Excerpt
VIII skyrius KOORDINAČIŲ TRANSFORMAVIMAS. POLINĖS IR PARAMETRINĖS KREIVIŲ LYGTYS $ 48. Koordinačių sistemos keitimas (101). $ 49. Lygiagretus postūmis (102). $ 50. Ko- ordinačių sistemos posūkis (103). $ 51. Kvadratinio trinario grafikas (105). $ 52. Ly- …
Excerpt
mos, sandaugos ir dalmens ribos (234). $ 106. Neaprėžtai didėjančios funkcijos (237). $ 107. Neapibrėžtumai (238). $ 108. Nykstančių funkcijų palyginimas (242). $ 109. Se- ka ir jos riba (244). $ 110. Skaičius e (247). Uždaviniai (251). XV skyrius » …
Excerpt
XXI skyri 9 APIBRĖŽTINIO INTEGRALO PRITAIKYMAI $ 166. Plotas ortogonalinėse koordinatėsė (378). $ 167. Plotas polinėse koordinatė- se (379). $ 168. Kreivės ilgis ortogonalinėse koordinatėse (381). $ 169. Kreivės ilgis polinėse koordinatėse (385). $ 170. …
Excerpt
PRATARMĖ III LEIDIMUI Trečiasis šio vadovėlio leidimas gerokai skiriasi nuo antrojo, nes per septynerius metus, praėjusius po pastarojo pasirodymo, šiek tiek pasikeitė aukštosios matematikos programos studijuojantiems ekonomi- kos ir gamtos mokslus. …
Excerpt
FrIRMOZIBALIS ANALIZINĖS GEOMETRIJOS IR TIESINĖS ALGEBROS PRADMENYS skyrius KOORDINAČIŲ SISTEMA St. Realieji skaičiai Skaičius, kurį galima išreikšti svaikojo skaičiaus m (0, 1, —I, 2, —2, ...) ir natūrinio skaičiaus m (I, 2, 3, p santykiu “, vadinamas …
Excerpt
šaruoė kai skaičiaus 7 skaidinyje yra nors vienas iš pirminių daugiklių 3,7, 11, ..., iš karto gauname begalinę dešimtainę periodinę trupmeną. Pa- S džiuRS —14 E 2212 Kita vertus, įrodoma, kad dešimtainės periodinės trupmenos gali reikšti tik …
Excerpt
realiųjų skaičių yra tokia abipusė atitiktis, tai realieji skaičiai kartais vadina- mi tiesės taškais (arba tiesiog taškais). Tiesė, kurioje nurodytu būdu pavaizduoti realieji skaičiai, vadinama skaičių tiese, o taškas O — jos pradžia. Spindulio OE …
Excerpt
tašką P, atitinkantį skaičių y. Jei per tašką N nubrėšime statmenį abscisių ašiai, o per tašką P — statmenį ordinačių ašiai, tai tie statmenys susikirs vieninte- liame taške M. Šitaip bet kuriai skaičių porai priskiriamas vienas taškas. To- dėl skaičių …
Excerpt
ašys, matytume x ašies teigiamąją kryptį sutampančią su y ašies teigiamąja kryptimi, kai pirmoji pasukama kampu £ prieš laikrodžio rodyklę (4 brėž.). Pradžioje pasirinktosios plokštumos vadinamos koordinačių plokštumo- mis. Plokštuma, kurioje yra x ir y …
Excerpt
3. Raskite tašką, simetrišką taškui (3, —2) pirmojo ketvirčio pusiaukampinės atžvil- giu. Ats. (—2, 3). 4. Kvadrato įstrižainės yra koordinačių ašyse. Raskite šio kvadrato viršūnių koordina- tes, kai jo kraštinė lygi 2a. Ats. (aV7, 0; (0, aV2); (-aV2, 0); …
Excerpt
c-ax b realus skaičius, yra lygties ax +by =c sprendinys (patikrinkite!). Jei a0, tai 1 c-by 7) ——=—py) Kai b0, kiekviena skaičių pora (5, ) „kurioje Ax—bet kuris lygties ax4-by =c sprendiniai yra visos skaičių poros ( Vadinasi, kai bent vienas iš skaičių …
Excerpt
Kadangi a,b,—a,b, £0, tai iš paskutinės lygybės matyti, kad = Gb b) TT a,b;—a;b) Panašiai įsitikiname, kad y gali būti lygus tik skaičiui A Ca AC a,b; —a;,b; Vadinasi, (1) sistema turi vienintelį (įrodymo pradžioje nurodytą) spren- dinį. Teorema įrodyta. …
Excerpt
Jei D=0, o bent vienas iš skaičių D, ir D, nelygus nuliui, tai (1) sistema neturi sprendinių. Tokia sistema vadinama nesuderinta. "Jei D=D,=D,=0, tai (1) sistema turi be galo daug sprendinių. Tokiu : atveju antroji sistemos lygtis gaunama iš pirmosios, …
Excerpt
S.5t Trečios eilės determinantas Iš devynių skaičių galima sudaryti lentelę, turinčią tris eilutes ir tris stulpelius. Tuos skaičius žymėsime simboliais a;;, pirmuoju indeksu i (i=1, 2, 3) nurodydami eilutės numerį, o antruoju indeksu j(j=1, 2, 3) — …
Excerpt
P Pavyzdys. Laikydamiesi nurodytos schemos, apskaičiuosime trečios eilės deter- minantą 5 B ET D=2-6-7+3-1-0+5-4-8—5-6-0—3-4-7—9-1 -8=2410+160—0—84—16=144. S 6. Trečios eilės determinanto savybės Nurodysime kai kurias trečios eilės determinanto savybes, …
Excerpt
nariuose. Visus narius suskirstome į tris grupes taip, kad pirmos grupės na- riai turėtų daugiklį a;,, antros — daugiklį a;3, 0 trečios — daugiklį do3: D=aūx (41503> — 015033) + 055 (A1055 — A 5051) T- Ars (d15031 — G11032). Kadangi kiekvienuose …
Excerpt
Įrodymas. Šiuo atveju reikia palyginti du trečios eilės determinantus: Į "Uu Or Gi3 "Au Gy ES i 3 Ū3p ži 5 7 Az, App GŪ3 | C3 A Ūz5 Tie determinantai ne tik lygūs, bet ir sudaryti iš atitinkamai lygių narių. Tuo įsitikiname, apskaičiavę determinantą D …
Excerpt
lutę ir atitinkamus stulpelius. Kadangi 4;;=(—1)'*/M;, tai sutampa ir ati- tinkamieji adjunktai. Todėl pagal (5) formulę D'=ka; - Aj + kais: A15 + Kaja: Ana. Iškėlus už skliaustų bendrąjį daugiklį k, skliaustuose likusi suma lygi D. Va- dinasi, DO DE Arba …
Excerpt
Įrodymas. Sukeičiame vietomis, pavyzdžiui, antrąją ir trečiąją determi- nanto D eilutes ir gauname determinantą |Au Up Us L Į D mi ia la) [An O Az | Determinantų D ir D' pirmos eilutės elementų minorus pažymėkime Mi; ir Mi; (/=1, 2, 3). Lengva įsitikinti, …
Excerpt
Se Tiesinių lygčių su trimis kintamaisiais sistema Jei a, b, c ir d — realūs skaičiai, o x, y ir z — kintamieji, tai lygtis ax4+by+cz=d vadinama pirmojo laipsnio (arba tiesine) lygtimi su trimis kintamaisiais x, y ir z. Skaičių trejetas, arba taškas, (x4, …
Excerpt
Panašiai galima sudaryti dar du determinantus DOžir* D: 5 ! | Cu (C) Gaz D,= Ū3 Cs Ūsą A Ca Aa | =C A 1-5 A35 1 Cą Aso, Au Up Ci | D A1 Op Ca = Ars Cs Ax5 + Cą Ana. A Ūzp Ca | Teorema. Jeigu (T) lygčių sistemos determinantas D nelygus nuliui, tai ta …
Excerpt
Pirmąją lygybę padauginame panariui iš A,,, antrąją — iš 4A,„, trečiają — iš A,;, ir gautąsias skaičių lygybes sudedame: (a An + 03 An +-05 Ag) X + (Os Ayi + Ars Ani + Aga Ass) Y+- + (as An + 05 An +-035 A3)Z= 01 An + Co A +-C5 Ar. Pirmuose skliaustuose …
Excerpt
Be įrodymo pateikiame dar du teiginius, liečiančius (7) lygčių sistemos sprendinių skaičių. Jei D=0, o bent vienas iš determinantų D,, D,ir D, nelygus nuliui, tai (7) sistema neturi sprendinių. Tokia sistema vadinama nesuderinta. Jei ne tik D=0, bet ir …
Excerpt
III skyrius VEKTORINĖS ALGEBROS ELEMENTAI S 8. Skaliarai ir vektoriai Dydžiai, su kuriais tenka susidurti mechanikoje, fizikoje ir kituose taikomuosiuose moksluose, būna dviejų rūšių. Tokie dydžiai, kaip ilgis, plotas, tūris, masė, temperatūra ir pan., …
Excerpt
Du vektorius laikome lygiai s, jeigu jie yra-V) vienodo ilgio, 2) lygiagretūs (yra vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse) ir 3) vienodų krypčių. 6 brėžinyje pavaizduoti du lygūs vektoriai a ir b. Vektoriai a ir nely- gūs, nes nesutampa jų kryptys, …
Excerpt
> —— iš 1 presipio lengvai įsitikiname, kad OA+AC= OB +BC. Tą lygybę, pastebėję, kad BC =a, galime rašyti taip: a+b=b-+a. | Parašytoji lygybė išreiškia vektorių sudėties komutatyvumo dėsnį: dviejų "vektorių suma nepriklauso nuo to, kurį vektorių laikome …
Excerpt
š Remdamiesi šiuo dėsniu, trijų (ir daugiau) vektorių sumą rašome be skliaustų: a+b-+-c. Atimtis apibrėžiama, kaip veiksmas, atvirkštinis sudėčiai: vektorių a ir b skirtumu, žymimu simboliu a—b, vadinamas toks vektorius, kurį pridėję prie b, gauname a. > …
Excerpt
Iš sandaugos Ja apibrėžimo matyti, kad vektoriai a ir b=Ja yra koli- nearūs. Lengva įsitikinti, kad teisingas ir atvirkštinis teiginys: Jei nenuliniai vektoriai a ir b kolinearūs, tai galima rasti skaičių A, kad galiotų lygybė b= =2a. Pakanka imti al=2, …
Excerpt
s 11. Vektorių projekcijos Imkime k krypties tiesę /, kurią vadinsime projek- cijų ašimi, ir bet kurį vektorių Mikė a, nestatmeną tiesei /. Per šio vektoriaus pradžios ir galo taškus nubrėžkime dvi plokštumas, statmenas projekcijų ašiai (12 brėž.). …
Excerpt
Įrodysime, kad dviejų vektorių sumos projekcija kurioje nors ašyje lygi tų vektorių projekcijų sumai, t. y. iš lygybės c=a+b išplaukia lygybė pr,c=pr,„a+pr,b. Tuo tikslu projekcijų ašyje + imkime tašką M (14 brėž.) ir nubrėžkime —> —> — vektorius MN =air …