Excerpt
funkcijos y=1n sin x išvestinę? Į šį klausimą ir atsako toliau nurodoma tai- syklė. V. Tarkime, kad funkcija u=g (x) kuriame nors taške x, turi išvestinę Us =8 (Xo), 0 funkcija y=f (u) atitinkamame taške u,)=g (x,)— išvestinę m =J (ug). Tada sudėtinė …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Remdamiesi išvestąja formule, apskaičiuosime funkcijos y=1n sin x išvestinę. Sudėtinė funkcija y=1In sin x yra sudaryta iš funkcijų y=1n u ir u=s1n x, kurių išves- tines žinome: 1 Ti go uz=COS X. Priešpaskutinėje lygybėje vietoj w parašome …
Excerpt
išvestinę, tenka du kartus pritaikyti (6) formulę 6. Norint rasti funkcijos y=1n tg 5 s 1 ( 55 | l l (ž ) y= «(E = . + —| = 2 X 2 t; ž 10 19 2 cos? = 2 1 ET Xi Ir ST 2" sinx 3 2 išvestinę, pritaikome keletą tai- 8. Skaičiuodami funkcijos y=1n (x+ Į/ 1732) …
Excerpt
Pavyzdžiai. 1. Funkcija y=x* galima laikyti apibrėžta intervale ]— 0, + »—[. Jos išvestinė y“/=5x* egzistuoja kiekviename to intervalo taške. 3 ja 2. Funkcija y=Vx=x? irgi apibrėžta intervale ]— 00, +00[, bet jos išvestinė 2 „Ala 1 =—X* -- 3 Ž — 3Va taške …
Excerpt
yra sudėtinė funkcija, apibrėžta intervale [a, 6]. Vadinasi, nurodytomis sąly- gomis (8) lygčių sistema išreiškia funkciją y=( (o (6))- Funkcijos y=( (o 64) išvestinę y; reikėtų skaičiuoti, kaip sudėtinės funkcijos išvestinę, bet praktiškai ne visada tai …
Excerpt
Pirmos eilės išvestinės išvestinė vadinama antros eilės išvestine, arba antrąja išvestine, ir žymima y“ arba f" (x). Vadinasi, "r , , FG)=U 61. Antros eilės išvestinės išvestinė vadinama trečios eilės išvestine, arba trečiąja išvestine, ir žymima y" arba …
Excerpt
4. Funkcijos y=sin x išvestinę y'=cos x galima parašyti taip y'= S sin( XxX+= =). Vadinasi, y=sin x išvestinė gaunama, prie argumento x pri- a T dėjus D Isitikinkime, kad antroji funkcijos v=sin x išvestinė gaunama, prie argu- mento pridėjus 2- 5 Ė V T 1 …
Excerpt
Ats. Uždaviniai 1. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, apskaičiuokite šių funkcijų išvestines: 3 a) y=x; e) y= Vx; "a l S +£ 2 T b) x;= 3 d) B 2. Remdamiesi formule (x*)=x*—1, parašykite šių laipsninių funkcijų išvestines: a) y=x*; d) y=Vx; 1 1 "S 12 3 5 ZŽ …
Excerpt
Raskite šių sudėtinių funkcijų išvestines: 15. y=(1— x2)5. Ats. — 10x (1 —x2)*. gi x 16. y= V | 132. Ais a l Vi+a 172 - Sino Ats. 3cos 3x. 18. y=cosž x. Ats. —sin 2x. 2sinx 19. y tpėa Ats. ——. A ž COsž x o 31nž 20. y= nx: Ats. 2 Ė 21. y=1n cos x. Ats. —tg …
Excerpt
: X ) 36. y= V 1 —xžarcsin x—x. S ViZa Aš g 37. y=x arct 2 m i (arctg x)2. “ A = 7 . g 2 1 5 arctg x)“. Is. 11 “83 akis ] 1 l+x I 1 = į n r + arctg a Ats. > gai Į 39. y=arctg (x+ VI 133). > ZA) - E 40. y=xln (x+ V 1 1x)— V 112. * Ats. In(x+ V 1 +4*). 1 1 …
Excerpt
„Ribinė padėtis M,T, prie kurios artėja kreivės I kirstinė MM, kai taškas M kreive artėja prie taško Mą, vadinama tos kreivės liestine taške Mą. Jei duotoji kreivė yra funkcijos y =f (x) grafikas (146 brėž.), tai liestinės taške M, (Xą, Vo) padėčiai …
Excerpt
Žinant liestinės krypties koeficientą, galima parašyti jos lygtį. Kadangi liestinė yra tiesė, einanti per lietimosi tašką M, (x, V9), tai jos lygtis ($ 11) bus šitokia: Y-Yo= m (X—3ų). Šioje lygtyje įrašę m=f' (xa) ir Yo =f (Xo), gauname Y-J (X) =" (X) …
Excerpt
Tei cc tai f£(4)-f(c) > 0 x-c i todėl ir lm ZAZ ų x—-c-0 7 f ()> 0. Kadangi f" (c)> 0 ir f" (c) …
Excerpt
Jei M =m, tai visas x reikšmes atitinka tik viena funkcijos reikšmė f (x) = = M. Vadinasi, funkcija yra pastovi, todėl f' (x) =0 visame intervale Ja, b[. Šiuo atveju c gali būti bet kuris skaičius iš intervalo Ja, b[. Jei M > m, tai abi reikšmės M ir m …
Excerpt
) Aiškindami Lagranžo teoremos geometrinę prasmę, pastebėsime, ka f(6)-f (a) b-a (150 brėž.) yra kreivės y=f (x) stygos AB krypties koeficientas, o f" (c) —tos kreivės liestinės taške, turinčiame abscisę x =c, krypties koeficientas. Vadinasi, Lagranžo …
Excerpt
Įrodymas. Imkime vieną to intervalo tašką x, ir bet kurį kitą tašką x. Uždarame intervale [x4, x] arba [x, x,] yra patenkintos abi Lagranžo teoremos sąlygos. Todėl turime lygybę 1(0)-f (40) =f (0) (*—x), kurioje c yra tarp x ir x;. Kaip nurodyta sąlygoje, …
Excerpt
išplaukia nelygybė f(a) 0. Tai ir reikėjo įrodyti. Įrodytąją teoremą lengva paaiškinti brėžiniu (151 brėž.). Didėjančios funkcijos grafikas kyla aukštyn, todėl jo liestinės su teigiamąja abscisių pus- aše sudaro smailius kampus (kai kurios liestinės gali …
Excerpt
Panašias išvadas galima padaryti ir apie mažėjančią funkciją. Primename, kad funkciją f(x) vadiname mažėjančia intervale Ja, b[, kai iš nelygybių …
Excerpt
yra teisinga, kai (x, y) priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai ir |x-a| Oišvedame nelygybę x*--y*> 2- |x| - | "Ž IB arba |2xy| …
Excerpt
Vadinasi, kai taškas (x, y) prie taško (0, 0) artėja tiese y= x, tos funkcijos reikšmės artėja m prie Tim“ Kai (x, y) prie taško (0, 0) artėja skirtingomis tiesėmis (keičiant m). funk- cijos reikšmės artėja prie skirtingų skaičių. Todėl tos funkcijos riba …
Excerpt
Pabrėšime, kad čia taškas (x, y) artėja prie taško (x4, y,) bet kuria kryptimi. Atskiru atveju (x, y) prie (Xą, g) gali artėti tiese, lygiagrečia x ašiai, arba tiese, lygiagrečia y ašiai (211 brėž.): lim f(x, Yo) =f (X Yo), limf (Xos V) = (X Yo): X—> Xa …
Excerpt
Pavyzdžiai. |. Rasime funkcijos z=x?42x2y+y2 dalines išvestines: 0z Sk =3x24+4xy (y=const), 20425 (x=const). X 2. Imsime funkciją z=arctg £ (x+0) ir apskaičiuosime jos dalines išvestines: 0z 1 ( 2 y pi lil (y=const), 2 2 2 0x 1+(*) = Sms x UAZ 22 ( t 0 | …
Excerpt
Įrodymas. Funkcijos pokytį Az, atėmę ir pridėję f (x0, Yo+Ay), išreiš- kiame šitaip: Az= [f (x4+A5x, y0+Ay)—f (xos Ya +A5)]+-17 (os Yo+Ay)—/ (o Yo): (5) Skirtumas, esantis pirmuose skliaustuose, yra vieno kintamojo x funk- cijos f (x, y, +Ay) pokytis. …
Excerpt
s 178. Sudėtinės funkcijos ir neišreikštinės funkcijos išvestinės Tarkime, kad funkcijos z=f (x, y) argumentai x ir y yra kinta- mojo 7 funkcijos x=9p (t), y=Ų (:). Kiekvieną / reikšmę atitinka x ir y reikšmių pora (x, y). Sakykime, kad taš- kas (x, y) …
Excerpt
arba , , , Zi =Z25* X Zr (7) Tai ir reikėjo įrodyti. Pavyzdys. Imkime funkciją z=x?— 2, ir tarkime, kad x=cos £, y=sin /. Šiuo atveju z+=2x, zy= —Ž2y, x;= —Sin f, y; =cos f. Todėl, remiantis (7) formule, z;=2x-(—sin £)—2y - cos t. Iš čia, įstatę duotąsias …
Excerpt
vietoj / 1 —x2 parašykime — y. Pasirodo, kad abiem atvejais y; bus vieno- dai išreikšta kintamaisiais x ir y, būtent, y/ = = Šį rezultatą galima gauti ir kitaip. Tuo tikslu tarsime, kad lygtyje xž+y2—1=0 vietoj y parašėme Ų1—xA? arba — V 1 —x*. Tada …
Excerpt
Turėdami mintyje, kad x„= L, iš pastarosios lygybės, kai F; (x,y) +0, gauname + Fxla, 9) EEB Kadangi funkcija F (x, y) — lygties F (x, y)=0 kairioji pusė — žinoma, tai žinoma ir y;, bet ji lieka išreikšta dviem kintamaisiais x ir y. Pavyzdys. Rasime …
Excerpt
Teorema. Jeigu funkcija z=f (x, y) diferencijuojama taške (x;. Yo). tai egzistuoja dalinės išvestinės f + (xo, Yo) ir fy (xa, Yo). Be to, fi. (xa, Yy)= A. A so V 0) =B. Įrodymas. Kadangi z=/ (x, y) diferencijuojama taške (x,, y,), tai jos pokytis Az= =f …
Excerpt
$ 177 įrodėme, kad funkcijos z=f (x, y) pokytis išreiškiamas formule Az=fž (x Jo): Ax +-f, (*0, Yo): Ay+4- Ax+-B- Ay, bet ją išvesdami tarėme, kad dalinės išvestinės f+(x, y) ir f,(x, y) egzistuoja taške (x4. Jo) ir jo aplinkoje, o pačiame taške (xą, Yy) …
Excerpt
Gautoji formulė bus tuo tikslesnė, kuo mažesni pokyčiai Ax ir Ay. Ją patogu naudoti funkcijos reikšmės f(x4+Ax, y,+Ay) apskaičiavimui, kai žinome funkcijos f(x, y) ir jos dalinių išvestinių reikšmes taške (70): Pavyzdys. Rasime stačiakampio įstrižainės …