Excerpt
Imdami po du matricos A stulpelius, gauname šešias lygčių sistemas: x: +-x1=6, | x,+2x3=6, | Ža x:1+2x;=6; x,4+2x;=6; x, 1x,=6; *112x,=6, x1+2x,=6, 2x,+2x,=6, 2x1+2x;=6; 2x1+x,=6; 2x,+x,=0. Į antrąją sistema nekreipiame dėmesio: ji turi be galo daug …
Excerpt
ANTAOJI D2ZLIKS MATEMATINĖS ANALIZĖS PRADMENYS XIII skyrius ! FUNKCIJA S 85. "Aibė ir jos elementai Kasdieniniame gyvenime iš atskirų objektų (knygų, studentų, mokinių, raidžių) sudarinėjame rinkinius, kuriuos vadiname įvairiais vardais — grupėmis, …
Excerpt
s 86. Skaičių aibės. Intervalai Mums dažniausiai teks kalbėti apie aibes, kurių elementai yra skaičiai. Kai kurios skaičių aibės žymimos specialiomis raidėmis: N — visų natūrinių skaičių aibė, Z — visų sveikųjų skaičių aibė, O —visų raciona- liųjų skaičių …
Excerpt
13. Raskite tašką, vienodai nutolusį nuo trijų taškų: (0, 0), (2, 0) ir (0, 4). Žiis 10, 2)5 £ 14. Per taškus (0, 0), (4, 2) ir (6, 4) nubrėžtas apskritimas. Raskite to apskritimo centrą. Ats. (-3, 11). k 15. Raskite abscisių ašies tašką, kuris yra …
Excerpt
£ taške C irspinduliu r yra plokščia uždara kreivė, kurios visų taškų atstu- mas nuo C lygus r. Vadinasi, bet kuris to apskritimo taškas M tenkina sąlygą |MC|=r, o jei M nėra apskritime, tai |MC| r. Tarkime, kad plokštumoje nubrėžta kuri nors kreivė /. …
Excerpt
Jeigu M (x, ») — bet kuris apskritimo taškas, tai |OM|=r, o jei M nepriklauso apskritimui, tai |OM|r. Norint parašyti to apskritimo lygtį, reikia atstumą |OM| išreikšti taškų O ir M koordinatėmis: |OM|= V K Z0+6703= V B2y5 ir gautąją išraišką parašyti …
Excerpt
Lygties su dviem kintamaisiais x ir y sprendinius praktiškai randame ši- taip: imame keletą x reikšmių x;, x;, ..., X, jas paeiliui įstatome į duotąją lygtį ir randame atitinkamas y reikšmes: y,, y;, ..., J, Tokiu būdu gauname sprendinius (x1, Y1), (Xs, …
Excerpt
$ 22. Bendroji tiesės lygtis Paprasčiausia linija, be abejo, yra tiesė, todėl pirmiausia ir kalbėsime apie tiesės lygtį. Tiesės padėtį plokštumos koordinačių sistemoje galima nurodyti įvairiais būdais. Vienas būdas yra toks: nurodomas taškas A(x4, y4), …
Excerpt
Iš antrosios ir trečiosios lygybių panariui atėmę pirmąją, gauname a(x+—x)+b(1—71)=0, a(xs—x1)+- 664 —54)=0. —> — Iš pastarųjų lygybių matyti, kad vektoriai M,M;=(x;—-x,)i+ (Gs-yYJi ir —> M,Ms=(x3—x1)i +(75—7;)į yra statmeni vektoriui n=ai +bį …
Excerpt
imti a= —sinę, b=cosp, x;=0, y,=n. Todėl ieškomoji lygtis bus tokia: —sino * (x —0) +c0sę * (y—n) =0. Iš parašytosios lygties elementariais veiksmais gauname jai ekvivalenčią lygtį y=tgp -X+. Skaičių tgo vadinsime tiesės t krypties koeficientu ir žymėsime …
Excerpt
B 25 Lygtis tiesės, einančios per du duotuosius taškus Tiesės / padėtį ainas galima nusakyti, nurodžius du skirtingus jos taškus A(x;, y,) ir B(x;, y> ). Iš tų duomenų sudarysime tiesės t lygtį. Iš pradžių tarsime, kad duotoji tiesė nėra lygiagreti y …
Excerpt
dytas sukimas vyksta prieš laikrodžio rodyklę; priešingu atveju kampas y laikomas neigiamu. Tarkime, kad tiesės Ą, ir f; duotos lygtimis y=mx-+n; IT y=mMyX+h3, ir raskime kampą y. = Brėžinyje nurodytu atveju kampas +; yra trikampio ABC priekampis, todėl …
Excerpt
Jei tiesės t, ir t4 yra lygiagrečios, tai 9, =2> . Vadinasi, šiuo atveju tgo; =LE92> arba * m, = M;. (7) Atvirkščiai, jei 71, =m;, arba tg9; —IE92> tai, turėdami galvoje, kad 9; ir 5 yra tarp O ir 7, gauname 9; =92- Vadinasi, tiesės t, ir /4 yra …
Excerpt
Šias m, ir m, išraiškas įstatę į (6) formulę, gauname Vai tg X o E BC s E Sr 2 1 b. bp arba sės a,b, — a,b; = a,;+-b,b; ž (9) Duotos tiesės bus lygiagrečios, kai m, =mp, t. y. t GB Lai: arba di b. r (10) Vadinasi, tiesės, duotos bendrosiomis lygtimis, bus …
Excerpt
Iš čia randame nežinomą laisvąjį narį: c=7. Vadinasi, ieškomoji lygtis yra 2x—3y4+7=0. 5. Parašysime lygtį tiesės, einančios per tašką (— I, I) ir statmenos tiesei 3x—2y4+7=0. Remdamiesi 2 pastaba, rašome lygtį su nežinomu laisvuoju nariu c: 2x+3y+c=0. …
Excerpt
"į o iš duomenų matyti, kad ši projekcija lygi p. Todėl ——> OM np. —> 2 —> i Skaliarinę sandaugą OM - n" išreiškę vektorių OM =xi + yj ir n?=cosx > + +sinx - į projekcijomis koordinačių ašyse, gauname X COS4 +-y sinx =p, arba x Cosx--y „Sinx —p=0. (12) …
Excerpt
Pavyzdys. Tiesės lygtį 3x—4y+410=0 pakeisime jai ekvivalenčia normaline lygtimi. Duotosios lygties laisvasis narys yra teigiamas, todėl normuojantis daugiklis M turi būti neigiamas: 1 - 1 —V34(-3> KD Padauginę lygties 3x—4y410=0 narius iš normuojančio …
Excerpt
—> Iš trijų paskutinių lygybių išreiškiame skaliarinę sandaugą MM. n0; E MM, * Nn? =x,cosx +- yssina —p ir, gautąją išraišką parašę (13) lygybėje, gauname d= |xgc0sx + y,Sinx —p|. (14) Vadinasi, norint rasti taško atstumą nuo tiesės, reikia parašyti tos …
Excerpt
nelygus nuliui, (15) sistema turi vieną ir tik vieną sprendinį. Jį galima rasti pagal Kramerio formules 2-1 o m i. kuriose | e, bi Bi =c,b> —c,b = Cą b; | 1/2 2015 la 1| į =; C> — A5C4. y A cž | 1*2 211 Vadinasi, kai DŪ, tiesės /, ir r, turi vienintelį …
Excerpt
Pagaliau, kai visi trys determinantai D, D, ir D, lygūs nuliui, tiesės /; ir t, sutampa, nes Šiuo atveju Uždaviniai 1. Ar priklauso kreiveix?4-y?— 2x=0 šie taškai: a) (0,0); b) (3, 1);c)(1, — 1); d) (2,0); e) ELO 2)R Ats. a) taip; b) ne; c) taip; d) taip; …
Excerpt
1 „V 14. Raskite taško (— 1, 2) projekciją tiesėje 3x—5y—21=0. Ais. (2, —3). , + -15. Raskite lygtis tiesių, nubrėžtų per tašką (2, —!) ir sudarančių kampą Z su tie- se 3x+4y—5=0. Ats. x—Ty-9=0 ir Tx+y-13=0. 16. Per taškus (1, 4) ir (3, 1) nubrėžta tiesė. …
Excerpt
Atstumus |4M|1r |BM| išreiškiame taškų A (3, 1, 2), B(4, 2, — I) ir M (x, y, z) ko- ordinatėmis: |AM|=V 33 T6—I 173), IBM |= V —4+(y 234 (11). Šitas atstumų |4M| ir |BM| išraiškas parašome lygybėje |AM|= |BM| ir zauname duoto- sios plokštumos lygtį VEB …
Excerpt
Kadangi vektorius n statmenas plokštumai O, tai jis statmenas ir vekto- —> riui AM, esančiam toje plokštumoje. Todėl šių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui: t n- AM =0. (1) —> Įrodėme štai ką: jei taškas M yra plokštumoje O, tai n- AM =0. Lengva > …
Excerpt
Antrąją šių lygčių padauginę iš —2 ir sudėję su pirmąja, gauname —244+5=0, t. y. 6=2a. Po to į antrąją sistemos lygtį vietoj b įstatome 2a ir randame c= —4a. Dabar pra- džioje sudarytą plokštumos lygtį galime rašyti šitaip: a(x—1)+2a(y—1)—4a (z— 1)=0. …
Excerpt
4. Jei a=0 ir b=O (aišku, tada c+0), plokštuma turi būti lygiagreti iš karto x ir y ašims, t. y. lygiagreti xy plokštumai (36 brėž.). Todėl lygtis cz+d=0 išreiškia plokštumą, lygiagrečią xy7plokštumai (arba statmeną = ašiai). 5. Kai a=0, b=0 ir d=0 …
Excerpt
iii ki a la A a LE la 2 Jei plokštumos 0, ir. 0, statmenos viena kitai, tai vektoriai n; ir n; stat- meni vienas kitam, ir atvirkščiai. Vektoriai savo ruožtu sudaro statų kampą tada ir tik tada, kai jų skaliarinė sandauga lygi nuliui. Vadinasi, plokštumos …
Excerpt
Kadangi taškas (1, I, 1) yra šia lygtimi išreiškiamoje plokštumoje, tai jis tenkina parašytąją lygtį: 2-1—3-11+3-141+4=0. Iš tos lygybės randame 4= —2. Vadinasi, ieškomoji lygtis yra tokia: 2x—3y+3z7—2=0. 2. Per taškus (1, I, I)ir (1, 2, 3) išvesta …
Excerpt
Norėdami parašyti duotosios plokštumos lygtį, imkime joje bet kurį taš- ką M(x, y, z) ir jo spindulį-vektorių —= OM=xi+yj+zk. Iš brėžinio matyti, kad šio vektoriaus projekcija į vektorių n? lygi p. Iš kitos —. pusės, vektoriaus OM projekcija į vienetinį …
Excerpt
Kadangi cosžx +c0s*8 +cosžy=1, tai iš paskutinės lygybės galima rasti skaičių M: 1 "E VaiBza" (10) Norėdami nustatyti skaičiaus M ženklą, pastebėsime, kad sandauga Mad, lygi —p(p> 0), yra neigiama. Todėl daugiklio M ženklas turi būti prie- šingas (3) …
Excerpt
— — — Iš 39 brėžinio matyti, kad MM,=OM,— OM. Todėl —- —> — MM,-:n=O0M,-n0—OM -nU. EC - . 2 - Pirmąją sandaugą OM,- m? galima išreikšti vektorių OM,=xgi +y9i+24k ir n0=cosx > i4+-c058 - į+co0sy - k projek- cijomis: OM, "0 =x4C054 + ygCOSB + z4COSy. …