Excerpt
Pastebėsime, kad šis dėsnis tinka bet kuriam dėmenų skaičiui. Pavyzdžiui, imdami tris vektorius a, b ir c, turime pr(a+b+c)=pr,[(a+b)+c]=pr,(a1+b)+pr,c=pr a +-pr,b+-pr,c. —> Imkime vėl vektorių MN =a, kurio pradžia yra projekcijų ašyje t (15 brėž.) ir bet …
Excerpt
Panašiai įsitikiname, kad —> A OB=a,j ir OC=a.k, Jei a, ir a, — vektoriaus a projekcijos y ir z ašyse. Dabar (1) lygybę galima parašyti šitaip: a=ai+a,į+a.k. Šioje lygybėje vektorius a išreikštas savo projekcijomis a,, a, ir a, koordi- načių ašyse. $ 11 …
Excerpt
Pavyzdys. Turėdami du vektorius a=2i—5j+3k ir b=3i+j—2k, galime rasti vek- torius ab, a—b ir 3a: a+b=(2i—5į+3k) +(3i+j—2k)=5i—4į +k, a—b=(2i—5į+3k)— (3ij—2k)= —i— Gj +-5k, 3a=3- (2i—5į+3k)=6i— 15j+-9k. — Kai vektoriaus OM =a pradžia sutampa su koordinačių …
Excerpt
Iš gautosios sistemos lengvai randame taško C koordinates: X.-+ Ma 1+4 Vi + Aa = EEŽ 3 (3) z,+225 SATA — Atskiru atveju, kai taškas C yra atkarpos AB vidurys, t. y. |AC| =|CB|, |AC | CB| name iš (3) formulių, imdami A=1: matome, kad A= =1. Todėl atkarpos …
Excerpt
Kadangi iešk omasis taškas C yra xy plokštumoje, tai jo aplikatė = lygi nuliui. Į pasku- tinę iš (3) formulių įrašę z,= —4, z;=2 ir z=0, gauname o. 22: 114 Iščia 2)=2. Taško C abscisę ir ordinatę randame iš likusių (3) formulių: L B-45 Bas CD į 27 BT …
Excerpt
Atskiru atveju, kai b yra vienetinis vektorius b? (5? =1), turime a-b? =dpo, t. y. vektorių a daugindami skaliariškai iš vienetinio vektoriaus, gauname vek- toriaus a projekciją į to vienetinio vektoriaus kryptį. $ 15. Skaliarinės sandaugos savybės 1. …
Excerpt
Pakanka apskaičiuoti abi (7) lygybės puses. Kairėje pusėje gauname x(a -b)=A - ba,, o dešinėje — (24) -b=b- pr„(Ja)=b » Apra =b > Ja,. Iš dviejų paskutiniųjų lygybių ir išplaukia (7) lygybė. s 16. Skaliarinės sandaugos reiškimas vektorių projekcijomis …
Excerpt
Kita vertus, skaliarinę sandaugą a - a galima išreikšti vektoriaus a =a,i +a,j + +a.k projekcijomis: a-a=a,a,+0,0,1+a,a,=a2+a3+a2. Iš dviejų parašytųjų skaliarinės sandaugos a - a išraiškų išvedame lygybę až=a2+a24+a2, kuri išreiškia žinomą dėsnį: …
Excerpt
Kai aaa io Žnaitėi sergi, Kadangi |AD|*= |BD|2, |BD|?= |CD]Įž, tai ( (++2;+(5—1). Iš tos lygčių sistemos po suprastinimo gauname jai ekvivalenčią tiesinių lygčiu sistemą x—-y=-2, "2Rxžy= 2. ! Paskutinės sistemos sprendinys (0, 2) ir yra ieškomasis taškas, …
Excerpt
Panašiai randame kampą B, kurį vektorius a sudaro su y ašimi (arba su vie- netiniu vektoriumi į). Šiuo atveju b=0-i+1 -j+0-k ir b=1. Todėl iš (11) formulės t Gy cos B= Ž Pagaliau kampą y, kurį vektorius a sudaro su z ašimi, gauname iš lygybės cos y = £Z …
Excerpt
5 19. Vektorinė sandauga $14 įvedėme vektorių skaliarinės sandaugos sąvoką. Sudau- ginus du vektorius skaliariškai, gautoji sandauga yra skaičius (skaliaras). Dabar apibrėšime kitokią vektorių daugybą, kurios rezultatas bus vektorius. Tarsime, kad …
Excerpt
Šių savybių įrodymą praleidžiame. Esant reikalui, skaitytojas gali jį rasti platesniuose vadovėliuose. Dabar vektorių a=a,i+a,į-+a,k ir b=b,i +b,j+b,k vektorinę sandaugą išreikškime šių vektorių projekcijomis. Remdamiesi nurodytaisiais dėsniais, šiuos …
Excerpt
Uždaviniai 1. Lygiagretainio AR piupins susikerta taške M. Vektorius MA, MB, MCi ir MD E vektoriais 45= air 4b= = 1 Ats. E (a+-b); 2 (a—b); “ (a+-b); 2 (b-a). —> — — — 2. Vektorius AM, BN ir CP, sutampančius su trikampio ABC pusiaukraštinėmis, š i 1 —> …
Excerpt
Dabar aptarsime, kaip sprendžiamos lygčių sistemos kitais atvejais. Tuo tikslu grįšime prie (5) lygčių sistemos ($ 66): AX 0 5X2 +... Ta X, = bi, AX, + 05953X+... +ū,X,=bo, (5) pi sias „fipilas mi 94 vns utjai aekias 65 a kas GA Ani Xi ans Xa 5 On Aa — …
Excerpt
PRIE LTMA STM. SU T > Kadangi r > Tą) bus (10) sistemos sprendinys. Iš to aišku, kad (10) sistema ir jai ekvivalenti (5) sistema, kai …
Excerpt
pusėje parašytus reiškinius laikome lygčių laisvaisiais nariais. Tada pagal Kramerio formules gauname Wi (= 2 ri arba (i) Kūnas (Bi aid la) | = 1 lago a i A) as | 4. „Maliedkis i | A. Ah 27 an )e „App | Determinantą M; galima išreikšti suma, kurios …
Excerpt
Antroji matrica yra gauta iš pirmosios, prie trečios eilutės pridėjus pirmąją, padaugintą iš 1. ir antrąją, padaugintą iš —1. Trečioji matrica sudaryta iš antrosios, prie antros eilutės pri- dėjus pirmąją, padaugintą iš — 2. |! | ! 2 i ||. | | | Paskutinė …
Excerpt
3. Išspręsime keturių tiesinių lygčių su keturiais kintamaisiais sistemą X.+a,LAX531 x,=3, 3x; —x;,:-4x,=6, 2x,+x1—x51 4x,=5, 2x2+-X311+ x,=2. Sudarome duotosios sistemos matricą A ir išplėstąja matricą A: E 2 L a) L 44 A Nu E La 4 a ke A jo 2 "1 oo 0 0 …
Excerpt
(prie trečios determinanto eilutės pridėjome pirmają, padaugintą iš — I). Paskutinį determi- nantą išreiškiame suma, kurios dėmenys yra antrojo stulpelio elementai, padauginti iš savo adjunktų: I6—-4x, —! | 4 E M,=-! =10— OXį- e a 2 i M, aa z os : = …
Excerpt
Tuo tikslu tiesiog pastebėsime, kad matricos A trečios eilės minoras 1 —-! lų M=| | 2 —1 i 1 ps nelygus nuliui (M=4). Vadinasi, kintamąjį x, galima laikyti laisvu ir sistema rašyti taip: X,—X1+A3=3x,, X1+2x— X = XI, X,+X1+X31= — As. Norint rasti bendrąjį …
Excerpt
Pirmiausia atkreipsime dėmesį, kad lygtis 0-x;+0 -x5+-..+0x,= =b, kai b*0, neturi sprendinių, nes, kintamiesiems x,, X5, ..., x, teikdami bet kurias reikšmes, kairėje lygybės pusėje gauname nulį, o dešinėje — nelygų nuliui skaičių b. Jei (5) sistemoje yra …
Excerpt
yra ekvivalenti (5) sistemai. Jei bent viena iš gautųjų lygčių yra 0 - x,+0 -x;+ +...+0-x,=b (60), tai (14) sistema ir jai ekvivalenti (5) sistema neturi sprendinių. Kai (14) sistemoje nėra lygties 0-x,+0 -x,+-..+0 -x,=b (60). iš jos išbraukiame visas …
Excerpt
Kai r=n, (16) sistema yra šitokia: Xh C5X + C15X5 + see cie a Sa Gale Goa as Xn—1 T Chi, n Xi =d,-ą, X, =d, Iš jos paeiliui randame kintamųjų x, Xp15 +, Xa, X, teikšmes: x,=d,, X, „= =d.-1—C5-154, ir t. t. Vadinasi, šiuo atveju (5) lygčių sistema turi tik …
Excerpt
Iš (5) lygčių sistemos sudarinėjant jai ekvivalenčias sistemas, pakanka kaityti matricą | Hua“ Oą ooo M TM | | An Apo... Op Dp | || Ža k p sa as š IL asų 431 D | sudarytą iš duotosios lygčių sistemos koeficientų ir laisvųjų narių. Kaitant šią matricą, …
Excerpt
Dabar galima pirmos ir antros eilutės nebekeisti, o prie trečios pridėti antrąją, padaugintą iš —1: 3 1 —I1 2 311 | I — T ALOBIEOaĖ d: 10.10 6La S Iš gautosios matricos matyti, kad duotoji lygčių sistema neturi sprendinių, nes pasku- tinė eilutė atitinka …
Excerpt
Pereidami prie paskutinės matricos, išbraukėme ketvirtąją eilutę, sudarytą iš nulių, o trečio- sios eilutės elementus padauginome iš — I. Iš tos matricos sudarome lygčių sistemą X1—xX;+2x;=1, —3x;=0, E 1 S ekvivalenčią duotajai sistemai. Iš jos paeiliui …
Excerpt
Kintamajam x, teikdami reikšmę 0, gauname bazinį sprendinį (1, 0, 1, 0). Keisdami x, reikšmes, randame kitus sprendinius. Pavyzdžiui, x,= 1 atitinka sprendinys (2, I, 0, 1), o x,=2 — sprendinys (3, 2, — 1, 2). Uždaviniai | 1. Suprastinkite ir …
Excerpt
6. Apskaičiuokite matricų A ir B sandaugas A -Bir B-A, kai “ i xa A go Ie B14-| 03 Ol. B> ||2 3 PB -1 0 -2 L0--—11 0 Las L) p= 1 | al 1 0| 4 Ats. Naama) 4 lo 1 0|| 1“ Apskaičiavę visų matricos elementų adjunktus, parašykite matricas, atvirkštinės …
Excerpt
11. Naudodamiesi Kramerio formulėmis, išspręskite tokią šiesiki lygčių sistemą: 3x,+2x1+ Xp S | 2x,+214 +x,—- 2x;=3. 3 2x.+3x5+ Xx, — 91,24, Aa + 2A + X;=0, 2x; —2x,+x,—-3x,=4. Ats. (ip IE I ie 12. Nustatykite matricų A ir B rangus: = | 275213 5-2 0 | | 2 …