Excerpt
Iš čia randame nežinomą laisvąjį narį: c=7. Vadinasi, ieškomoji lygtis yra 2x—3y4+7=0. 5. Parašysime lygtį tiesės, einančios per tašką (— I, I) ir statmenos tiesei 3x—2y4+7=0. Remdamiesi 2 pastaba, rašome lygtį su nežinomu laisvuoju nariu c: 2x+3y+c=0. …
Excerpt
"į o iš duomenų matyti, kad ši projekcija lygi p. Todėl ——> OM np. —> 2 —> i Skaliarinę sandaugą OM - n" išreiškę vektorių OM =xi + yj ir n?=cosx > + +sinx - į projekcijomis koordinačių ašyse, gauname X COS4 +-y sinx =p, arba x Cosx--y „Sinx —p=0. (12) …
Excerpt
Pavyzdys. Tiesės lygtį 3x—4y+410=0 pakeisime jai ekvivalenčia normaline lygtimi. Duotosios lygties laisvasis narys yra teigiamas, todėl normuojantis daugiklis M turi būti neigiamas: 1 - 1 —V34(-3> KD Padauginę lygties 3x—4y410=0 narius iš normuojančio …
Excerpt
—> Iš trijų paskutinių lygybių išreiškiame skaliarinę sandaugą MM. n0; E MM, * Nn? =x,cosx +- yssina —p ir, gautąją išraišką parašę (13) lygybėje, gauname d= |xgc0sx + y,Sinx —p|. (14) Vadinasi, norint rasti taško atstumą nuo tiesės, reikia parašyti tos …
Excerpt
nelygus nuliui, (15) sistema turi vieną ir tik vieną sprendinį. Jį galima rasti pagal Kramerio formules 2-1 o m i. kuriose | e, bi Bi =c,b> —c,b = Cą b; | 1/2 2015 la 1| į =; C> — A5C4. y A cž | 1*2 211 Vadinasi, kai DŪ, tiesės /, ir r, turi vienintelį …
Excerpt
Pagaliau, kai visi trys determinantai D, D, ir D, lygūs nuliui, tiesės /; ir t, sutampa, nes Šiuo atveju Uždaviniai 1. Ar priklauso kreiveix?4-y?— 2x=0 šie taškai: a) (0,0); b) (3, 1);c)(1, — 1); d) (2,0); e) ELO 2)R Ats. a) taip; b) ne; c) taip; d) taip; …
Excerpt
1 „V 14. Raskite taško (— 1, 2) projekciją tiesėje 3x—5y—21=0. Ais. (2, —3). , + -15. Raskite lygtis tiesių, nubrėžtų per tašką (2, —!) ir sudarančių kampą Z su tie- se 3x+4y—5=0. Ats. x—Ty-9=0 ir Tx+y-13=0. 16. Per taškus (1, 4) ir (3, 1) nubrėžta tiesė. …
Excerpt
Atstumus |4M|1r |BM| išreiškiame taškų A (3, 1, 2), B(4, 2, — I) ir M (x, y, z) ko- ordinatėmis: |AM|=V 33 T6—I 173), IBM |= V —4+(y 234 (11). Šitas atstumų |4M| ir |BM| išraiškas parašome lygybėje |AM|= |BM| ir zauname duoto- sios plokštumos lygtį VEB …
Excerpt
Kadangi vektorius n statmenas plokštumai O, tai jis statmenas ir vekto- —> riui AM, esančiam toje plokštumoje. Todėl šių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui: t n- AM =0. (1) —> Įrodėme štai ką: jei taškas M yra plokštumoje O, tai n- AM =0. Lengva > …
Excerpt
Antrąją šių lygčių padauginę iš —2 ir sudėję su pirmąja, gauname —244+5=0, t. y. 6=2a. Po to į antrąją sistemos lygtį vietoj b įstatome 2a ir randame c= —4a. Dabar pra- džioje sudarytą plokštumos lygtį galime rašyti šitaip: a(x—1)+2a(y—1)—4a (z— 1)=0. …
Excerpt
4. Jei a=0 ir b=O (aišku, tada c+0), plokštuma turi būti lygiagreti iš karto x ir y ašims, t. y. lygiagreti xy plokštumai (36 brėž.). Todėl lygtis cz+d=0 išreiškia plokštumą, lygiagrečią xy7plokštumai (arba statmeną = ašiai). 5. Kai a=0, b=0 ir d=0 …
Excerpt
iii ki a la A a LE la 2 Jei plokštumos 0, ir. 0, statmenos viena kitai, tai vektoriai n; ir n; stat- meni vienas kitam, ir atvirkščiai. Vektoriai savo ruožtu sudaro statų kampą tada ir tik tada, kai jų skaliarinė sandauga lygi nuliui. Vadinasi, plokštumos …
Excerpt
Kadangi taškas (1, I, 1) yra šia lygtimi išreiškiamoje plokštumoje, tai jis tenkina parašytąją lygtį: 2-1—3-11+3-141+4=0. Iš tos lygybės randame 4= —2. Vadinasi, ieškomoji lygtis yra tokia: 2x—3y+3z7—2=0. 2. Per taškus (1, I, I)ir (1, 2, 3) išvesta …
Excerpt
Norėdami parašyti duotosios plokštumos lygtį, imkime joje bet kurį taš- ką M(x, y, z) ir jo spindulį-vektorių —= OM=xi+yj+zk. Iš brėžinio matyti, kad šio vektoriaus projekcija į vektorių n? lygi p. Iš kitos —. pusės, vektoriaus OM projekcija į vienetinį …
Excerpt
Kadangi cosžx +c0s*8 +cosžy=1, tai iš paskutinės lygybės galima rasti skaičių M: 1 "E VaiBza" (10) Norėdami nustatyti skaičiaus M ženklą, pastebėsime, kad sandauga Mad, lygi —p(p> 0), yra neigiama. Todėl daugiklio M ženklas turi būti prie- šingas (3) …
Excerpt
— — — Iš 39 brėžinio matyti, kad MM,=OM,— OM. Todėl —- —> — MM,-:n=O0M,-n0—OM -nU. EC - . 2 - Pirmąją sandaugą OM,- m? galima išreikšti vektorių OM,=xgi +y9i+24k ir n0=cosx > i4+-c058 - į+co0sy - k projek- cijomis: OM, "0 =x4C054 + ygCOSB + z4COSy. …
Excerpt
Uždaviniai 1. Duoti trys taškai: A(— 1. 6,3), B(3, —2, —9), C (2,7, 1). Kurie iš jų yra plokštu- moje Ax—-y+3z4+1=07 Ats. A ir B. 2. Raskite taškus, kuriuose plokštuma 2x—3y—z+12=0 kerta koordinačių ašis Ats. (—6, 0, 0), (0, 4, 0) ir (0, 0, 12). 3. …
Excerpt
i4 Raskite plokštumos 15x— 10y+-6z— 190=0 atstumą nuo koordinačių pradžios. Ats: 210: 15. Raskite vektoriaus, statmeno plokštumai 2x—y4+274+9=0, krypties kosinusus. 4 2 1 2 Ats. 537 Au 1 16. Raskite taško (2 0, — > ) atstumą nuo plokštumos 4x—4v+27—|/£ …
Excerpt
Iš minėtojo pluošto pasirinksime dvi plokštumas, statmenas koordina- čių plokštumoms, sakysime, xy ir xz plokštumoms. Tuo tikslu imkime lygtį axX+by+cCz+d,+ Max +bsy+c57+d,)=0, (2) kurioje x — bet kuris skaičius. Tai, be abejo, plokštumos lygtis. Tiesės + …
Excerpt
Jau įsitikinome, kad (4) ir (5) lygtimis išreikštų plokštumų susikirtimo tiesė yra 7. Vadinasi, tiesė ; gali būti apibrėžiama lygčių sistema Y=M XT, | Zz=MiX+ ha, 6 ekvivalenčia (1) sistemai. Plokštuma (/, einanti per tiesę : ir statmena xy plokštumai, …
Excerpt
Remiantis (12) formulėmis iš $ 18, galima apskaičiuoti vektoriaus s kryp- ties kosinusus: 1 m n cos4=-—, cos B=, CO = (= V RYmžįno). (7) Skaičiai cosa, cosB ir cosy vadinami tiesės krypties kosinusais. Norint iš minėtųjų duomenų sudaryti tiesės lygtį, …
Excerpt
ir, imdami gautųjų santykių lygybę, gauname tiesės kanonines lygtis diržo L EM Balis (11) i m n Šią dvigubą lygybę reikia laikyti dviejų lygčių sistema. Kiekviena iš tų lygčių gaunama, sulyginus du (11) proporcijos narius. Tiesės lygtis rašysime (11) …
Excerpt
2. Parašysime lygtis tiesės, einančios per tašką (1, —2, 3) ir lygiagrečios = ašiai. Dabar T x COS 4 =c055-=0, cos B=c0s5 =0, cosy=cos0= I. Vadinasi, turime šitokias duotosios tiesės lygtis: AST ZA Hai as! Šitokią dvigubą lygybę, kaip sakėme, reikia …
Excerpt
turime duotosios tiesės kanonines lygtis. Jas dar galima įvairiai perdirbinėti ir prastinti. Pavyzdžiui, prie kiekvieno turimo santykio pridėję po 1, gauname x+1 y-6 z-6 l -l = 2 Visų trupmenų vardiklius padauginę iš —2, turime x+1 y-6 z-6 —2 2 3 Visos …
Excerpt
Remdamiesi (12) lygybėmis, rašome duotosios tiesės kanonines lygtis: x-| y-l z-0 SRT = arba x-| y-l Z LŽI 7EL s 40. Kampas tarp tiesių. Statmenumas ir lygiagretumas Apskaičiuosime kampą, kurį sudaro tiesės /, ir 1,, išreikštos kanoninėmis lygtimis X- A = …
Excerpt
Tokiu atveju ieškomosios tiesės krypties koeficientais laikome skaičius /, 21 ir m, esančius duotose lygtyse. Teškomosios lygtys bus ar dar VE MEGA Į m n (15) lygiagretumo sąlyga, be abejo, išpildyta: visi santykiai lygūs vienetui. Pavyzdžiai. 1. …
Excerpt
LTU S 41. Kampas tarp tiesės ir plokštumos . Duota plokštumos 0 lygtis ax4+by+cz+d=O ir tiesės : lygtys žo DM LZ 1 m n Rasime kampą tarp tiesės / ir plokštumos O, t. y. smailų kampą ę, kurį sudaro tiesė f su savo projekcija plokštumoje O (42 brėž.). …
Excerpt
Iš čia gauname dvi lygtis; x-l y-2 „ x-l z-3 8 E MS arba W— Žiu a Išsprendę lygčių sistemą 5 D x+2y+37—28-0, 4117 7 222 | 231. randame ieškomąjį tašką (2, 4, 6). Uždaviniai 1. Duota tiesė x-2y+3z—1=0, 2x+y-z+2=0. Raskite lygtis plokštumų, projektuojančių …
Excerpt
6. Raskite lygtį tiesės, einančios per taškus (3, —2, — I) ir (5, 2, 5). g x-3 v+2 z+1 1-5 3 7. Raskite tiesės x+t2“ VŽ z+1 3 "=E 2 - ir plokštumos 2x43y4+37—8=0 susikirtirio tašką. ————"" e * 1 Ats: +6ls 1561): 8. Raskite lygtį statmens, nuleisto iš …
Excerpt
VII skyrius ANTROS EILĖS KREIVĖS Ss 42. Apskritimas IV skyriuje ($ 22) įsitikinome, kad lygtis tiesės, priklausančios xy plokštumai, visada yra pirmojo laipsnio lygtis. Be to, matėme, kad kiekvie- na pirmojo laipsnio lygtis reiškia kurią nors xy …