Excerpt
PA Kadangi lygčių skaičius r, kaip nurodyta lemos sąlygoje, yra mažesnis už kintamųjų skaičių k, tai sudarytoji lygčių sistema turi nenulinių sprendinių (š 70, 3 išvada). Pasirinkę bet kurį nenulinį tos sistemos sprendinį (24, r“ Aa. IS (2) lygybės …
Excerpt
Kadangi tiesinis darinys 246, +2563+...+2,6,= [245 Ja, linis vektorius tik tada, kai 2, =A5=... =2, = 0, tai sistemą e,, e;, A) yra nu- +, 6, suda- ro tiesiškai nepriklausomi vektoriai. Be to, imdami bet kurį n-matį vek- torių a Zi la die, -G565E 20,6 — …
Excerpt
Sudarytasis tiesinis darinys yra lygus vektoriui e= fc, C> , ..., „|, kai An M+ M2+-.. TA M = Oz 21 +05525+ + as kų — Ca, a mija a Ta. sia a a a ljaja male js aka e a Va G?) 10,25 *-- ERA A — 5 (14) Kadangi šios lygčių sistemos determinantas det A nelygus …
Excerpt
I 2 10 S 141841 | | 1 3 0) a) 1 i gili B) || --24 25 1222 — jag E) | 1 1614 M8 (251 || 2. Gauso metodu sudarykite matricas, atvirkštinės šioms ketvirtos eilės kvadratinėms matricoms: as gi || 1 2 Al 3 PaBiBP1i 9 „S "I aiao i 3 3 0)! | || ip | T 565 Ats. …
Excerpt
XII . skyrius ISKILIEJI BRIAUNAINIAI 5795 Pusplokštumė Nagrinėsime tiesinę nelygybę ax4+by+c> 0 su dviem kinta- maisiais x ir y, kai bent vienas iš skaičių a ir b nėra lygus nuliui. Jeigu ax4+by,+c yra teigiamas skaičius (ax4+by;+c> 0), tai sakome, kad …
Excerpt
a> 0) nelygybę ax4+by+c> 0 tenkina visi taškai, kurių abscisės x yra dides- . “ c . v . . < LN ao . nės UŽ— Z. Tie taškai sudaro atvirą pusplokštumę esančią iš dešinės nuo tie- sės X= — 0 yra ekvivalenti nelygybei x < Žž „ Šiuo atveju (b=0, a 0 …
Excerpt
taškas priklauso pusplokštumėms P,, P;, ..., P„„ Tokia figūra vadinama pus- plokštumių P,, P,, ..., P, sankirta (piūviu). Apskritai figūrų F, ir F, sankirta vadiname figūrą F, sudarytą iš visų taš- kų, priklausančių ir figūrai F,, ir figūrai F, „. …
Excerpt
sprendinių daugiakampį. Tuo tikslu duotąją sistemą perdirbame į jai ekvivalenčią sistemą yz-x44, Pt 1, yzx-2, Pirmosios nelygybės sprendiniai sudaro pusplokštumę, esančią virš tiesės 7, (95 brėž.), antrosios — po tiese 74, trečiosios — virš tiesės /4. …
Excerpt
Kiekvieną aptariamosios nelygybės sprendinį (x, y, z) galima laikyti trimatės erdvės tašku. Visi tie taškai, kaip įsitikinsime, sudaro atvirą puserd- vę — erdvės dalį, esančią vienoje pusėje nuo atitinkamos plokštumos. Kai c> 0, nelygybė ax4+by+cz+d> 0 …
Excerpt
Jeigu trimatės erdvės taškų koordinates žymėsime ne x, y ir z, bet A, X> Ir x3, tai galėsime sakyti, kad nelygybių sistemos An X AA XM 05 X 0, 20, As X. + 055 Xa + 055 Xx3+C,2 > 0, (2a) Am Xi + An: X + Ans Xs + 0, 2 0 sprendiniai (x;, X5, x5) sudaro …
Excerpt
Parametrui t teikdami realias reikšmes, gauname tiesės taškus X(A;, X> , ..., X,). Kai :=0 ir £=1, iš (4) lygčių atitinkamai gauname X=XA,, X, =Xį, Xs=A5 Hi 55 — 0 27 ir 2 t. 2 Vadinasi, parametro : reikšmes O ir 1 atitinka taškai X, ir X,. Todėl atkarpos …
Excerpt
Tiesė a; X) +45X54+-c=0, kaip matėme $ 79, dvimatę erdvę dalija į dvi puserdves (pusplokštumes), apibūdinamas nelygybėmis a, x; +a5 x> +c> 0 ir M +0 X +c 0ir a, x, +a, x,+ a; X;+ …
Excerpt
apibrėžia figūrą F, sudarytą iš m puserdvių bendrųjų taškų. Figūra F — iš- kilųjų 7-mačių puserdvių sankirta — yra iškila figūra, vadinama iškiluoju n-mačiu briaunainiu. s 84. Iškilojo briaunainio viršūnės Iškilojo trimačio briaunainio viršūnę galima …
Excerpt
Jei kiekvieną (5) sistemos lygtį pakeisime dviem nelygybėmis, tai gausime sistemą, sudarytą iš 2m nelygybių ir ekvivalenčią (5) lygčių sistemai. Prie tų nelygybių prijungę (6) nelygybes, gausime nelygybių sistemą, apibrėžiančią figūrą F. Todėl F yra …
Excerpt
(8) lygybę dauginame iš skaičiaus 7 ir gautąją lygybę panariui sudedame su (9) lygybe: (X. +-tc;)a, +(X> -1-1c5) 2; 4) + (5, -to;)a;=b. (10) Kadangi skaičiai X;, X> , --., X, yra teigiami, tai skaičiai X,+1C, X; LC3, 3 Xr+10, kai |/| pakankamai mažas, …
Excerpt
Iš pirmosios lygybės panariui atėmę antrąją lygybę, gauname šitokią lygybę: (x —AX1)a, + (X1—x3)a5+-...+-(x7— 14) a, =0. Kadangi taškai X, ir X, yra skirtingi, tai bent vienas iš skliaustuose parašytų skirtumų nėra lygus nuliui. Todėl vektoriai a,, a,, …
Excerpt
Imdami po du matricos A stulpelius, gauname šešias lygčių sistemas: x: +-x1=6, | x,+2x3=6, | Ža x:1+2x;=6; x,4+2x;=6; x, 1x,=6; *112x,=6, x1+2x,=6, 2x,+2x,=6, 2x1+2x;=6; 2x1+x,=6; 2x,+x,=0. Į antrąją sistema nekreipiame dėmesio: ji turi be galo daug …
Excerpt
ANTAOJI D2ZLIKS MATEMATINĖS ANALIZĖS PRADMENYS XIII skyrius ! FUNKCIJA S 85. "Aibė ir jos elementai Kasdieniniame gyvenime iš atskirų objektų (knygų, studentų, mokinių, raidžių) sudarinėjame rinkinius, kuriuos vadiname įvairiais vardais — grupėmis, …
Excerpt
s 86. Skaičių aibės. Intervalai Mums dažniausiai teks kalbėti apie aibes, kurių elementai yra skaičiai. Kai kurios skaičių aibės žymimos specialiomis raidėmis: N — visų natūrinių skaičių aibė, Z — visų sveikųjų skaičių aibė, O —visų raciona- liųjų skaičių …
Excerpt
13. Raskite tašką, vienodai nutolusį nuo trijų taškų: (0, 0), (2, 0) ir (0, 4). Žiis 10, 2)5 £ 14. Per taškus (0, 0), (4, 2) ir (6, 4) nubrėžtas apskritimas. Raskite to apskritimo centrą. Ats. (-3, 11). k 15. Raskite abscisių ašies tašką, kuris yra …
Excerpt
£ taške C irspinduliu r yra plokščia uždara kreivė, kurios visų taškų atstu- mas nuo C lygus r. Vadinasi, bet kuris to apskritimo taškas M tenkina sąlygą |MC|=r, o jei M nėra apskritime, tai |MC| r. Tarkime, kad plokštumoje nubrėžta kuri nors kreivė /. …
Excerpt
Jeigu M (x, ») — bet kuris apskritimo taškas, tai |OM|=r, o jei M nepriklauso apskritimui, tai |OM|r. Norint parašyti to apskritimo lygtį, reikia atstumą |OM| išreikšti taškų O ir M koordinatėmis: |OM|= V K Z0+6703= V B2y5 ir gautąją išraišką parašyti …
Excerpt
Lygties su dviem kintamaisiais x ir y sprendinius praktiškai randame ši- taip: imame keletą x reikšmių x;, x;, ..., X, jas paeiliui įstatome į duotąją lygtį ir randame atitinkamas y reikšmes: y,, y;, ..., J, Tokiu būdu gauname sprendinius (x1, Y1), (Xs, …
Excerpt
$ 22. Bendroji tiesės lygtis Paprasčiausia linija, be abejo, yra tiesė, todėl pirmiausia ir kalbėsime apie tiesės lygtį. Tiesės padėtį plokštumos koordinačių sistemoje galima nurodyti įvairiais būdais. Vienas būdas yra toks: nurodomas taškas A(x4, y4), …
Excerpt
Iš antrosios ir trečiosios lygybių panariui atėmę pirmąją, gauname a(x+—x)+b(1—71)=0, a(xs—x1)+- 664 —54)=0. —> — Iš pastarųjų lygybių matyti, kad vektoriai M,M;=(x;—-x,)i+ (Gs-yYJi ir —> M,Ms=(x3—x1)i +(75—7;)į yra statmeni vektoriui n=ai +bį …
Excerpt
imti a= —sinę, b=cosp, x;=0, y,=n. Todėl ieškomoji lygtis bus tokia: —sino * (x —0) +c0sę * (y—n) =0. Iš parašytosios lygties elementariais veiksmais gauname jai ekvivalenčią lygtį y=tgp -X+. Skaičių tgo vadinsime tiesės t krypties koeficientu ir žymėsime …
Excerpt
B 25 Lygtis tiesės, einančios per du duotuosius taškus Tiesės / padėtį ainas galima nusakyti, nurodžius du skirtingus jos taškus A(x;, y,) ir B(x;, y> ). Iš tų duomenų sudarysime tiesės t lygtį. Iš pradžių tarsime, kad duotoji tiesė nėra lygiagreti y …
Excerpt
dytas sukimas vyksta prieš laikrodžio rodyklę; priešingu atveju kampas y laikomas neigiamu. Tarkime, kad tiesės Ą, ir f; duotos lygtimis y=mx-+n; IT y=mMyX+h3, ir raskime kampą y. = Brėžinyje nurodytu atveju kampas +; yra trikampio ABC priekampis, todėl …
Excerpt
Jei tiesės t, ir t4 yra lygiagrečios, tai 9, =2> . Vadinasi, šiuo atveju tgo; =LE92> arba * m, = M;. (7) Atvirkščiai, jei 71, =m;, arba tg9; —IE92> tai, turėdami galvoje, kad 9; ir 5 yra tarp O ir 7, gauname 9; =92- Vadinasi, tiesės t, ir /4 yra …
Excerpt
Šias m, ir m, išraiškas įstatę į (6) formulę, gauname Vai tg X o E BC s E Sr 2 1 b. bp arba sės a,b, — a,b; = a,;+-b,b; ž (9) Duotos tiesės bus lygiagrečios, kai m, =mp, t. y. t GB Lai: arba di b. r (10) Vadinasi, tiesės, duotos bendrosiomis lygtimis, bus …