš apačios, nes 1+x2> 1, kai …
Excerpt
5195. Racionaliosios funkcijos 1. Funkciją vadiname sveika racionaliąja, kai ją galima iš- reikšti formule, kurioje yra tik daugybos* ir sudėties veiksmai: y=a,*" 10, x" 1ra X)... ka, ,X4a,. (1) Dešinėje parašyto reiškinio, vadinamo polinomu …
Excerpt
, Pavyzdžiai. 2. Kadangi bet kurią realią x reikšmę atitinka nelygi nuliui reiškinio x* + 1 reikšmė, tai funkcijos = T egzistavimo sritis yra visa realiųjų skaičių aibė — intervalas ]— 00, + oo[. Braižydami tos funk- cijos grafiką (118 brėž.), sudarėme …
Excerpt
s 96. Laipsninės funkcijos Funkcija y=x* vadinama /aipsnine; rodiklis « — bet kuris realus skaičius, nelygus nuliui. Laipsninės funkcijos egzistavimo sritis pri- klauso nuo rodiklio x. Adi Pavyzdžiai. 1. Funkcijų y=x* ir y=x* = | x* egzistavimo sritis yra …
Excerpt
$ 97. Rodiklinės ir logaritminės funkcijos 1. Funkcija y=a* (a — teigiamas skaičius, nelygus vienetui), ž 525 Ie = 1 12 31 2 vadinama rodikline. Pavyzdžiui, y=92*, »=(5) 3 y=(š) 2 y=(> ) ir pan. yra rodiklinės funkcijos. Rodiklinės funkcijos y =a* …
Excerpt
Logaritminės funkcijos y=10g,x egzistavimo sritis yra intervalas ]J0, + oo[, o kitimo sritis — intervalas ]— 00, + oo[. Pirmojo intervalo vaizduotė y=1og,x į antrąjį yra abipus vienareikšmė. Atvirkštinė funkcija x=a7 yra rodiklinė. Kai a> 1, funkcija …
Excerpt
Palyginę paskutines dvi lygybes, matome, kad funkcija y =sinx yra perio- dinė, o skaičius 27 — jos periodas. Iš to aišku, kad intervalo 1-0, +0[ vaizduotė v=sin x į intervalą [—1, 1] nėra abipus vienareikšmė. Funkcijos y=sin x grafikas, kurį kartais …
Excerpt
aibėje X, kurią sudaro visi realieji skaičiai, išskyrus = +kz. Tą funkciją žy- mime simboliu tg: L šo Kadangi taško B ordinatė y“ gali būti bet kuris realus skaičius, tai v' = =tgx yra aibės X vaizduotė į intervalą ]— 0, + 0[. Jei du lankai AM ir AM“ turi …
Excerpt
Funkcijos y=ctg x grafikas pavaizduotas 125 brėžinyje punktyrinė li- nija. Iš jo matyti, kad intervalo ]0, z[ vaizduotė y=ctg xįintervalą ]- 00, + o0[ yra abipus vienareikšmė. S 99, Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos 1. Intervalo Y= [ -Z , 3) …
Excerpt
Vadinasi,[funkcija y =arctgx yra apibrėžtaintervale X =]— 00, + co[,o jos reikš- mės sudaro intervalą Y =|-Z : 1. r Šita funkcija apibrėžimo intervale 1-0, +0[ didėja (128 brėž.). 129 brėž. 4. Intervalo Y=]0, z[ vaizduotė x=ctg y į intervalą X=]— 0, + x[ …
Excerpt
X yra apibrėžta funkcija z=/(x), kurios reikšmės priklauso aibei Z. Aibėje Z savo ruožtu apibrėžta funkcija y=g(z), kurios reikšmės priklauso aibei Y. Atitiktimi f aibės X elementui x, priskiriamas aibės Z elementas z,, o ati- tiktimi g šitam elementui z, …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Nustatysime funkcijos egzistavimo sritį, kai funkcija pateikta formu- le: 1 a "EA Čia galimos tik tos x reikšmės, kurios tenkina šitokią nelygybių sistemą: 1g(1—x)0, | 2 1-x> 0, x;+220. Iš tos nelygybių sistemos gauname jai ekvivalenčią …
Excerpt
3. Aibę A sudaro visi natūriniai skaičiai, dalūs iš 5, o aibę B — visi natūriniai skaičiai, kurių dešimtainės išraiškos paskutinis skaitmuo yra arba O, arba 5. Įrodykite, kad A=8B. 4. Aibę A sudaro visi statieji trikampiai, o aibę B — visi lygiašoniai …
Excerpt
13. Nubraižykite žemiau pateiktų elementariujų funkcijų grafikus: i 1 a) y=xX3—3x3; d) ISA55 E Į 1 1 BF Lia | e) y=Xt * = a > - f) 1 2. > 14. Nubraižykite žemiau pateiktų funkcijų grafikus: A) y=ixl; c) y=xį| XI; 1 š 5 Br-5 G+lzi): d)y=2*|. 15. …
Excerpt
funkcijos 2 + 2 reikšmių ir skaičiaus 2 skirtumo modu yra kiek norima mažas, kai x reikšmės yra pakankamai didel : (2 - +) — 92 | + c0, jei bet kuri (kiek norime mažą) teigiamą skaičių < atitinka toks skaičius A, kad visos x reikšmės, didesnės už A, …
Excerpt
nelygybę |f(x)—2| < e. Todėl skaičius 2 tenkina tuos reikalavimus, kurie funkcijos ribos apibrėžime keliami skaičiui A: 1 lim ( 247)=2. x7—+0 x Atkreipiame dėmesį, kad funkcijos y=2+2 reikšmės yra didesnės už jos ribą,kai x—> +0 (132 brėž.). 2. Panašiai …
Excerpt
| 4. Nagrinėjant tolesnius pavyzdžius ir sprendžiant pratimus, labai svarbu žinoti, kad 1 lim TA =0, x—+0 x kai 4 — bet kuris teigiamas "EMS skaičius. Laipsninę funkcija f = ( . + 1 1 š . I 3 1 s Kadangi nelygybė =x Zr nelygybei x> (=) „tai If (+)—0| …
Excerpt
+ Z ; Skaičius A, minimas ribos apibrėžime, priklauso nuo =. Mažinant E, skaičių A dažniausiai reikia didinti. Kitaip sakant, kuo siauresnė yra juosta tarp tiesių y=4A— < ir y=4+5, tuo toliau reikia eiti į dešinę, kad funkcijos y =/(x) grafikas nebeišeitų …
Excerpt
V=/f(x) grafikas yra tarp tiesių y= A —e ir y=4A+e (135 brėž.). Kuo mažes- * nis skaičius …
Excerpt
Panašiai apibrėžiama ir funkcijos riba, kai x artėja prie a iš dešinės. Šiuo atveju funkcija y=/(x) turi būti apibrėžta kokiame nors intervale, kurio kairysis galas yra taškas a (137 brėž.). ko y Y=f[x] Vf4)-A| Įf4)-A| Y=fl4) A+€ 4:6 //+-——— NE ŽŽ A …
Excerpt
Intervalų junginį Ja —0, a[ U Ja, a+0[, kurį gauname, iš intervalo ]a-—ė, a+-0[ pašalinę skaičių a, vadiname taško a aplinka. Naudodamiesi šia są- voka, galime funkcijos ribą taške a apibrėžti trumpiau: Skaičių A vadiname funkcijos f(x) riba taške a, kai …
Excerpt
ans „0 (—x)*=x*. Vadinasi, (5) nelygybės yra teisingos ne tik tada, kai 0 …
Excerpt
Tarkime, kad f(x) — bet kuri funkcija ir kad lim J(x) = A. Tokiu atveju pakankamai mažoje taško a aplinkoje yra teisinga nelygybė If(x)— A| + 00 (žr. 1 pavyzdį), gauname 2x241 lim = 1 x-—-> 10 Dėstant tolesnę teoriją, bus pravartu žinoti dvi lemas, …
Excerpt
ir tokia taško a aplinka, kurioje € I86)| Mažesniojoje iš tų dviejų aplinkų abi parašytosios nelygybės yra teisin- gos. Todėl toje aplinkoje …
Excerpt
EV : $ 105. Funkcijų sumos, sandaugos ir dalmens ribos | 7 teorema. Jeigu funkcijos y =f(x) ir y =g(x) turi ribas, kai x—=a: lim f(x) = A, limg(x)=B, x—a XxX—> a tai tų funkcijų-suma-f(x) + g (x) irgi turi ribą (kai x—a), būtent, lim[ f(x) +7(5)]= 418. …
Excerpt
Funkcijos A B(x), B x(x) ir x(x) P(x), kaip nurodyta praeito paragrafo 2 lemoje, nyksta, kai x—a. Todėl jų suma AB(x)+-B «(x) +-x(x) B(x) irgi nyks- ta, kai x—> a (1 lema). Jei tą sumą pažymėsime y(x), tai gausime J) glx)= AB +x(x). Vadinasi, funkcija …
Excerpt
Iš praeito paragrafo lemų matyti, kad paskutiniuose laužtiniuose skliaustuo- se parašyta funkcija nyksta, kai x—a. Be to, funkcija r ankščiau pami- nėtoje taško a aplinkoje yra aprėžta: 1 1 0 < RE) z0) < IB (turime mintyje, kad B> 0 ir g (x)> 7> 0). Todėl …
Excerpt
3. Remdamiesi 3 teoremos išvada, apskaičiuosime dalmens ribą (kai 670); sin ax asinas I sin ax Ii se x—0 a im. =————— NS ————> ———> —> —> 15 eso Sina SIODE ia sinibx“ 7 5 2 x—0 Praktiškai skaičiuojant ribas, kai kada pravartu žinoti toliau gaunamus …
Excerpt
Įrodinėdami šį teiginį, pasirenkame bet kurį (kad ir labai mažą) teigiamą skaičių E (remiamės neaprėžtai didėjančios funkcijos apibrėžimu). Toje aplinkoje 1 1 I 0)l=- TBT“ E“ Vadinasi, kiekvieną teigiamą skaičių < atitinka taško a aplinka, kurioje ja (x)| …