Excerpt
Funkcija x=( 11 LV, kaip ir kiekviena didėjaoti bei aprėžta funkci- ja, turi baigtinę ribą, kuri visada žymima raide'e: lim (1+2|'=e. (8) Pateikiame kai kurių funkcijos x„= (1 +) reikšmių lentelę T | | n Bt L | 100 | 00 | 10000 2 | (142 y || 24| …
Excerpt
į :. Gavome labai svarbų rezultatą, kuriuo toliau dažnai teks naudotis: 1 lim (1 + z)* =e. (9) z—-0 = Pastaba. Sakykime, kad z=x (x) ir kad lim « (x)=0. Tada, remdamiesi (9) lygybe, x—-a galime rašyti i I lim [1 +4 (51 * 0 =lim(1+7)7 =e. x—a z—0 Tuo …
Excerpt
Įsitikinę, kad čia neapibrėžtumas 1“, rašome lygybę cos x=1+zir pastebime, kad z—0, kai x—0. Tada sin? x išreiškiame kintamuoju z: sinžx=1—cos?x=1—(1472)?= —27—22, Vadinasi, Pk E TA pk A lim (cos x) *!"* * =lim (147) —22—-= a t a 2tz=e PR — x—U z—0 ==: 0 …
Excerpt
> a „žiktųjų funkcijų ribas, kai x—a, galima apskaičiuoti, skaitiklį ir vardiklį padzijų ar iš kito reiškinio, kurio riba (kai x—a) lygi nuliui. 1 A EL 2 BA? i 2 1 = a Aaa s „ 8x-6 Am s) im pr8 i L E=TI pironi A 152 LN 5-2 4): a ae al Kia COs x—sin x | d) …
Excerpt
8. Iracionalumą nukėlę į vardiklį ir pritaikę 7 uždavinio nurodymą, apskaičiuokite šias ribas (neapibrėžtumas o0— 00); a) lim (V x*13x—x); "i lim (VBRT3x- V R1x); 17—-> +0 4 x—10 —— 3 2 šio Varda (x+6)-x); | d) lim x2 (VB41- V-I). į x7—1+0 [-— oi 0 Ats. …
Excerpt
1 17. Naudodamiesi formule = (1 +97 =e, apskaičiuokite šias ribas (neapibrėžtu- mas 1“); 1 E x + a) lim (11+2x)*; . li (7): ) a ) 9 o x+! 1 1 7 f lim (cos 2x) SM * b) US (1-3x) + I 9 Iim (1+3)*: 78) lim (tg x)82*; a ge 4 1 3 COS X Vsin' x - 1 „ay = - e Ža …
Excerpt
Dabar tarkime, kad funkcija f(x) apibrėžta ak o ir imkime "to intervalo tašką x4. Funkcijos reikšmė tame taške yra skaičius AOca)S Jei egzistuoja riba lim f(x), tai dažniausiai (bet ne visada!) ji lygi funkcijos. reikš- X-> Xa mei f (x,). Tokiais atvejais …
Excerpt
s 112. Funkcijos trūkiai Pracitame paragrafe susitarėme funkciją f (x) vadinti tolydine taške x,, kai Tim f(x) = (6), i bet kartu pabrėžėme, kad ta lygybė kai kada gali būti neteisinga. Jei funkcijai f(x) (1) lygybė nepritaikoma, tai sakome, kad ši …
Excerpt
Kai funkcijos riba taške x; iš kairės arba iš dešinės (arba iš abiejų pusių) neegzistuoja, o taip pat tuo atveju, kai bent viena iš jų yra begalinė, sakome, kad funkcija taške „X, turi antros rūšies trūkį. Pavyzdžiui, funkcija =28 kai x 0, Jix)= S | 0, …
Excerpt
Įrodymas. Tarkime, kad funkcija y=f (x) yra tolydinė taške x,. Tada lim f(x) =/ (x), (1) arba E lim [f(x)-—/(x4)]= 0. x-x—0 212 žo Paskutiniąją lygybę, remdamiesi pokyčių žymėjimais, galima parašyti šitaip; lim Ay=0. (2) Az - Vadinasi, tolydinės funkcijos …
Excerpt
S 114. Funkcijų sumos, sandaugos ir dalmens tolydumas Įrodysime teiginį, kuriuo remiantis iš žinomų tolydinių funk- cijų galima sudarinėti naujas tolydines funkcijas. Teorema. Jei funkcijos f (x) ir g (x) yra tolydinės taške xą, tai suma f (x) +- g (x) ir …
Excerpt
ninė funkcija x", kai 2— natūrinis skaičius, irgi yra tolydinė intervale ]— co. + =0[. Iš to jau galima spręsti, kad sveika racionali funkcija a, a x 1ra, x)... ia, - „xa, kaip tolydinių funkcijų suma, yra tolydinė intervale ]—- 0, + |. Racionalioji …
Excerpt
Todėl išsiaiškinsime, kaip reikia suprasti funkcijos tolydumą intervalo [a, 5] galuose a ir b. į Pastebėję, kad argumentas x gali artėti prie a tik iš dešinės (x> a), funk- ciją f (x) vadinsime t« tolydine taške a iš dešinės, jei lim f(x)=/ (a). 2 2 …
Excerpt
Uždaviniai i Įrodykite, kad funkcija y=cos x yra tolydinė kiekviename intervalo ]— 0, + Į taške: 2. Pasirinkite tokį skaičių A, kad funkcija y=/f (x) būtų tolydinė taške x= I, kai | xž—-l ks si TEST TSS, X , f=, *-1 | A, kaka —lo Ats: A=2: 3. Pasirinkite …
Excerpt
XVI , s skyrius FUNKCIJOS IŠVESTINĖ SLI Judančio taško greitis Imkime tiesę, kurioje nustatyta kryptis, ir tarkime, kad šia tiese juda taškas M (143 brėž.). Pasirinkę pradžios tašką O, galėsime nuro- dyti taško M padėtį, jei žinosime šio taško abscisę s, …
Excerpt
K Apskaičiuosime kritimo greitį y momentu /=/,, kai materialusis taškas praeina pro taška M, (143 brėž.). Per pirmąsias t; sekundžių materialusis taškas nuėjo s,= - tž metru. Praėjus dar Ar (s) (momentu /=1,+A+), jo nueitas kelias bus s,+A5 -Ž (14+ Ar)2. …
Excerpt
Dabar imkime gautojo santykio ribą, kai Ax—0 (tada dėl funkcijos to- lydumo taške x; pokytis Ay artės prie nulio). Jei minimoji riba egzistuoja, tai ji vadinama funkcijos y=/ (x) išvestine taške xą. Ž Vadinasi, funkcijos y=f (x) išvestine (x atžvilgiu) …
Excerpt
3. Dar rasime funkcijos y= Į/ x išvestinę. Šios funkcijos pokytis, atitinkąs argumento pokytį Ax, išreiškiamas sitaip: 22 Eos iių kas "SN Ay= Vx1Ax- V x,= -——ž Vx+Ax+ = (skaitiklį ir vardiklį dauginame iš Vx,+Ax4+Ųx5) Vadinasi, AE Ax VaiAx+VM Ay 1 1 į …
Excerpt
ir sudarome pokyčių santykį sin Ža Ay Ax B — Ap 4 | 2 > Pažymėję 3 =z ir pastebėję, kad z—0(, kai Ax—0, gauname 1 =“ 7 Ax LU —— lim - — Ax—0 Ax z—0 nų SE ($ 103). Be to, pasinaudoję funkcijos cos x tolydumu, turime lim cos (++25)=c0s [ lim (1+ E] =cos- …
Excerpt
Perdirbame gautąją Ay išraišką: sin (x Ax) o „Sinx sin (x+ Ax) cos x—cos (x + Ax) sin x Ais cos (x + Ax) COS X cos (x+ Ax) cos x Skaitiklyje gautoji išraiška yra dviejų argumentu x -Ax ir x skirtumo sinusas, todėl sin Ax cos (x+Ax)cosx | Ay= sin Ax Ay *i2 …
Excerpt
platesniuose vadovėliuose* įrodoma, kad nurodytomis sąlygomis funkcija X=g (7) yra tolydinė intervale [c, d]. Šioje knygoje tais teiginiais remsimės be įrodymo. Teorema. Tarkime, kad funkcija y=f (x) intervale |a, b] yra tolydinė ir monotoniška. Jeigu ji …
Excerpt
s 121. Rodiklinių ir logaritminių funkcijų išvestinės 1. Iš pradžių imsime /ogaritminę funkciją y =10g,x(a> 0, a+1; O0 …
Excerpt
Logaritminės funkcijos x=10g,y išvestinę galima parašyti, remiantis (3) formule, tik reikia turėti mintyje, kad šiuo atveju argumentas yra y (ne x). Gausime A : L pilnai > Dabar, pasinaudoję (2) formule iš praeito paragrafo, randame funkcijos y=a* …
Excerpt
Reikšmės x= + I tenka išskirti, nes atitinkamoms reikšmėms y = + = išves- tinė x„=cos y lygi nuliui. Vadinasi, : (arcsin 2). = Žas . V 1—x2 2. Funkcija y=arccos x (—1 + 1 l Les jkės ŽŽ = vV=——————— x Xy sk s lttę?y | ta Vadinasi, (arcig x) "= . 4. …
Excerpt
$ 123. Pagrindinių išvestinių lentelė Iki šiol ($$ 119, 121, 122) radome kai kurių pagrindinių elemen- tariųjų (trigonometrinių, rodiklinių, logaritmini ų ir atvirkštinių trigonometri- nių) funkcijų išvestines. Lengva pastebėti, kad dar neturime …
Excerpt
Lu) > UV pa Ga 5. y=log, x E> iu j4. J 2 = i £ I 1 + y=lnx i Ei. yv = tuv EE EEE“ + . ; - U / + 1 7, 1 4 E 1-0 6. y=sin x y'= cos x Bs aŽ8 = "EE 7. y=co0s x y'= —sinx 2 s ji t ' b Ig Ž1U-VI- OUV 8. y=tgx K"=asx 9. p ciZ X y=— > 7 sinž x Ž , įk 10. …
Excerpt
o funkcija y=c - g (x) — pokytį Ay=c-g(x+Ax)-c- g (x). Iš tų dviejų lygybių matyti, kad Ay=c - Au. Todėl Duos Az 4 06 ož š A : 2 2 p > . Kadangi riba lim ai egzistuoja (sąlygoje pasakyta, kad funkcija u Ax—0 turi išvestinę), tai egzistuoja ir riba : - Ay …
Excerpt
Todėl egzistuoja ir riba Ay An Av lim — = lim — + lim — =u+7'. ax> 0 AX Axso AX Aso AX Vadinasi, y =(0+9)=u +v. Suprantama, šį rezultatą galima taikyti bet kuriam funkcijų skaičiui. Be to, lengva įsitikinti, kad funkcijos y=u—v išvestinė bus y'=u'— vy". …
Excerpt
Pavyzdžiai. 5. Remdamiesi išvestąja formule, rasime funkcijos y=sin x cos x išves- tinę: v'=(sin x cos x)'=(sin x)" cos x-+-sin x (cos x)'=cos? +— —sinžx=cos 2x. 6. Panašiai randama ir funkcijos y=3? In x išvestinė: 1 y'=(x2)Y In x +? (In x) =2x In x+Ax2- …
Excerpt
Vadinasi, "O — "P yž Pavyzdžiai. 9. Naudodami išvestąją taisyklę, rasime funkcijos y=tgx= = išvestinę. B „(sinxV (sin x) cos x—sinx-(cosx/ cosžx+sinž x 1 r (Z2*) x cos x T cosix T losix Matome, kad šis rezultatas sutampa su aukščiau gautuoju ($ 119). Šš …