Excerpt
PRIE LTMA STM. SU T > Kadangi r > Tą) bus (10) sistemos sprendinys. Iš to aišku, kad (10) sistema ir jai ekvivalenti (5) sistema, kai …
Excerpt
pusėje parašytus reiškinius laikome lygčių laisvaisiais nariais. Tada pagal Kramerio formules gauname Wi (= 2 ri arba (i) Kūnas (Bi aid la) | = 1 lago a i A) as | 4. „Maliedkis i | A. Ah 27 an )e „App | Determinantą M; galima išreikšti suma, kurios …
Excerpt
Antroji matrica yra gauta iš pirmosios, prie trečios eilutės pridėjus pirmąją, padaugintą iš 1. ir antrąją, padaugintą iš —1. Trečioji matrica sudaryta iš antrosios, prie antros eilutės pri- dėjus pirmąją, padaugintą iš — 2. |! | ! 2 i ||. | | | Paskutinė …
Excerpt
3. Išspręsime keturių tiesinių lygčių su keturiais kintamaisiais sistemą X.+a,LAX531 x,=3, 3x; —x;,:-4x,=6, 2x,+x1—x51 4x,=5, 2x2+-X311+ x,=2. Sudarome duotosios sistemos matricą A ir išplėstąja matricą A: E 2 L a) L 44 A Nu E La 4 a ke A jo 2 "1 oo 0 0 …
Excerpt
(prie trečios determinanto eilutės pridėjome pirmają, padaugintą iš — I). Paskutinį determi- nantą išreiškiame suma, kurios dėmenys yra antrojo stulpelio elementai, padauginti iš savo adjunktų: I6—-4x, —! | 4 E M,=-! =10— OXį- e a 2 i M, aa z os : = …
Excerpt
Tuo tikslu tiesiog pastebėsime, kad matricos A trečios eilės minoras 1 —-! lų M=| | 2 —1 i 1 ps nelygus nuliui (M=4). Vadinasi, kintamąjį x, galima laikyti laisvu ir sistema rašyti taip: X,—X1+A3=3x,, X1+2x— X = XI, X,+X1+X31= — As. Norint rasti bendrąjį …
Excerpt
Pirmiausia atkreipsime dėmesį, kad lygtis 0-x;+0 -x5+-..+0x,= =b, kai b*0, neturi sprendinių, nes, kintamiesiems x,, X5, ..., x, teikdami bet kurias reikšmes, kairėje lygybės pusėje gauname nulį, o dešinėje — nelygų nuliui skaičių b. Jei (5) sistemoje yra …
Excerpt
yra ekvivalenti (5) sistemai. Jei bent viena iš gautųjų lygčių yra 0 - x,+0 -x;+ +...+0-x,=b (60), tai (14) sistema ir jai ekvivalenti (5) sistema neturi sprendinių. Kai (14) sistemoje nėra lygties 0-x,+0 -x,+-..+0 -x,=b (60). iš jos išbraukiame visas …
Excerpt
Kai r=n, (16) sistema yra šitokia: Xh C5X + C15X5 + see cie a Sa Gale Goa as Xn—1 T Chi, n Xi =d,-ą, X, =d, Iš jos paeiliui randame kintamųjų x, Xp15 +, Xa, X, teikšmes: x,=d,, X, „= =d.-1—C5-154, ir t. t. Vadinasi, šiuo atveju (5) lygčių sistema turi tik …
Excerpt
Iš (5) lygčių sistemos sudarinėjant jai ekvivalenčias sistemas, pakanka kaityti matricą | Hua“ Oą ooo M TM | | An Apo... Op Dp | || Ža k p sa as š IL asų 431 D | sudarytą iš duotosios lygčių sistemos koeficientų ir laisvųjų narių. Kaitant šią matricą, …
Excerpt
Dabar galima pirmos ir antros eilutės nebekeisti, o prie trečios pridėti antrąją, padaugintą iš —1: 3 1 —I1 2 311 | I — T ALOBIEOaĖ d: 10.10 6La S Iš gautosios matricos matyti, kad duotoji lygčių sistema neturi sprendinių, nes pasku- tinė eilutė atitinka …
Excerpt
Pereidami prie paskutinės matricos, išbraukėme ketvirtąją eilutę, sudarytą iš nulių, o trečio- sios eilutės elementus padauginome iš — I. Iš tos matricos sudarome lygčių sistemą X1—xX;+2x;=1, —3x;=0, E 1 S ekvivalenčią duotajai sistemai. Iš jos paeiliui …
Excerpt
Kintamajam x, teikdami reikšmę 0, gauname bazinį sprendinį (1, 0, 1, 0). Keisdami x, reikšmes, randame kitus sprendinius. Pavyzdžiui, x,= 1 atitinka sprendinys (2, I, 0, 1), o x,=2 — sprendinys (3, 2, — 1, 2). Uždaviniai | 1. Suprastinkite ir …
Excerpt
6. Apskaičiuokite matricų A ir B sandaugas A -Bir B-A, kai “ i xa A go Ie B14-| 03 Ol. B> ||2 3 PB -1 0 -2 L0--—11 0 Las L) p= 1 | al 1 0| 4 Ats. Naama) 4 lo 1 0|| 1“ Apskaičiavę visų matricos elementų adjunktus, parašykite matricas, atvirkštinės …
Excerpt
11. Naudodamiesi Kramerio formulėmis, išspręskite tokią šiesiki lygčių sistemą: 3x,+2x1+ Xp S | 2x,+214 +x,—- 2x;=3. 3 2x.+3x5+ Xx, — 91,24, Aa + 2A + X;=0, 2x; —2x,+x,—-3x,=4. Ats. (ip IE I ie 12. Nustatykite matricų A ir B rangus: = | 275213 5-2 0 | | 2 …
Excerpt
JT. Gauso metodu išspreskite šitokias tiesinių lygčių sistemas: 3x,-2x;1—x;=4, "8 — Xr+x,12x,—-2xp= 1, a) x1tA2+3x3=3, b) 241 xX2—x513x,12x;=14, M—-M—AX=l; X1+411X5 + x;=0. Ats. a) (2—x4, 1—2x5, x3); b) (1—x4, 22xs, Xa+-X5, Xas X5). XI skyrius TIESINĖS …
Excerpt
mųjų Yas Ya, ---, V „Teikšmę ji, Ya, --., 7 „„ Gautasis m-matės erdvės taškas (Vas Yas «> Y „) Vadinamas taško (X;, X> , ..., X,) vaizdu. Vadinasi, (1) tiesine transformacija kiekvienam n-matės erdvės taškui priskiriame po vieną m-matės erdvės tašką. …
Excerpt
jamas nė vienas n-matės erdvės taškas. Kitaip sakant, 7-matės erdvės taškų (X1s Xos + X,) Vaizdai (y;, Yo, ---, VY „) ne visada užpildo m1-matę erdvę. Iš (1) tiesinės transformacijos koeficientų a;; sudaryta matrica || ! | Uri, Ep Uin | ! || a. a as, | AI …
Excerpt
2. Imkime dar vieną tiesinę 1-matės erdvės transformaciją Zį S On X. + bio X;+ |. bi Xn» Za =bn Mt bap Aa. Dan Nas (3) Zm= Dm X. + bm X: + | E bms i kurios matrica yra B bi B) Ika“ AO bri bmz es I | (1) ir (3) tiesinių transformacijų suma vadiname tokią …
Excerpt
Savo ruožtu n-matės erdvės taškai (z,, z5, ..., z,) atvaizduojami į m-ma- tės erdvės taškus (y;1, Y5, .-., V „) tiesine transformacija Y= A - Z: Ji =01 ZL +02 2214 nn Zps Vi =4n TA Za... 4 Ain Zn (5) Nm — ZaiiZi 15 Ana Za 2 an Za Šitos tiesinės …
Excerpt
Iš (6) lygybės matyti, kad tos tiesinės transformacijos matrica | Cu Ca o. Cik | Ca Cia so Cox L AC DA LS yra matricų Air Bsandauga: C=A - B. Todėl tiesinių transformacijų Z=B- X ir Y=4 - Z sandauga yra tiesinė transformacija Y=(A - B) - X. S 74. …
Excerpt
Tuo tikslu sudarome duotųjų tiesinių transformacijų sandaugą: (8) lygybėse kintamuosius y;, Y5, ---, y, pakeičiame jų išraiškomis iš (7) lygybių. Gautoji tiesinė transformacija M=1MTC2X21 Cn Xn, Xs= CX, + CX: +. + Con Xn (9) Xn = m XM + Cna X2 T £- + Cn …
Excerpt
Prie antros eilutės pridėkime pirmąją, padaugintą iš —a,3, prie trečios — pirmąją, padaugintą iš —a3, ..., prie n-0s — pirmąją, padaugintą iš —a,4: , , , |! als Ūla 1 Ūka Ožais a. a' 22 233 2n a A=|| App A33 --. Ap || ALT Kė 0 S || , 7 , [KO ap aiš biša …
Excerpt
Iš šitos lygčių sistemos su kintamaisiais X4, Xa, ---, Xr> Yas Va, ---, V, galima su- daryti jai ekvivalenčią sistemą: a) dauginant (dalijant) panariui bet kurią lygtį iš nelygaus nuliui skai- čiaus a; b) pakeičiant bet kurią t prie jos panariui pridėjus …
Excerpt
Sukeitę pirmą ir antrą eilutes vietomis, prie trečios eilutės pridedame pirmąja, padau- gintą iš —1: 15 ba —2 LO Iš kas) 0 0 Isūksūas Šis 1 a Prie pirmos eilutės pridedame trečiąją, padaugintą iš —6, o prie antros — trečiąją, padaugintą iš 1: |] 00) 4 B | …
Excerpt
* Apibendrindami tuos rezultatus, apibrėšime n-matės erdvės vekto- riaus sąvoką, dviejų tokių vektorių lygybę bei sudėtį ir vektoriaus daugybą iš skaičiaus. Bet kuri realių skaičių a;, > , ..., a, sistema a= (a,, a;, ..., a„) vadinama n-matės erdvės …
Excerpt
s 76. Tiesiškas vektorių priklausomumas Pasirinkime keletą 7-matės erdvės vektorių a;, a;, ..., a, ir tiek pat realiųjų skaičių A4, 2, -.., A, Sumą 2,2, +25a;+...+1,„2,„ vadiname vektorių a;, a5, ..., a,„ tiesiniu dariniu (tiesinė kombinacija), o skaičius …
Excerpt
Įrodymas. 1. Tarkime, kad duotieji vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Tada, kaip nurodyta apibrėžime, yra teisinga lygybė 2414,+2;35+...1+2,2„=0, kurioje bent vienas koeficientas, sakykime, 2,, nelygus nuliui. Iš tos lygybės, turėdami mintyje, kad 2,0, …
Excerpt
Pavyzdys. Ištirkime trijų dvimačių vektorių sistemą: a,= (1, 0), a> — (01 Ta S S lė o Vektoriai a, ir a, yra tiesiškai nepriklausomi, nes 2,a,4+25a5= (24, 24! ir todėl lygybė 212, +23;a,=0 galima tik tada, kai 3,=2,=0. Pastebėsime, kad visi trys duotosios …