Excerpt
JT. Gauso metodu išspreskite šitokias tiesinių lygčių sistemas: 3x,-2x;1—x;=4, "8 — Xr+x,12x,—-2xp= 1, a) x1tA2+3x3=3, b) 241 xX2—x513x,12x;=14, M—-M—AX=l; X1+411X5 + x;=0. Ats. a) (2—x4, 1—2x5, x3); b) (1—x4, 22xs, Xa+-X5, Xas X5). XI skyrius TIESINĖS …
Excerpt
mųjų Yas Ya, ---, V „Teikšmę ji, Ya, --., 7 „„ Gautasis m-matės erdvės taškas (Vas Yas «> Y „) Vadinamas taško (X;, X> , ..., X,) vaizdu. Vadinasi, (1) tiesine transformacija kiekvienam n-matės erdvės taškui priskiriame po vieną m-matės erdvės tašką. …
Excerpt
jamas nė vienas n-matės erdvės taškas. Kitaip sakant, 7-matės erdvės taškų (X1s Xos + X,) Vaizdai (y;, Yo, ---, VY „) ne visada užpildo m1-matę erdvę. Iš (1) tiesinės transformacijos koeficientų a;; sudaryta matrica || ! | Uri, Ep Uin | ! || a. a as, | AI …
Excerpt
2. Imkime dar vieną tiesinę 1-matės erdvės transformaciją Zį S On X. + bio X;+ |. bi Xn» Za =bn Mt bap Aa. Dan Nas (3) Zm= Dm X. + bm X: + | E bms i kurios matrica yra B bi B) Ika“ AO bri bmz es I | (1) ir (3) tiesinių transformacijų suma vadiname tokią …
Excerpt
Savo ruožtu n-matės erdvės taškai (z,, z5, ..., z,) atvaizduojami į m-ma- tės erdvės taškus (y;1, Y5, .-., V „) tiesine transformacija Y= A - Z: Ji =01 ZL +02 2214 nn Zps Vi =4n TA Za... 4 Ain Zn (5) Nm — ZaiiZi 15 Ana Za 2 an Za Šitos tiesinės …
Excerpt
Iš (6) lygybės matyti, kad tos tiesinės transformacijos matrica | Cu Ca o. Cik | Ca Cia so Cox L AC DA LS yra matricų Air Bsandauga: C=A - B. Todėl tiesinių transformacijų Z=B- X ir Y=4 - Z sandauga yra tiesinė transformacija Y=(A - B) - X. S 74. …
Excerpt
Tuo tikslu sudarome duotųjų tiesinių transformacijų sandaugą: (8) lygybėse kintamuosius y;, Y5, ---, y, pakeičiame jų išraiškomis iš (7) lygybių. Gautoji tiesinė transformacija M=1MTC2X21 Cn Xn, Xs= CX, + CX: +. + Con Xn (9) Xn = m XM + Cna X2 T £- + Cn …
Excerpt
Prie antros eilutės pridėkime pirmąją, padaugintą iš —a,3, prie trečios — pirmąją, padaugintą iš —a3, ..., prie n-0s — pirmąją, padaugintą iš —a,4: , , , |! als Ūla 1 Ūka Ožais a. a' 22 233 2n a A=|| App A33 --. Ap || ALT Kė 0 S || , 7 , [KO ap aiš biša …
Excerpt
Iš šitos lygčių sistemos su kintamaisiais X4, Xa, ---, Xr> Yas Va, ---, V, galima su- daryti jai ekvivalenčią sistemą: a) dauginant (dalijant) panariui bet kurią lygtį iš nelygaus nuliui skai- čiaus a; b) pakeičiant bet kurią t prie jos panariui pridėjus …
Excerpt
Sukeitę pirmą ir antrą eilutes vietomis, prie trečios eilutės pridedame pirmąja, padau- gintą iš —1: 15 ba —2 LO Iš kas) 0 0 Isūksūas Šis 1 a Prie pirmos eilutės pridedame trečiąją, padaugintą iš —6, o prie antros — trečiąją, padaugintą iš 1: |] 00) 4 B | …
Excerpt
* Apibendrindami tuos rezultatus, apibrėšime n-matės erdvės vekto- riaus sąvoką, dviejų tokių vektorių lygybę bei sudėtį ir vektoriaus daugybą iš skaičiaus. Bet kuri realių skaičių a;, > , ..., a, sistema a= (a,, a;, ..., a„) vadinama n-matės erdvės …
Excerpt
s 76. Tiesiškas vektorių priklausomumas Pasirinkime keletą 7-matės erdvės vektorių a;, a;, ..., a, ir tiek pat realiųjų skaičių A4, 2, -.., A, Sumą 2,2, +25a;+...+1,„2,„ vadiname vektorių a;, a5, ..., a,„ tiesiniu dariniu (tiesinė kombinacija), o skaičius …
Excerpt
Įrodymas. 1. Tarkime, kad duotieji vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Tada, kaip nurodyta apibrėžime, yra teisinga lygybė 2414,+2;35+...1+2,2„=0, kurioje bent vienas koeficientas, sakykime, 2,, nelygus nuliui. Iš tos lygybės, turėdami mintyje, kad 2,0, …
Excerpt
Pavyzdys. Ištirkime trijų dvimačių vektorių sistemą: a,= (1, 0), a> — (01 Ta S S lė o Vektoriai a, ir a, yra tiesiškai nepriklausomi, nes 2,a,4+25a5= (24, 24! ir todėl lygybė 212, +23;a,=0 galima tik tada, kai 3,=2,=0. Pastebėsime, kad visi trys duotosios …
Excerpt
PA Kadangi lygčių skaičius r, kaip nurodyta lemos sąlygoje, yra mažesnis už kintamųjų skaičių k, tai sudarytoji lygčių sistema turi nenulinių sprendinių (š 70, 3 išvada). Pasirinkę bet kurį nenulinį tos sistemos sprendinį (24, r“ Aa. IS (2) lygybės …
Excerpt
Kadangi tiesinis darinys 246, +2563+...+2,6,= [245 Ja, linis vektorius tik tada, kai 2, =A5=... =2, = 0, tai sistemą e,, e;, A) yra nu- +, 6, suda- ro tiesiškai nepriklausomi vektoriai. Be to, imdami bet kurį n-matį vek- torių a Zi la die, -G565E 20,6 — …
Excerpt
Sudarytasis tiesinis darinys yra lygus vektoriui e= fc, C> , ..., „|, kai An M+ M2+-.. TA M = Oz 21 +05525+ + as kų — Ca, a mija a Ta. sia a a a ljaja male js aka e a Va G?) 10,25 *-- ERA A — 5 (14) Kadangi šios lygčių sistemos determinantas det A nelygus …
Excerpt
I 2 10 S 141841 | | 1 3 0) a) 1 i gili B) || --24 25 1222 — jag E) | 1 1614 M8 (251 || 2. Gauso metodu sudarykite matricas, atvirkštinės šioms ketvirtos eilės kvadratinėms matricoms: as gi || 1 2 Al 3 PaBiBP1i 9 „S "I aiao i 3 3 0)! | || ip | T 565 Ats. …
Excerpt
XII . skyrius ISKILIEJI BRIAUNAINIAI 5795 Pusplokštumė Nagrinėsime tiesinę nelygybę ax4+by+c> 0 su dviem kinta- maisiais x ir y, kai bent vienas iš skaičių a ir b nėra lygus nuliui. Jeigu ax4+by,+c yra teigiamas skaičius (ax4+by;+c> 0), tai sakome, kad …
Excerpt
a> 0) nelygybę ax4+by+c> 0 tenkina visi taškai, kurių abscisės x yra dides- . “ c . v . . < LN ao . nės UŽ— Z. Tie taškai sudaro atvirą pusplokštumę esančią iš dešinės nuo tie- sės X= — 0 yra ekvivalenti nelygybei x < Žž „ Šiuo atveju (b=0, a 0 …
Excerpt
taškas priklauso pusplokštumėms P,, P;, ..., P„„ Tokia figūra vadinama pus- plokštumių P,, P,, ..., P, sankirta (piūviu). Apskritai figūrų F, ir F, sankirta vadiname figūrą F, sudarytą iš visų taš- kų, priklausančių ir figūrai F,, ir figūrai F, „. …
Excerpt
sprendinių daugiakampį. Tuo tikslu duotąją sistemą perdirbame į jai ekvivalenčią sistemą yz-x44, Pt 1, yzx-2, Pirmosios nelygybės sprendiniai sudaro pusplokštumę, esančią virš tiesės 7, (95 brėž.), antrosios — po tiese 74, trečiosios — virš tiesės /4. …
Excerpt
Kiekvieną aptariamosios nelygybės sprendinį (x, y, z) galima laikyti trimatės erdvės tašku. Visi tie taškai, kaip įsitikinsime, sudaro atvirą puserd- vę — erdvės dalį, esančią vienoje pusėje nuo atitinkamos plokštumos. Kai c> 0, nelygybė ax4+by+cz+d> 0 …
Excerpt
Jeigu trimatės erdvės taškų koordinates žymėsime ne x, y ir z, bet A, X> Ir x3, tai galėsime sakyti, kad nelygybių sistemos An X AA XM 05 X 0, 20, As X. + 055 Xa + 055 Xx3+C,2 > 0, (2a) Am Xi + An: X + Ans Xs + 0, 2 0 sprendiniai (x;, X5, x5) sudaro …
Excerpt
Parametrui t teikdami realias reikšmes, gauname tiesės taškus X(A;, X> , ..., X,). Kai :=0 ir £=1, iš (4) lygčių atitinkamai gauname X=XA,, X, =Xį, Xs=A5 Hi 55 — 0 27 ir 2 t. 2 Vadinasi, parametro : reikšmes O ir 1 atitinka taškai X, ir X,. Todėl atkarpos …
Excerpt
Tiesė a; X) +45X54+-c=0, kaip matėme $ 79, dvimatę erdvę dalija į dvi puserdves (pusplokštumes), apibūdinamas nelygybėmis a, x; +a5 x> +c> 0 ir M +0 X +c 0ir a, x, +a, x,+ a; X;+ …
Excerpt
apibrėžia figūrą F, sudarytą iš m puserdvių bendrųjų taškų. Figūra F — iš- kilųjų 7-mačių puserdvių sankirta — yra iškila figūra, vadinama iškiluoju n-mačiu briaunainiu. s 84. Iškilojo briaunainio viršūnės Iškilojo trimačio briaunainio viršūnę galima …
Excerpt
Jei kiekvieną (5) sistemos lygtį pakeisime dviem nelygybėmis, tai gausime sistemą, sudarytą iš 2m nelygybių ir ekvivalenčią (5) lygčių sistemai. Prie tų nelygybių prijungę (6) nelygybes, gausime nelygybių sistemą, apibrėžiančią figūrą F. Todėl F yra …
Excerpt
(8) lygybę dauginame iš skaičiaus 7 ir gautąją lygybę panariui sudedame su (9) lygybe: (X. +-tc;)a, +(X> -1-1c5) 2; 4) + (5, -to;)a;=b. (10) Kadangi skaičiai X;, X> , --., X, yra teigiami, tai skaičiai X,+1C, X; LC3, 3 Xr+10, kai |/| pakankamai mažas, …
Excerpt
Iš pirmosios lygybės panariui atėmę antrąją lygybę, gauname šitokią lygybę: (x —AX1)a, + (X1—x3)a5+-...+-(x7— 14) a, =0. Kadangi taškai X, ir X, yra skirtingi, tai bent vienas iš skliaustuose parašytų skirtumų nėra lygus nuliui. Todėl vektoriai a,, a,, …