Excerpt
Uždaviniai 1. Duoti trys taškai: A(— 1. 6,3), B(3, —2, —9), C (2,7, 1). Kurie iš jų yra plokštu- moje Ax—-y+3z4+1=07 Ats. A ir B. 2. Raskite taškus, kuriuose plokštuma 2x—3y—z+12=0 kerta koordinačių ašis Ats. (—6, 0, 0), (0, 4, 0) ir (0, 0, 12). 3. …
Excerpt
i4 Raskite plokštumos 15x— 10y+-6z— 190=0 atstumą nuo koordinačių pradžios. Ats: 210: 15. Raskite vektoriaus, statmeno plokštumai 2x—y4+274+9=0, krypties kosinusus. 4 2 1 2 Ats. 537 Au 1 16. Raskite taško (2 0, — > ) atstumą nuo plokštumos 4x—4v+27—|/£ …
Excerpt
Iš minėtojo pluošto pasirinksime dvi plokštumas, statmenas koordina- čių plokštumoms, sakysime, xy ir xz plokštumoms. Tuo tikslu imkime lygtį axX+by+cCz+d,+ Max +bsy+c57+d,)=0, (2) kurioje x — bet kuris skaičius. Tai, be abejo, plokštumos lygtis. Tiesės + …
Excerpt
Jau įsitikinome, kad (4) ir (5) lygtimis išreikštų plokštumų susikirtimo tiesė yra 7. Vadinasi, tiesė ; gali būti apibrėžiama lygčių sistema Y=M XT, | Zz=MiX+ ha, 6 ekvivalenčia (1) sistemai. Plokštuma (/, einanti per tiesę : ir statmena xy plokštumai, …
Excerpt
Remiantis (12) formulėmis iš $ 18, galima apskaičiuoti vektoriaus s kryp- ties kosinusus: 1 m n cos4=-—, cos B=, CO = (= V RYmžįno). (7) Skaičiai cosa, cosB ir cosy vadinami tiesės krypties kosinusais. Norint iš minėtųjų duomenų sudaryti tiesės lygtį, …
Excerpt
ir, imdami gautųjų santykių lygybę, gauname tiesės kanonines lygtis diržo L EM Balis (11) i m n Šią dvigubą lygybę reikia laikyti dviejų lygčių sistema. Kiekviena iš tų lygčių gaunama, sulyginus du (11) proporcijos narius. Tiesės lygtis rašysime (11) …
Excerpt
2. Parašysime lygtis tiesės, einančios per tašką (1, —2, 3) ir lygiagrečios = ašiai. Dabar T x COS 4 =c055-=0, cos B=c0s5 =0, cosy=cos0= I. Vadinasi, turime šitokias duotosios tiesės lygtis: AST ZA Hai as! Šitokią dvigubą lygybę, kaip sakėme, reikia …
Excerpt
turime duotosios tiesės kanonines lygtis. Jas dar galima įvairiai perdirbinėti ir prastinti. Pavyzdžiui, prie kiekvieno turimo santykio pridėję po 1, gauname x+1 y-6 z-6 l -l = 2 Visų trupmenų vardiklius padauginę iš —2, turime x+1 y-6 z-6 —2 2 3 Visos …
Excerpt
Remdamiesi (12) lygybėmis, rašome duotosios tiesės kanonines lygtis: x-| y-l z-0 SRT = arba x-| y-l Z LŽI 7EL s 40. Kampas tarp tiesių. Statmenumas ir lygiagretumas Apskaičiuosime kampą, kurį sudaro tiesės /, ir 1,, išreikštos kanoninėmis lygtimis X- A = …
Excerpt
Tokiu atveju ieškomosios tiesės krypties koeficientais laikome skaičius /, 21 ir m, esančius duotose lygtyse. Teškomosios lygtys bus ar dar VE MEGA Į m n (15) lygiagretumo sąlyga, be abejo, išpildyta: visi santykiai lygūs vienetui. Pavyzdžiai. 1. …
Excerpt
LTU S 41. Kampas tarp tiesės ir plokštumos . Duota plokštumos 0 lygtis ax4+by+cz+d=O ir tiesės : lygtys žo DM LZ 1 m n Rasime kampą tarp tiesės / ir plokštumos O, t. y. smailų kampą ę, kurį sudaro tiesė f su savo projekcija plokštumoje O (42 brėž.). …
Excerpt
Iš čia gauname dvi lygtis; x-l y-2 „ x-l z-3 8 E MS arba W— Žiu a Išsprendę lygčių sistemą 5 D x+2y+37—28-0, 4117 7 222 | 231. randame ieškomąjį tašką (2, 4, 6). Uždaviniai 1. Duota tiesė x-2y+3z—1=0, 2x+y-z+2=0. Raskite lygtis plokštumų, projektuojančių …
Excerpt
6. Raskite lygtį tiesės, einančios per taškus (3, —2, — I) ir (5, 2, 5). g x-3 v+2 z+1 1-5 3 7. Raskite tiesės x+t2“ VŽ z+1 3 "=E 2 - ir plokštumos 2x43y4+37—8=0 susikirtirio tašką. ————"" e * 1 Ats: +6ls 1561): 8. Raskite lygtį statmens, nuleisto iš …
Excerpt
VII skyrius ANTROS EILĖS KREIVĖS Ss 42. Apskritimas IV skyriuje ($ 22) įsitikinome, kad lygtis tiesės, priklausančios xy plokštumai, visada yra pirmojo laipsnio lygtis. Be to, matėme, kad kiekvie- na pirmojo laipsnio lygtis reiškia kurią nors xy …
Excerpt
Žairis Ki S ieasiė E po to prie abiejų pusių pridėsime po 25 Ir 44 > O £ perkelsime į kairę pusę: 2, D T) ( „ 0, tai ši lygtis sutampa su (2) lygtimi, imant 2 “4 o ž - k ži „EA Vadinasi, kai Dž + E?—4AF > 0, 2: Sa 12 (3) lygtis reiškia apskritimą, kurio …
Excerpt
$ 43. Elipsė Elipse vadiname kreivę, kurios kiekvieno taško atstumų nuo dviejų duotų taškų suma yra pastovi. Duotieji taškai F, ir F, vadinami elipsės židiniais. Atstumą |F,F,| žymėsi- me 2c (44 brėž.). Taškui"M slenkant elipse, suma |F,M|+ |F;M | …
Excerpt
Abi lygties puses padaliję iš ažb, galutinai gauname x. y me = == AE S (7 ) Tai vadinamoji kanoninė elipsės lygtis. iš kurios matyti, kad elipsė yra 'ant- ros eilės kreivė. Kadangi (7) lygties kairėje pusėje abu dėmenys neneigiami, o jų suma lygi …
Excerpt
Kadangi a> b, tai 2a yra elipsės didžiosios ašies ilgis, o 25 — mažosios ašies ilgis. Skaičius a — didžiąją pusašę, b — mažąją pusašę ir c — židinio atstumą nuo centro sieja (6) lygybė, kurią rašome šitaip: cž=až-—b?. (8) Elipsės ištęstumą galima …
Excerpt
Norėdami išvesti paprasčiausią hiperbolės lygtį, x ašį nubrėšime per ži- dinius F, ir F,, o koordinačių pradžią O pasirinksime atkarpos F,F, viduryje (46 brėž.). Tada |OF,|=c, todėl židiniai F, ir F, turės koordinates (c. 0) ir (—c, 0). Jei M(x, y) — bet …
Excerpt
Toliau pastebėsime, kad hiperbolė, kaip ir elipsė, yra simetriška abiejų koordinačių ašių atžvilgiu, nes lygtyje x ir y yra tik antrajame laipsnyje. Todėl pakanka nubrėžti hiperbolės dalį, esančią pirmajame ketvirtyje. Hiperbolės lygtį išsprendę ordinatės …
Excerpt
2 D / a* 55 ž Į lą B Kai x didelis, reiškinys PE yra artimas vienetui. Šaknį pakeitę vienetu, gauname tiesės lygti Au = za g N 8 M | TE ET SP C > 6 a E ZL | 0 a x x | T 1 ! 47 brėž. Tarkime, kad M(x, y) — hiperbolės taškas, o N(x, Y) šios tiesės taškas, …
Excerpt
kad tada skirtumas Y-— y artėja prie nulio, nes dešinėje esančios trupmenos skaitiklis ab nesikeičia, o vardiklis x+ |/x* —až neaprėžtai didėja. Vadinasi, kai taškas M, slinkdamas hiperbole pirmajame ketvirtyje, tolsia į begalybę, tai jo atstumas nuo …
Excerpt
5 46. Parabolė Parabole vadiname kreivę, kurios kiekvienas taškas yra vienodai nutolęs nuo duotojo taško ir duotosios tiesės. Duotasis taškas F vadinamas parabolės židiniu, duotoji tiesė DE — jos direktrise (48 brėž.). Židinio F atstumą |KF| nuo …
Excerpt
Iš lygties yž =2px matyti, kad 2px> 0; be to, p> 0, todėl x> 0. Vadinasi, visi parabolės taškai yra dešinėje nuo y ašies. Imdami x=0, gauname y=0; taigi parabolė eina per koordinačių pra- džią. Be to, matyti, kad ši kreivė yra simetriška x ašies …
Excerpt
kuri gaunama iš (15), sukeičiant abscisės ir ordinatės vietas, taip pat reiškia parabolę. Jos simetrijos ašis bus y ašis, o viršūnė — koordinačių pradžia (50 brėž.). Šios parabolės židinys yra taškas F ( 2 ) 2 2 > I (16) pavidalą lengvai suvedama ir …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Parašykime lygtį apskritimo, kurio centras sutampa su koordinačių pradžia, o spindulys lygus a: x*1-y*=až, Skaičių a čia galima laikyti parametru. Kiekvieną teigiamą parametro a reikšmę atitinka apskritimas. Tie apskritimai sudaro …
Excerpt
„"TrT Uždaviniai 1. Parašykite lygtį apskritimo, kurio centras yra taškas (1, — I), o spindulys lygus 3. Ats. x*+-y*—2x+2y—7=0. 2. Raskite apskritimo x*4+y248x—9=0 spindulį ir centro koordinates. Ats. 5; (—4, 0). Ž 3. Apskritimo skersmuo yra tiesės …
Excerpt
15. Hiperbolės asimptočių lygtys yra »-Ž x ir y=— Ž x. Parašykite tos hi; : bolės lygtį, kai ji eina per tašką (2, 1). Ats. 9x*— 16y2=20. 16. Raskite hiperbolės x*— yž=16 ir apskritimo x*+y*=34 susikirtimo taškus. Ats. (5, 3), (—-5, 3), (-5, —3) ir (5, — …
Excerpt
Jei duota koordinačių sistema ir žinoma kreivės lygtis toje koordinačių sistemoje, tai dažnai tenka parašyti tos pačios kreivės lygtį kitoje koordinačių sistemoje. Šiam uždaviniui išspręsti būtina žinoti vienos koordinačių sistemos padėtį kitos sistemos …
Excerpt
arba xi+yį=(x'+-0)i +(y' +6)j. Iš tos vektorinės lygybės gauname dvi skaliarines lygybes — koordina- čių sistemos /ygiagretaus postūmio formules: x=x' ia, d y=y +6. ) Čia senosios taško koordinatės x ir vyra išreikštos naujosiomis koordinatė- mis x' ir …