Excerpt
Pastebėsime, kad plokštumos ir sferos lygtis kartu gali tenkinti tik tų pa- viršių susikirtimo linijos taškai. Kadangi jų susikirtimo linija yra apskritimas, tai apskritimas erdvėje apibrėžiamas lygčių sistema ax+by+cz+d=0, = +0— 7) +(E-2)=r. s 59. …
Excerpt
kinti, kad lygtis, kurioje nėra kintamojo x (arba 7), nustato cilindrinį paviršių su sudaromosiomis, lygiagrečiomis x ašiai (arba y ašiai). 2 2 Pavyzdžiai. 1, Lygtis 3 +! apibrėžia cilindrinį paviršių, kurio vedamoji yra xy plokštumoje nubrėžta elipsė, o …
Excerpt
Gautąsias X ir Z išraiškas įstatome į lygtį F(X, Z) =0 ir gauname F(V *+y, 2-0. (3) Kadangi šią lygtį tenkina kiekvienas sukimosi paviršiaus taškas M (x, y, z), tai ji ir yra minėto sukimosi paviršiaus lygtis. 79 brėž. 60 brėž. Apžvelgsime antros eilės …
Excerpt
3. Imkime hiperbolę Žž X* Za kurios realioji ašis yra z ašis. Sukdami šią hiperbolę apie realiąją ašį, gauname dvišakį sukimosi hiperboloidą 2 x? -- y. ja Gas B ž ZĄ | LH S ša y 61 brėž. 62 brėž. (83 brėž.). Tai paviršius, visiškai skirtingas nuo …
Excerpt
Pastaba. Čia parabolė buvo sukama apie simetrijos ašį, 0 gautas paviršius, kaip matome, yra antros eilės paviršius. Jei parabolė Z*=2pX būtų sukama apie = ašį, t.y. apie liestinę, nubrėžtą per parabolės viršūnę, tai gaunamas paviršius z?= = 2pV x21y* būtų …
Excerpt
Jeigu į pirmąją lygtį įstatysime z=h, tai gausime sistemą x?+y* hz | Lia ai 20: kurią galima rašyti šitaip: 2 x y) =až (1-5) 2 Zz HE Susikirtimo liniją (apskritimą) dabar galime laikyti sukimosi cilindro x? +y2 = - e 1- ) ir plokštumos z=/ susikirtimo …
Excerpt
Šia lygtimi išreiškiamas paviršius vadinamas friašiu elipsoidu, arba tiesiog elipsoidu (87 brėž.). Kirsdami elipsoidą plokštumomis, statmenomis koordinačių ašims, gau- name elipses. Pavyzdžiui, (5) elipsoido ir plokštumos z=/A …
Excerpt
kurios pusašės lygios a ir c. Pagaliau šio elipsoido ir yz plokštumos susikirti- mo linija yra elipsė y z2 I S 10b Iš to, kas pasakyta, galima spręsti apie triašio elipsoido formą. Tai pa- viršius, simetriškas koordinačių plokštumų atžvilgiu (87 brėž.). …
Excerpt
Kadangi kreivės / taškų koordinatės tenkina abi (6) sistemos lygtis, tai jos tu- ri tenkinti ir gautąją lygtį. Vadinasi, ja išreiškiamas paviršius eina per kreivę /. Todėl kreivei I išreikšti vietoj (6) sistemos galima imti arba sistemą xi y 2 B BOB p2 …
Excerpt
x2 yž z2 T T p ET Ka *Eap573 Lai LB 20 Tokiu būdu, radome dvi plokštumas, kurių susikirtimo su elipsoidu linijos yra apskritimai. Tai du triašio elipsoido apskritieji piūviai (88 brėž.). Galima įrodyti, kad elipsoido piūvis irgi bus apskritimas, jeigu jį …
Excerpt
X skyrius MATRICOS IR | JIŲ LYGČIŲ SISTEMOS $ 63. Matricos, jų lygy tis ir daugyba iš skai“ ans Tarkime, kad lentelėje, turinčioje m eilučių ir n stulpelių, su- rašyti skaičiai taip, kad kiekvienoje eilutėje yra 7 skaičių, o kiekviename stul- pelyje — m …
Excerpt
Dviejų vieno tipo matricų Air B suma A+ B vadinama matrica, sudaryta iš elementų a;;+-b;;: | An+bi Gabby +a;;, (aj; Lb); =; +-(P;; Cc), a; +-0=ajj. Skaičiaus k ir matricos A sandauga kA (arba A - k) vadinama matrica, sudaryta iš elementų ka;;: || kai. kūa …
Excerpt
Jeigu matricos A eilutes parašysime vietoj stulpelių (o stulpelius — vie- toj eilučių), tai gausime matricą AT, turinčią 7 eilučių ir 72 stulpelių: | Mi Gaie 27 p tr US Ma | T | ia B m? || 2 5 pP BaEIRIO Bs || | || || | Išžžia Nega aa A | Toks veiksmas …
Excerpt
Praleidę bendrąjį n-os eilės determinanto apibrėžimą, kurį galima rasti platesniuose vadovėliuose, čia nurodysime tik taisykles determinantui ap- skaičiuoti. Tuo tikslu apibrėšime minoro ir adjunkto sąvokas. Išbraukę determinanto D i-ąją eilutę ir j-ąjį …
Excerpt
NTT P "ESS PVP AAB Pavyzdys. Remdamiesi (1) formule, apskaičiuosime ketvirtos eilės determinantą 2 L54i =D | |* 0 OT i5i 0 | | 57 i i“ k a PMS“ 19 Kadangi antroje eilutėje visi elementai, išskyrus skaičių 5, lygūs nuliui, tai patogiau - sia bus imti i=2. …
Excerpt
Įrodymas. Tarkime, kad visi i-osios eilutės elementai lygūs nuliui: dx =A;5=--- App =4;, (k Zi). Sukeitę tas eilutes vietomis, gau- sime determinantą D, lygų — D (2 savybė). Kita vertus, determinantas D ne- pasikeitė, nes sukeistosios eilutės yra …
Excerpt
6 savybė. Jeigu prie vienos determinanto D eilutės pridėsime kitos eilutės elementus, padaugintus iš bet kurio skaičiaus, tai gausime determinantą D“, lygų D. i Įrodymas. Tarkime, kad prie i-osios eilutės elementų pridėjome k-osios eilutės elementus, …
Excerpt
Gautąjį determinantą patogu išreikšti trečiojo stulpelio elementais, padaugintais iš atitinkamų adjunktų: kios a rasių | 8 —8.-1| D=1-(-45] 8. Ll Ė ri A | ! | ĮZž* 1.2 AL 3) Dabar nekeičiame pirmos eilutės, o prie antros ir trečios pridedame pirmos …
Excerpt
Pavyzdys. Sudauginsime dvi matricas: || d 2|| ! 7 1 A=|3 4) ir B= Ž || | 9 0 || II 5 6 || Š || 1-74+2.9 1-85+2-0 || [25 8 A-B=|3-744-9 2 TI 57 24 ||. | 5-7+6-9 5-8+6-0|| || 89 40 || Iš sandaugos A - B apibrėžimo matyti, kad ji egzistuoja tik tada, kai ma- …
Excerpt
S 66. Vienetinė matrica. Atvirkštinė matrica Kvadratinė matrica, kurios įstrižainės elementai lygūs viene- tui, o visi kiti elementai yra nuliai, vadinama vienetine matrica ir žymima raide E: T 4 | E-|0 1 0) L | I aš*oK E 1|| | Uu Cin On | Į A 20 | Asi …
Excerpt
Įrodysime, kad n-os eilės kvadratinė matrica A, kurios determinantas | Ai Op 9. lip | "a m Ūa| P=dsrA= K Ž2av 2 3 t | | | A Ono... Ann | nelygus nuliui, turi atvirkštinę matricą A-1. (Kai det 440, matrica A vadina- ma neišsigimusia.) Iš determinanto D …
Excerpt
Iš čia matyti, kad matrica, atvirkštinė neišsigimusiai matricai A, tikrai egzis- tuoja ir, be to, kad (4) Pavyzdys. Įsitikinsime, kad trečios eilės kvadratinės matricos IE S0E 021 A=|| 5 223 Os 4 determinantas det A nelygus nuliui, ir sudarysime jai …
Excerpt
Baigdami šį paragrafą, dar pastebėsime, kad matricai A- B (A ir B — meišsigimusios matricos) atvirkštinė yra B-!1- A-1. Tuo lengva įsitikinti: (A-B)- (B-1-A-)=((A -B)-B-') i -1— (4-(B-B-) (S =(A-E)+A-1=A+A-1=E. Išvada. Neišsigimusių matricų A ir B …
Excerpt
Be to, iš kintamųjų x;, X;, ---, X, 1r skaičių bį, bp, ..., b„,„ parašytų (5) sistemos lygčių dešinėse pusėse, sudarome matricas-stulpelius (taip vadiname matri- cas, turinčias vieną stulpelį): | > || || bi | | 36 | || b, HH ša 5 || E EA Pagal matricų …
Excerpt
Teorema. Jeigu (6) sistemos determinantas -D=det A nelygus nuliui, tai sistema turi vieną ir tik vieną sprendinį. Įrodymas. Kadangi det 40, tai neišsigimusi matrica A turi atvirkš- tinę A-!. Lengva įsitikinti, kad matrica-stulpelis A-1 - B yra lygties A: …
Excerpt
Norint rasti matricos-stulpelio 4- B elementą D,;, reikia matricos A j-osios eilutės elementus (determinanto D j-ojo stulpelio elementų adjunktus) A1; Ap, > A,„; padauginti iš atitinkamų stulpelio B elementų b;, bp, ..., b, ir sandaugas sudėti: …
Excerpt
"META. Kadangi DŪ, tai duotoji lygčių sistema turi tik vieną sprendinį. Norint jį apskaičiuoti, rei- kia rasti dar keturis determinantus: | Binaskoi: I aiti iš Bi O puls 2 5. rų plikas L gs As ŽŽ indas ; > 2.2 lis 4) S sė LL] M l Hi. (1 22 i 2 1 1-0 5 ip …
Excerpt
Be to, ji turi devynis antros eilės minorus, iš kurių trys nelygūs nuliui: |istiikes) 2: Big ABS vaito Ll a | 4| 25 LA 57 =0, =0, | |=0, io 0| i 0 | |0 0| Šeilėn) I-gd | ao la ele S 0 B Jeigu matrica A turi bent vieną nelygų nuliui 7-os eilės minorą, o …
Excerpt
Pavyzdys. Apskaičiuosime rangą matricos, turinčios tris eilutes ir keturis stulpelius: || -2 1* 2 r4 | | A=| 32 0 -2|. || + a i Prie pirmojo, trečiojo ir ketvirtojo stulpelių pridedame antrąjį, padaugintą atitinkamai iš 2.2 I: T 1 0 0|| a=||17:2 4 0 |. | …
