Excerpt
Žairis Ki S ieasiė E po to prie abiejų pusių pridėsime po 25 Ir 44 > O £ perkelsime į kairę pusę: 2, D T) ( „ 0, tai ši lygtis sutampa su (2) lygtimi, imant 2 “4 o ž - k ži „EA Vadinasi, kai Dž + E?—4AF > 0, 2: Sa 12 (3) lygtis reiškia apskritimą, kurio …
Excerpt
$ 43. Elipsė Elipse vadiname kreivę, kurios kiekvieno taško atstumų nuo dviejų duotų taškų suma yra pastovi. Duotieji taškai F, ir F, vadinami elipsės židiniais. Atstumą |F,F,| žymėsi- me 2c (44 brėž.). Taškui"M slenkant elipse, suma |F,M|+ |F;M | …
Excerpt
Abi lygties puses padaliję iš ažb, galutinai gauname x. y me = == AE S (7 ) Tai vadinamoji kanoninė elipsės lygtis. iš kurios matyti, kad elipsė yra 'ant- ros eilės kreivė. Kadangi (7) lygties kairėje pusėje abu dėmenys neneigiami, o jų suma lygi …
Excerpt
Kadangi a> b, tai 2a yra elipsės didžiosios ašies ilgis, o 25 — mažosios ašies ilgis. Skaičius a — didžiąją pusašę, b — mažąją pusašę ir c — židinio atstumą nuo centro sieja (6) lygybė, kurią rašome šitaip: cž=až-—b?. (8) Elipsės ištęstumą galima …
Excerpt
Norėdami išvesti paprasčiausią hiperbolės lygtį, x ašį nubrėšime per ži- dinius F, ir F,, o koordinačių pradžią O pasirinksime atkarpos F,F, viduryje (46 brėž.). Tada |OF,|=c, todėl židiniai F, ir F, turės koordinates (c. 0) ir (—c, 0). Jei M(x, y) — bet …
Excerpt
Toliau pastebėsime, kad hiperbolė, kaip ir elipsė, yra simetriška abiejų koordinačių ašių atžvilgiu, nes lygtyje x ir y yra tik antrajame laipsnyje. Todėl pakanka nubrėžti hiperbolės dalį, esančią pirmajame ketvirtyje. Hiperbolės lygtį išsprendę ordinatės …
Excerpt
2 D / a* 55 ž Į lą B Kai x didelis, reiškinys PE yra artimas vienetui. Šaknį pakeitę vienetu, gauname tiesės lygti Au = za g N 8 M | TE ET SP C > 6 a E ZL | 0 a x x | T 1 ! 47 brėž. Tarkime, kad M(x, y) — hiperbolės taškas, o N(x, Y) šios tiesės taškas, …
Excerpt
kad tada skirtumas Y-— y artėja prie nulio, nes dešinėje esančios trupmenos skaitiklis ab nesikeičia, o vardiklis x+ |/x* —až neaprėžtai didėja. Vadinasi, kai taškas M, slinkdamas hiperbole pirmajame ketvirtyje, tolsia į begalybę, tai jo atstumas nuo …
Excerpt
5 46. Parabolė Parabole vadiname kreivę, kurios kiekvienas taškas yra vienodai nutolęs nuo duotojo taško ir duotosios tiesės. Duotasis taškas F vadinamas parabolės židiniu, duotoji tiesė DE — jos direktrise (48 brėž.). Židinio F atstumą |KF| nuo …
Excerpt
Iš lygties yž =2px matyti, kad 2px> 0; be to, p> 0, todėl x> 0. Vadinasi, visi parabolės taškai yra dešinėje nuo y ašies. Imdami x=0, gauname y=0; taigi parabolė eina per koordinačių pra- džią. Be to, matyti, kad ši kreivė yra simetriška x ašies …
Excerpt
kuri gaunama iš (15), sukeičiant abscisės ir ordinatės vietas, taip pat reiškia parabolę. Jos simetrijos ašis bus y ašis, o viršūnė — koordinačių pradžia (50 brėž.). Šios parabolės židinys yra taškas F ( 2 ) 2 2 > I (16) pavidalą lengvai suvedama ir …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Parašykime lygtį apskritimo, kurio centras sutampa su koordinačių pradžia, o spindulys lygus a: x*1-y*=až, Skaičių a čia galima laikyti parametru. Kiekvieną teigiamą parametro a reikšmę atitinka apskritimas. Tie apskritimai sudaro …
Excerpt
„"TrT Uždaviniai 1. Parašykite lygtį apskritimo, kurio centras yra taškas (1, — I), o spindulys lygus 3. Ats. x*+-y*—2x+2y—7=0. 2. Raskite apskritimo x*4+y248x—9=0 spindulį ir centro koordinates. Ats. 5; (—4, 0). Ž 3. Apskritimo skersmuo yra tiesės …
Excerpt
15. Hiperbolės asimptočių lygtys yra »-Ž x ir y=— Ž x. Parašykite tos hi; : bolės lygtį, kai ji eina per tašką (2, 1). Ats. 9x*— 16y2=20. 16. Raskite hiperbolės x*— yž=16 ir apskritimo x*+y*=34 susikirtimo taškus. Ats. (5, 3), (—-5, 3), (-5, —3) ir (5, — …
Excerpt
Jei duota koordinačių sistema ir žinoma kreivės lygtis toje koordinačių sistemoje, tai dažnai tenka parašyti tos pačios kreivės lygtį kitoje koordinačių sistemoje. Šiam uždaviniui išspręsti būtina žinoti vienos koordinačių sistemos padėtį kitos sistemos …
Excerpt
arba xi+yį=(x'+-0)i +(y' +6)j. Iš tos vektorinės lygybės gauname dvi skaliarines lygybes — koordina- čių sistemos /ygiagretaus postūmio formules: x=x' ia, d y=y +6. ) Čia senosios taško koordinatės x ir vyra išreikštos naujosiomis koordinatė- mis x' ir …
Excerpt
Panašiai vektorius j' su x ašimi sudaro kampą « + = o su y ašimi — kampą x. Todėl j =icos (++ 3 )+ic0s «= —isina+jcos x. Gautąsias vienetinių vektorių i“ ir j' išraiškas parašome (3) lygybėje: —— OM =x'(icosx+jsinx)-+-y'(—isin x +jcos 3). —> Kadangi OM …
Excerpt
Dabar atliekame nurodytuosius veiksmus, lygybę panariui padalijame iš 2 ir gauname x" +14y"=4, arba 6 Virks 10 Matome. kad duotoji kreivė yra elipsė. Naujojoje koordinačių sistemoje nesunku tą elipsę nubraižyti (56 brėž.). SSE Kvadratinio trinario …
Excerpt
Vadinasi, y=ax*;4+-bx +-c iš tikrųjų yra lygtis parabolės, kurios viršūnė yra taškas 4 Da? 1) 3 o simetrijos ašis (y“ ašis) lygiagreti y ašiai (57 brėž.). 5 52. Lygiaašės hiperbolės asimptotinė lygtis Kai koordinačių ašys sutampa su lygiaašės hiperbolės …
Excerpt
Dabar nurodysime kitą būdą taško vietai plokštumoje nusakyti. Tuo tiks- lu pasirinksime kurį nors plokštumos tašką O ir iš jo išvesime spindulį OP (59 brėž.). Tašką O vadinsime poliumi, o spindulį OP — poline ašimi. Imkime bet kurį plokštumos tašką M ir …
Excerpt
— mąja abscisių ašimi (61 brėž.). Taško M koordinatės ortogonaliosios sis- temos atžvilgiu tebūnie x ir y, o polinės sistemos atžvilgiu — p ir 6. Tada pagal kosinuso ir sinuso apibrėžimus * =cos * =sin 2 Bei B: Iš čia x ir y išreiškiame poliniu spinduliu …
Excerpt
Iš poliaus O nubrėžiame spindulį, sudarantį kampą ę su poline ašimi, t. y. polinę ašį pasukame apie polių teigiamu ar neigiamu kampu y, padaryda- mi, esant reikalui, keletą pilnų apsisukimų. Jei „> 0, tai nubrėžtame spindulyje atidedame atkarpą OM, kurios …
Excerpt
2. Tarkime, kad apskritimo centras C(a, «) nesutampa su poliumi (a > 0), o jo spindulys lygus r (66 brėž.). Pasirinkę bet kurį apskritimo tašką M(,9), iš trikampio OCM pagal kosinusų teoremą turi- me lygybę ĮCM|*=|O0C|*+ |OM|?-2 - |OC|- PN ĮOM|-cosCOM ps …
Excerpt
2. Hiperbolinė spiralė yra kreivė, kuri polinėje koordinačių sistemoje apibrėžiama lygtimi a t (a — teigiamas skaičius). Ir šiuo atveju poliniam kampui o teiksime tik tei- giamas reikšmes. | 3 5 T T T 7 e | S k 2 AS | ę "sa | 2 | z | 2 | | — 2 ra 1 IdR 22 …
Excerpt
3. Lygtimi > =a?, kurioje a — teigiamas ir nelygus vienetui skaičius, apibrėžiama Jogaritminė spiralė. Kai a> 1, didėjant poliniam kampui o, didė- ja ir polinis spindulys p. Tokia spiralė pavaizduota 69 brėžinyje. 69 brėž. 4 70 brėž. 5 56. Parametrinės …
Excerpt
Tačiau norint nubrėžti kreivę, duotą parametrinėmis lygtimis, eliminuo- ti parametrą nebūtina. Paprastai tokiu atveju, suteikę parametrui ; kurią nors reikšmę /,, randame atitinkamas x ir y reikšmes x, ir y. Taškas (x;, J;) ir yra vienas iš kreivės taškų. …
Excerpt
(S 25). Parašytosios proporcijos vieną ir kitą santykį pažymėję raide 7, turime pa 155 IVO ži Da = Iš čia gauname nubrėžtosios tiesės parametrines lygtis: X=X;-(X2—x)) I, | Y=H1+(Y2—7) I. Kai /=0, gauname taško A koordinates x=x;, x=y;, o kai :=1, — taško …
Excerpt
statmeniu CO, nuleistu į x ašį. Šį kampą OCM =t laikysime teigiamu, kai jis atskaitomas pagal laikrodžio rodyklę. Tarkime, kad taško M koordinatės yra x ir y. Nuleidę statmenį MP į x ašį ir statmenį MN į CO, gauname x=|0P|=|00|-|PO|, y=|PM|=|O0C|-|NC|. …
Excerpt
2. Kokiu kampu reikia pasukti koordinačių sistemą, kad taško (2, 0) koordinatės naujos sistemos atžvilgiu būtų lygios viena kitai? 31 T Ats. 9 arba — E ' 3. Parašykite kreivės xy—2x—y;-1=0 lygtį sistemoje x'O'y“, kai jos pradžia O“ yra taškas (1, 2), o …
Excerpt
IX skyrius ANTROS EILĖS PAVIRŠIAI s 58. Sferos lygtis V skyriuje matėme, kad plokštuma visada išreiškiama pirmojo laipsnio lygtimi. Todėl plokštumą kartais vadiname pirmos eilės paviršiumi. Šiame skyriuje susipažinsime su kai kuriais antros eilės …