Excerpt
15 ; Įrodymas. Pasirinkime aeką [v-- ardo Č A aivės JC uždarinys), konve.guojančią į X“ „ Pagal. 2.2 teoremą yra tokios hiperplokštumos Ed e že): k-= 14,1,3,..., kurios tenkina …
Excerpt
14 J! yra iškiloj', o X=O0 nėra vidinis taškas. Iš 2,2 ir 2.3 teoremų išplaukia, kad yra hiperplokštumą Ee, 0), senkinanti sąlygą …
Excerpt
40 visi kontūro apskritimo taškai. Tiesė kraštutinių Luškų neturi. | i E Aibės OC visų kraštutinių taškų aibę žynėsime Ž( L ). Suformuluosims dvi svarbias teoremas (Įrodymus E5.[1] J 4.1 teoremą. Uždara iškiloji aibė < R, turi bent vieną kra tutinį tašių …
Excerpt
kai X ye T, a eC0;1]. 5,1 teoremą (Jenseno nel; ybė). Jeigu “e = iškiloji "funkcija iškilojoje sibėje Te R Ate K, e S Cm 4, E 1 Į kai bet kuriam mM=14,. c=1 teisinga Amino ę (Za, x)€ 2 G; (xi). (5.2) Įrodymas. Taikysime matematinės indukcijos metodą 4. …
Excerpt
212 4s0reng- Tartins, tat EC A, pra iš ojoti, o Yo bet kuri erdvės AŽ, aibė. Jeigu funkoija Ziaių) aibėje x J yra iškiloji V atžvilgiu ir aprėšta iš viršaus 1 atžvilgiu, tei funkcija (E0)- sa Log) yra iškiloji aibėje J, d Izočymac. Pasiz'akime Xe IC 1 m e …
Excerpt
19 : 6.Diferencijuojamų Tu nkoeijių "164kidnmno (Kr itorijai 6.1 teoremą. Diferencijuojama iškilojoje aibėje LE B. funkcija i yra iškiloji tada ir tik tada, „ai bet kurlam ae io (Ct) > L0> )+ KL), a e IC tea) Įrodymas. Tarkime, kad (7 yra iškiloji …
Excerpt
20 > / tuos T G) > PC) + + EOS) < P(x) ir SE), X- XS + Ę00) £ Ę (X*). Sudėję nelygybos, gausime K0)-- (X), 115 Da t.y. (6.2). Atvirkštiniem teiginiui įrodyti pusirinkine Re T . ir pastebėkime, ad 1 E(X)- P(x?) -Į KE GTA), X-x05 dz. Tada ; A EX)- EC)- Ką …
Excerpt
21 Pastaroji nelygybė išplaukia 15 prielaidos, kad patenkinta (6.2) sąlyga. Vadinasi, bet kuriems X,X?7e (T E) > EX) + < LLA L XD. Pagal 6.1 teuremą ( yra iškiloji aibėje ži š 6.3 tso7ema. Tarkime, kad 4 yxa d: ':art tolydžiai aiferenoij :ojema funkcija …
Excerpt
sė tacal (6.3) 0 „nes Xh 4 (1-4) X" E I, Vadinasi, ECX) > EP) + < 09), X-X2S. Pagal 6.1 teoremą funkcija (2 yra iškiloji aibėje (V, Pavyzdžiai. 1, Ištirti, kokioms parametrų L, 4 ir c reikšmėme DaoiA S EX) = AŽ4 …
Excerpt
jos ( subgradientu taške ae T, jeim G (C2)> PK) Ka) kai Le T, (ra) Jeigu funkcija ę diferencijuojama aibėje X) : tai, įrašę (p(07)4 (7-2) vietoį A(X) , usime L iškiluso sąlygą (6.1). Iš to sugretinimo ir išplaukia geometrinė subgradiento interpretacija: …
Excerpt
24 atviroje iškilojoje aibėje Ss Ei „ Punkcijos gubdiferencialas Ge) yra netuščias kiekvien 26 taš- ke JE(C tada ir tik tada, kai. (P yra iškil-ji aiė- je E . ; “ 1.2 teorema. Tarkime, kad (O yra iškiloji funkcija, apibrėžta at iroje iškilojojs aibėje 1 …
Excerpt
25 (8.1) uždavinio sprsndinys tada ir tik tada, kai kuriam “ nors ac? 06(A?) teisinga sąlyga Ka(X?),X-X95 > 0 visiems LE es £8.2) Įrodymas. Tarkime, kad ae UC yra 8.1 uždavinio sprendinys, t.y. (ECA?) < (PA)visiens CE M Bani aL— E inkim asi » Pa, - - r e …
Excerpt
26 Atvirkštinį teiginį gauname pasinaudoję (6.1) „ecrema ir (8.3) sąlyga. 8.1 apibrėžimau. Vektorius 4+e2, „4310 vadiną- mas leistina kryptimi taško XVe/ 1 0 bei kuriai leistinai taške xe krypčiai J . Pateiksime dr vorą iškilųjų funkcijų ekstreminių są- …
Excerpt
20 Vadinasi, yra taškas, x € E „ tenkinantis sąlygą ELX) 0). asa: Žiskine Testoijoa (P reikšmę taškuose L(x)= X ra «V 0.€ 70;1]. Pasinaudoję (P iškilum gausime (LE) KK €0V)+(0-4) EC?) < < KE(A) + (U-4) EC?) = (29). Geutoji nelygybė prieštarauja …
Excerpt
II. IŠKILOJO IR TIESINIO PROGRAMAVILIO PAGRINDAI 1. Matematinio programavimo uždaviniai ir jų klasitikacija Punkcijos (2 minimumo radimo aibėje Cc Bušas“ viny : mėn ĮęG): ce) vadinamas matematinio pro- gramavimo uždaviniu, jeigu jo leistinoji aibė X yra …
Excerpt
29 losios, 0 hi a £ - tiesinės aibėje /| . Jįs vadinamas „up jeigu nėra apribojimų bi (0)20, = bo E „ Aišku, kad bet kurį iškilojo nrograma- vimo uždavinį galima traktuoti kaip ekvivalentų jam standar- tinį uždavinį. Dar pastebėsime, kad aibė X“ yra …
Excerpt
30 iškiloji aibė, o apribojimų funkcijos 9,, Zet, k tiesinės, vadinamas kvažratinio programavimo užAavinių. Jį galina užrašyti šitaip: rasti men (L Cx 15 + 6 „Ūm4-- k / a KS d a; = is At, a ui Žas +€ (1.6) 22 Kuno ir Žakerio teorema Aptarsime Lagranžo …
Excerpt
31 Svarbiausioji iškilojo programavimo Kuno ir Takerio teorema išreiškia ryšį tarp (:.1) uždavinio išsprendžia- amo ir jo Lagranžo fvnkcijos (2.3) balno taškų egzista- vimo. Kai aibė e reguliari, abi šios proble 08 yra ekvi- valenčios. 2.„ teoremą. Jeigu …
Excerpt
kai AV yra '2.1) uždavinio sprendinys. Įrodymųs. Tiesioginis teizinys išplaukia iš 7.1 teo- remos, Todėl įrodysime tik atvirkštinį. i Tarę, kd X?e OC yra (:.1) uždavinio aprendi- nys, Budarykime erdvės 12 aibes P- ((p): ps 40), p Ža) |, xef, S = U. Se). …
Excerpt
t.y. S , 2 iškiloji aibė, Akivaisėu, kad nt P= (5): R ECX)Y EOS) 5 k: 64) Vadinasi, WtP ir “ (X) neturi bendrų taškų. b) Nagrinėdani (SE WP 1 L So), ve RA pastebėsiae, kai S;(X) 2 J;(X)> O kuriam nors: C=> 4f-+-) M ip BL O“ „ Vadinasi, aibės mt P ir „Up …
Excerpt
34 Pagal Slciterio sąlygą, J (X)Y 0 „Pak y050 ir fGoO, Todėl / > A OAj0 | “uo aa EE Sao, jp 2“ …
Excerpt
35 5) 4, A > -0, 6) a O: (lia A (25,40) yra GO, gradi/nta+ X at- 93 15) žvilgiu, 0 LG 5) - p stšvilgiu). Įrodyngs. Būtinumas. Tarkime, kad pora GLS 38) yra < G) balno taškas. Pagal apibrėžimą Lietų) < LC 39) a Lluyė), X50,4520. (2.9) Pažšymėkime se 62] …
Excerpt
36 gaunama Iš čia ir (2.10) gauname, kad pora (ki) yra 4 balno tašia: srityje XD 0, 12 0 ix ta pačia iFkilumo sąlyga bei 4) - 6) teoremos ząlygomis, Pasvabą. Kuno ir Takerio vektorinių sąlygų sistema ekvivriienti šiai skaliarinių sąlygų sistemai: As 9) …
Excerpt
37 = S 2 -6, 20 a) = S ai 6y —Šų 3 0, (2) „Aa lei“ Jų Sy )= 0, (3) Be = 4 A = (4) Mr, (5) LT (6) (7) Še = 3, (5-35,-63,)=0, (8) ša Gi 25 (4-63,-335,)=0, (9) 4130, EA 50. a (10) Iš aibės t“ grafiko (žr. 2.1 pav.) matome, kad 2 galimi trys atvejai: 3) X,=0, …
Excerpt
J6 X. + E 34 e Sų, =0 eiti E sy, - LA = 0, Nesunku pastebėti, kad = Ya = ženta (11) Kadangi 1,20 ir 450 + tai iš (8) ir (9) lygčių gauname lygčių sistomą 12 3X,-6X,=0, 4 - 64-34 =0, Ji turi vienintelį sprendinį X, = 3 „= ž . Įsta- te į (2), gauname y == 5 …
Excerpt
39 (2.11) Lagranžo funkcijos Pin) balno taškas srityje XxX> 0, 420 tada ir tik tada, kai VE yra (2.11) uždavinio sprendinys. Teoremos neįrodinėsime (žr.pvz-[3], $ 3.6). Paste- bėsime tik tai, kad šiuo atveju Kuno ir Takerlo teorema teisinga ta Sleiterio …
Excerpt
40 > xurio leistincji aibė £ tenkina Sleiterio sąlygą. Jo La- granžo funkcija Ly) = GO) < JG05 xe (1g20. Apibrėžkime vi funkcijas: tiesios-nę Gta) = 0 ola), 1e V (3.2) ir dualiąją - A Šay= ŠIO. 303) Uždav liį Mmah [ Ito) :XE I-) vadinsime tiesioginiu …
Excerpt
EC9) = Šio) = L 05 0). (3.7) . Iš (3.2) ir (3.3) gauname Ši) < Lig) < T vel 330, 0.8) o pasinaudojų (3.4)- sąlygą ŠCy) sala y) ex) Xe T,g20. (0.9) Sugretinę (3.7) ir (3.9), gauname Sy) e (E CX)= Ay), Y30. Taigi FS yra dualiojo uždavinio sprendinys. Lengva …
Excerpt
42 vis ms XE e „ Vadinasi, X“? yra (3.1) užarvinio sprendinys. 2 Analogiškai gauname sąlygą Š(y) £ LX?) = cy?) visiems 46 Ap ir ŠC49)= 13 OC). 3.3 teoroma. Je“ mu Xe. ir 267 yra ati- tinkamai (3.1) ir (3.5) uždavinių sprendiniai, tai 41 £C)5 =0 (3.11) …