Excerpt
platesniuose vadovėliuose* įrodoma, kad nurodytomis sąlygomis funkcija X=g (7) yra tolydinė intervale [c, d]. Šioje knygoje tais teiginiais remsimės be įrodymo. Teorema. Tarkime, kad funkcija y=f (x) intervale |a, b] yra tolydinė ir monotoniška. Jeigu ji …
Excerpt
s 121. Rodiklinių ir logaritminių funkcijų išvestinės 1. Iš pradžių imsime /ogaritminę funkciją y =10g,x(a> 0, a+1; O0 …
Excerpt
Logaritminės funkcijos x=10g,y išvestinę galima parašyti, remiantis (3) formule, tik reikia turėti mintyje, kad šiuo atveju argumentas yra y (ne x). Gausime A : L pilnai > Dabar, pasinaudoję (2) formule iš praeito paragrafo, randame funkcijos y=a* …
Excerpt
Reikšmės x= + I tenka išskirti, nes atitinkamoms reikšmėms y = + = išves- tinė x„=cos y lygi nuliui. Vadinasi, : (arcsin 2). = Žas . V 1—x2 2. Funkcija y=arccos x (—1 + 1 l Les jkės ŽŽ = vV=——————— x Xy sk s lttę?y | ta Vadinasi, (arcig x) "= . 4. …
Excerpt
$ 123. Pagrindinių išvestinių lentelė Iki šiol ($$ 119, 121, 122) radome kai kurių pagrindinių elemen- tariųjų (trigonometrinių, rodiklinių, logaritmini ų ir atvirkštinių trigonometri- nių) funkcijų išvestines. Lengva pastebėti, kad dar neturime …
Excerpt
Lu) > UV pa Ga 5. y=log, x E> iu j4. J 2 = i £ I 1 + y=lnx i Ei. yv = tuv EE EEE“ + . ; - U / + 1 7, 1 4 E 1-0 6. y=sin x y'= cos x Bs aŽ8 = "EE 7. y=co0s x y'= —sinx 2 s ji t ' b Ig Ž1U-VI- OUV 8. y=tgx K"=asx 9. p ciZ X y=— > 7 sinž x Ž , įk 10. …
Excerpt
o funkcija y=c - g (x) — pokytį Ay=c-g(x+Ax)-c- g (x). Iš tų dviejų lygybių matyti, kad Ay=c - Au. Todėl Duos Az 4 06 ož š A : 2 2 p > . Kadangi riba lim ai egzistuoja (sąlygoje pasakyta, kad funkcija u Ax—0 turi išvestinę), tai egzistuoja ir riba : - Ay …
Excerpt
Todėl egzistuoja ir riba Ay An Av lim — = lim — + lim — =u+7'. ax> 0 AX Axso AX Aso AX Vadinasi, y =(0+9)=u +v. Suprantama, šį rezultatą galima taikyti bet kuriam funkcijų skaičiui. Be to, lengva įsitikinti, kad funkcijos y=u—v išvestinė bus y'=u'— vy". …
Excerpt
Pavyzdžiai. 5. Remdamiesi išvestąja formule, rasime funkcijos y=sin x cos x išves- tinę: v'=(sin x cos x)'=(sin x)" cos x-+-sin x (cos x)'=cos? +— —sinžx=cos 2x. 6. Panašiai randama ir funkcijos y=3? In x išvestinė: 1 y'=(x2)Y In x +? (In x) =2x In x+Ax2- …
Excerpt
Vadinasi, "O — "P yž Pavyzdžiai. 9. Naudodami išvestąją taisyklę, rasime funkcijos y=tgx= = išvestinę. B „(sinxV (sin x) cos x—sinx-(cosx/ cosžx+sinž x 1 r (Z2*) x cos x T cosix T losix Matome, kad šis rezultatas sutampa su aukščiau gautuoju ($ 119). Šš …
Excerpt
funkcijos y=1n sin x išvestinę? Į šį klausimą ir atsako toliau nurodoma tai- syklė. V. Tarkime, kad funkcija u=g (x) kuriame nors taške x, turi išvestinę Us =8 (Xo), 0 funkcija y=f (u) atitinkamame taške u,)=g (x,)— išvestinę m =J (ug). Tada sudėtinė …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Remdamiesi išvestąja formule, apskaičiuosime funkcijos y=1n sin x išvestinę. Sudėtinė funkcija y=1In sin x yra sudaryta iš funkcijų y=1n u ir u=s1n x, kurių išves- tines žinome: 1 Ti go uz=COS X. Priešpaskutinėje lygybėje vietoj w parašome …
Excerpt
išvestinę, tenka du kartus pritaikyti (6) formulę 6. Norint rasti funkcijos y=1n tg 5 s 1 ( 55 | l l (ž ) y= «(E = . + —| = 2 X 2 t; ž 10 19 2 cos? = 2 1 ET Xi Ir ST 2" sinx 3 2 išvestinę, pritaikome keletą tai- 8. Skaičiuodami funkcijos y=1n (x+ Į/ 1732) …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Funkcija y=x* galima laikyti apibrėžta intervale ]— 0, + »—[. Jos išvestinė y“/=5x* egzistuoja kiekviename to intervalo taške. 3 ja 2. Funkcija y=Vx=x? irgi apibrėžta intervale ]— 00, +00[, bet jos išvestinė 2 „Ala 1 =—X* -- 3 Ž — 3Va taške …
Excerpt
yra sudėtinė funkcija, apibrėžta intervale [a, 6]. Vadinasi, nurodytomis sąly- gomis (8) lygčių sistema išreiškia funkciją y=( (o (6))- Funkcijos y=( (o 64) išvestinę y; reikėtų skaičiuoti, kaip sudėtinės funkcijos išvestinę, bet praktiškai ne visada tai …
Excerpt
Pirmos eilės išvestinės išvestinė vadinama antros eilės išvestine, arba antrąja išvestine, ir žymima y“ arba f" (x). Vadinasi, "r , , FG)=U 61. Antros eilės išvestinės išvestinė vadinama trečios eilės išvestine, arba trečiąja išvestine, ir žymima y" arba …
Excerpt
4. Funkcijos y=sin x išvestinę y'=cos x galima parašyti taip y'= S sin( XxX+= =). Vadinasi, y=sin x išvestinė gaunama, prie argumento x pri- a T dėjus D Isitikinkime, kad antroji funkcijos v=sin x išvestinė gaunama, prie argu- mento pridėjus 2- 5 Ė V T 1 …
Excerpt
Ats. Uždaviniai 1. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, apskaičiuokite šių funkcijų išvestines: 3 a) y=x; e) y= Vx; "a l S +£ 2 T b) x;= 3 d) B 2. Remdamiesi formule (x*)=x*—1, parašykite šių laipsninių funkcijų išvestines: a) y=x*; d) y=Vx; 1 1 "S 12 3 5 ZŽ …
Excerpt
Raskite šių sudėtinių funkcijų išvestines: 15. y=(1— x2)5. Ats. — 10x (1 —x2)*. gi x 16. y= V | 132. Ais a l Vi+a 172 - Sino Ats. 3cos 3x. 18. y=cosž x. Ats. —sin 2x. 2sinx 19. y tpėa Ats. ——. A ž COsž x o 31nž 20. y= nx: Ats. 2 Ė 21. y=1n cos x. Ats. —tg …
Excerpt
: X ) 36. y= V 1 —xžarcsin x—x. S ViZa Aš g 37. y=x arct 2 m i (arctg x)2. “ A = 7 . g 2 1 5 arctg x)“. Is. 11 “83 akis ] 1 l+x I 1 = į n r + arctg a Ats. > gai Į 39. y=arctg (x+ VI 133). > ZA) - E 40. y=xln (x+ V 1 1x)— V 112. * Ats. In(x+ V 1 +4*). 1 1 …
Excerpt
„Ribinė padėtis M,T, prie kurios artėja kreivės I kirstinė MM, kai taškas M kreive artėja prie taško Mą, vadinama tos kreivės liestine taške Mą. Jei duotoji kreivė yra funkcijos y =f (x) grafikas (146 brėž.), tai liestinės taške M, (Xą, Vo) padėčiai …
Excerpt
Žinant liestinės krypties koeficientą, galima parašyti jos lygtį. Kadangi liestinė yra tiesė, einanti per lietimosi tašką M, (x, V9), tai jos lygtis ($ 11) bus šitokia: Y-Yo= m (X—3ų). Šioje lygtyje įrašę m=f' (xa) ir Yo =f (Xo), gauname Y-J (X) =" (X) …
Excerpt
Tei cc tai f£(4)-f(c) > 0 x-c i todėl ir lm ZAZ ų x—-c-0 7 f ()> 0. Kadangi f" (c)> 0 ir f" (c) …
Excerpt
Jei M =m, tai visas x reikšmes atitinka tik viena funkcijos reikšmė f (x) = = M. Vadinasi, funkcija yra pastovi, todėl f' (x) =0 visame intervale Ja, b[. Šiuo atveju c gali būti bet kuris skaičius iš intervalo Ja, b[. Jei M > m, tai abi reikšmės M ir m …
Excerpt
) Aiškindami Lagranžo teoremos geometrinę prasmę, pastebėsime, ka f(6)-f (a) b-a (150 brėž.) yra kreivės y=f (x) stygos AB krypties koeficientas, o f" (c) —tos kreivės liestinės taške, turinčiame abscisę x =c, krypties koeficientas. Vadinasi, Lagranžo …
Excerpt
Įrodymas. Imkime vieną to intervalo tašką x, ir bet kurį kitą tašką x. Uždarame intervale [x4, x] arba [x, x,] yra patenkintos abi Lagranžo teoremos sąlygos. Todėl turime lygybę 1(0)-f (40) =f (0) (*—x), kurioje c yra tarp x ir x;. Kaip nurodyta sąlygoje, …
Excerpt
išplaukia nelygybė f(a) 0. Tai ir reikėjo įrodyti. Įrodytąją teoremą lengva paaiškinti brėžiniu (151 brėž.). Didėjančios funkcijos grafikas kyla aukštyn, todėl jo liestinės su teigiamąja abscisių pus- aše sudaro smailius kampus (kai kurios liestinės gali …
Excerpt
Panašias išvadas galima padaryti ir apie mažėjančią funkciją. Primename, kad funkciją f(x) vadiname mažėjančia intervale Ja, b[, kai iš nelygybių …
Excerpt
yra teisinga, kai (x, y) priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai ir |x-a| Oišvedame nelygybę x*--y*> 2- |x| - | "Ž IB arba |2xy| …
Excerpt
Vadinasi, kai taškas (x, y) prie taško (0, 0) artėja tiese y= x, tos funkcijos reikšmės artėja m prie Tim“ Kai (x, y) prie taško (0, 0) artėja skirtingomis tiesėmis (keičiant m). funk- cijos reikšmės artėja prie skirtingų skaičių. Todėl tos funkcijos riba …