Excerpt
Panašiai vektorius j' su x ašimi sudaro kampą « + = o su y ašimi — kampą x. Todėl j =icos (++ 3 )+ic0s «= —isina+jcos x. Gautąsias vienetinių vektorių i“ ir j' išraiškas parašome (3) lygybėje: —— OM =x'(icosx+jsinx)-+-y'(—isin x +jcos 3). —> Kadangi OM …
Excerpt
Dabar atliekame nurodytuosius veiksmus, lygybę panariui padalijame iš 2 ir gauname x" +14y"=4, arba 6 Virks 10 Matome. kad duotoji kreivė yra elipsė. Naujojoje koordinačių sistemoje nesunku tą elipsę nubraižyti (56 brėž.). SSE Kvadratinio trinario …
Excerpt
Vadinasi, y=ax*;4+-bx +-c iš tikrųjų yra lygtis parabolės, kurios viršūnė yra taškas 4 Da? 1) 3 o simetrijos ašis (y“ ašis) lygiagreti y ašiai (57 brėž.). 5 52. Lygiaašės hiperbolės asimptotinė lygtis Kai koordinačių ašys sutampa su lygiaašės hiperbolės …
Excerpt
Dabar nurodysime kitą būdą taško vietai plokštumoje nusakyti. Tuo tiks- lu pasirinksime kurį nors plokštumos tašką O ir iš jo išvesime spindulį OP (59 brėž.). Tašką O vadinsime poliumi, o spindulį OP — poline ašimi. Imkime bet kurį plokštumos tašką M ir …
Excerpt
— mąja abscisių ašimi (61 brėž.). Taško M koordinatės ortogonaliosios sis- temos atžvilgiu tebūnie x ir y, o polinės sistemos atžvilgiu — p ir 6. Tada pagal kosinuso ir sinuso apibrėžimus * =cos * =sin 2 Bei B: Iš čia x ir y išreiškiame poliniu spinduliu …
Excerpt
Iš poliaus O nubrėžiame spindulį, sudarantį kampą ę su poline ašimi, t. y. polinę ašį pasukame apie polių teigiamu ar neigiamu kampu y, padaryda- mi, esant reikalui, keletą pilnų apsisukimų. Jei „> 0, tai nubrėžtame spindulyje atidedame atkarpą OM, kurios …
Excerpt
2. Tarkime, kad apskritimo centras C(a, «) nesutampa su poliumi (a > 0), o jo spindulys lygus r (66 brėž.). Pasirinkę bet kurį apskritimo tašką M(,9), iš trikampio OCM pagal kosinusų teoremą turi- me lygybę ĮCM|*=|O0C|*+ |OM|?-2 - |OC|- PN ĮOM|-cosCOM ps …
Excerpt
2. Hiperbolinė spiralė yra kreivė, kuri polinėje koordinačių sistemoje apibrėžiama lygtimi a t (a — teigiamas skaičius). Ir šiuo atveju poliniam kampui o teiksime tik tei- giamas reikšmes. | 3 5 T T T 7 e | S k 2 AS | ę "sa | 2 | z | 2 | | — 2 ra 1 IdR 22 …
Excerpt
3. Lygtimi > =a?, kurioje a — teigiamas ir nelygus vienetui skaičius, apibrėžiama Jogaritminė spiralė. Kai a> 1, didėjant poliniam kampui o, didė- ja ir polinis spindulys p. Tokia spiralė pavaizduota 69 brėžinyje. 69 brėž. 4 70 brėž. 5 56. Parametrinės …
Excerpt
Tačiau norint nubrėžti kreivę, duotą parametrinėmis lygtimis, eliminuo- ti parametrą nebūtina. Paprastai tokiu atveju, suteikę parametrui ; kurią nors reikšmę /,, randame atitinkamas x ir y reikšmes x, ir y. Taškas (x;, J;) ir yra vienas iš kreivės taškų. …
Excerpt
(S 25). Parašytosios proporcijos vieną ir kitą santykį pažymėję raide 7, turime pa 155 IVO ži Da = Iš čia gauname nubrėžtosios tiesės parametrines lygtis: X=X;-(X2—x)) I, | Y=H1+(Y2—7) I. Kai /=0, gauname taško A koordinates x=x;, x=y;, o kai :=1, — taško …
Excerpt
statmeniu CO, nuleistu į x ašį. Šį kampą OCM =t laikysime teigiamu, kai jis atskaitomas pagal laikrodžio rodyklę. Tarkime, kad taško M koordinatės yra x ir y. Nuleidę statmenį MP į x ašį ir statmenį MN į CO, gauname x=|0P|=|00|-|PO|, y=|PM|=|O0C|-|NC|. …
Excerpt
2. Kokiu kampu reikia pasukti koordinačių sistemą, kad taško (2, 0) koordinatės naujos sistemos atžvilgiu būtų lygios viena kitai? 31 T Ats. 9 arba — E ' 3. Parašykite kreivės xy—2x—y;-1=0 lygtį sistemoje x'O'y“, kai jos pradžia O“ yra taškas (1, 2), o …
Excerpt
IX skyrius ANTROS EILĖS PAVIRŠIAI s 58. Sferos lygtis V skyriuje matėme, kad plokštuma visada išreiškiama pirmojo laipsnio lygtimi. Todėl plokštumą kartais vadiname pirmos eilės paviršiumi. Šiame skyriuje susipažinsime su kai kuriais antros eilės …
Excerpt
Pastebėsime, kad plokštumos ir sferos lygtis kartu gali tenkinti tik tų pa- viršių susikirtimo linijos taškai. Kadangi jų susikirtimo linija yra apskritimas, tai apskritimas erdvėje apibrėžiamas lygčių sistema ax+by+cz+d=0, = +0— 7) +(E-2)=r. s 59. …
Excerpt
kinti, kad lygtis, kurioje nėra kintamojo x (arba 7), nustato cilindrinį paviršių su sudaromosiomis, lygiagrečiomis x ašiai (arba y ašiai). 2 2 Pavyzdžiai. 1, Lygtis 3 +! apibrėžia cilindrinį paviršių, kurio vedamoji yra xy plokštumoje nubrėžta elipsė, o …
Excerpt
Gautąsias X ir Z išraiškas įstatome į lygtį F(X, Z) =0 ir gauname F(V *+y, 2-0. (3) Kadangi šią lygtį tenkina kiekvienas sukimosi paviršiaus taškas M (x, y, z), tai ji ir yra minėto sukimosi paviršiaus lygtis. 79 brėž. 60 brėž. Apžvelgsime antros eilės …
Excerpt
3. Imkime hiperbolę Žž X* Za kurios realioji ašis yra z ašis. Sukdami šią hiperbolę apie realiąją ašį, gauname dvišakį sukimosi hiperboloidą 2 x? -- y. ja Gas B ž ZĄ | LH S ša y 61 brėž. 62 brėž. (83 brėž.). Tai paviršius, visiškai skirtingas nuo …
Excerpt
Pastaba. Čia parabolė buvo sukama apie simetrijos ašį, 0 gautas paviršius, kaip matome, yra antros eilės paviršius. Jei parabolė Z*=2pX būtų sukama apie = ašį, t.y. apie liestinę, nubrėžtą per parabolės viršūnę, tai gaunamas paviršius z?= = 2pV x21y* būtų …
Excerpt
Jeigu į pirmąją lygtį įstatysime z=h, tai gausime sistemą x?+y* hz | Lia ai 20: kurią galima rašyti šitaip: 2 x y) =až (1-5) 2 Zz HE Susikirtimo liniją (apskritimą) dabar galime laikyti sukimosi cilindro x? +y2 = - e 1- ) ir plokštumos z=/ susikirtimo …
Excerpt
Šia lygtimi išreiškiamas paviršius vadinamas friašiu elipsoidu, arba tiesiog elipsoidu (87 brėž.). Kirsdami elipsoidą plokštumomis, statmenomis koordinačių ašims, gau- name elipses. Pavyzdžiui, (5) elipsoido ir plokštumos z=/A …
Excerpt
kurios pusašės lygios a ir c. Pagaliau šio elipsoido ir yz plokštumos susikirti- mo linija yra elipsė y z2 I S 10b Iš to, kas pasakyta, galima spręsti apie triašio elipsoido formą. Tai pa- viršius, simetriškas koordinačių plokštumų atžvilgiu (87 brėž.). …
Excerpt
Kadangi kreivės / taškų koordinatės tenkina abi (6) sistemos lygtis, tai jos tu- ri tenkinti ir gautąją lygtį. Vadinasi, ja išreiškiamas paviršius eina per kreivę /. Todėl kreivei I išreikšti vietoj (6) sistemos galima imti arba sistemą xi y 2 B BOB p2 …
Excerpt
x2 yž z2 T T p ET Ka *Eap573 Lai LB 20 Tokiu būdu, radome dvi plokštumas, kurių susikirtimo su elipsoidu linijos yra apskritimai. Tai du triašio elipsoido apskritieji piūviai (88 brėž.). Galima įrodyti, kad elipsoido piūvis irgi bus apskritimas, jeigu jį …
Excerpt
X skyrius MATRICOS IR | JIŲ LYGČIŲ SISTEMOS $ 63. Matricos, jų lygy tis ir daugyba iš skai“ ans Tarkime, kad lentelėje, turinčioje m eilučių ir n stulpelių, su- rašyti skaičiai taip, kad kiekvienoje eilutėje yra 7 skaičių, o kiekviename stul- pelyje — m …
Excerpt
Dviejų vieno tipo matricų Air B suma A+ B vadinama matrica, sudaryta iš elementų a;;+-b;;: | An+bi Gabby +a;;, (aj; Lb); =; +-(P;; Cc), a; +-0=ajj. Skaičiaus k ir matricos A sandauga kA (arba A - k) vadinama matrica, sudaryta iš elementų ka;;: || kai. kūa …
Excerpt
Jeigu matricos A eilutes parašysime vietoj stulpelių (o stulpelius — vie- toj eilučių), tai gausime matricą AT, turinčią 7 eilučių ir 72 stulpelių: | Mi Gaie 27 p tr US Ma | T | ia B m? || 2 5 pP BaEIRIO Bs || | || || | Išžžia Nega aa A | Toks veiksmas …
Excerpt
Praleidę bendrąjį n-os eilės determinanto apibrėžimą, kurį galima rasti platesniuose vadovėliuose, čia nurodysime tik taisykles determinantui ap- skaičiuoti. Tuo tikslu apibrėšime minoro ir adjunkto sąvokas. Išbraukę determinanto D i-ąją eilutę ir j-ąjį …
Excerpt
NTT P "ESS PVP AAB Pavyzdys. Remdamiesi (1) formule, apskaičiuosime ketvirtos eilės determinantą 2 L54i =D | |* 0 OT i5i 0 | | 57 i i“ k a PMS“ 19 Kadangi antroje eilutėje visi elementai, išskyrus skaičių 5, lygūs nuliui, tai patogiau - sia bus imti i=2. …
Excerpt
Įrodymas. Tarkime, kad visi i-osios eilutės elementai lygūs nuliui: dx =A;5=--- App =4;, (k Zi). Sukeitę tas eilutes vietomis, gau- sime determinantą D, lygų — D (2 savybė). Kita vertus, determinantas D ne- pasikeitė, nes sukeistosios eilutės yra …