Excerpt
128 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 2. Dynkino formulė yra teisinga ne tik su fiksuotais laiko momentais 7, bet ir stabdymo momentais T (kurie apskritai yra atsitiktiniai). Priminsime, kad plati tokių momentų klasė yra pirmojo patekimo …
Excerpt
9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 129 Įrodymas. Remiantis Dynkino formule, egzistuoja d ae) ON) — I AAVi (GA) 11-80 5 ; T T „Af (x) 02-16 R Kita vertus, du(t X) pp Tas (a) > TS (0) orus S = Li 2 2 AO) Au(r, x). A 9.10. Pastabos. 1. …
Excerpt
130 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai arba trumpai — | PE Arlis | ro)dy=0; 01 IR čia apatinį indeksą x prie operatoriaus A užrašėme norėdami pabrėžti, kad jis taikomas kintamojo x atžvilgiu. Kadangi lygybė yra teisinga visoms funkcijoms …
Excerpt
9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 131 yra lygties dalinėmis išvestinėmis 2s — Av 1 gV 01 sprendinys, tenkinantis pradinę sąlygą v(0, x) = f(x). Įrodymas. Pirma įsitikinsime, kad funkcija v yra diferencijuojama / atžvilgiu. Pažymė- kime: …
Excerpt
132 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai ao Aris 52) i —- Y= 2 Bless I J) i (X) ž Remiantis vidurkių iteracijos taisykle, 1 Eu(t, X*) = Blog | Įatsinas sti) 0 -E(eo| f g(X: dalia i) r ž plz es |- įsta!) Ev(: < ult, AŽ ji BAU AO 7 Ia “L (Zi …
Excerpt
9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 133 kalba. Panašiai ta kalba galima užrašyti lygybę 07; f/01 = T,Af. Pažymėkime A* tiesinį operatorių, formaliai jungtinį difuzinio proceso (X*) generatoriui A, apibrėžiamą lygybe > i / ili , " A f(x) = …
Excerpt
134 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 9.14. Teiginys (tiesioginė Kolmogorovo lygtis perėjimo tankiui). Tarkime, kad difuzinio pro- ceso |X*) koeficientai b.oc € CŽ(IR), o jo perėjimo tankis p = p(t.x,y), t > O, x.y € IR, yra tolydus …
Excerpt
9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 135 Čia A(r) ir A*(r) — operatorių A ir A* analogai, priklausantys nuo laiko parametro / (apatinis indeksas x arba y rodo, kurio argumento atžvilgiu jis taikomas): AD) —5( O) (ee)IES so oo S R A*(1) f …
Excerpt
136 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai Šią lygybę galima interpretuoti taip: jei difuzinio proceso X pradinė reikšmė X; yra atsitiktinis dydis Xg su tankiu pg, tai difuzinio proceso reikšmės X, turi :4 patį skirs- tinį su tankiu pg visais …
Excerpt
9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 137 Matome, kad išėjęs iš bet kokio taško intervale (—7/2, 7/2) šios lygties sprendinys lieka tame intervale visą laiką. Tokioje situacijoje prasminga kalbėti apie stacionarųjį tankį intervale (a, b). …
Excerpt
138 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai x € (a,b). Padauginę abi lygybės puses iš po(x) ir suintegravę pagal x < (a,b), gauname arba = b 3 AE Pol») f (x) dy = | par) dy. a a Kairioji lygybės pusė lygi nuliui, o dešinioji — integralui L …
Excerpt
9.20. 9. SDL sprendiniai kaip difuziniai Markovo procesai 139 su atsiskiriančiais kintamaisiais. Jos bendrasis sprendinys yra 2 | Ža au) v € (a,b); g(y) = N exp > čia c — bet koks fiksuotas intervalo (a, b) taškas. Iš čia ir gauname stacionariojo tankio …
Excerpt
140 10. Pavyzdžiai The most painful thing about mathematics is how far away you are from being able to use it after you have Iearned it. Skausmingiausia matematikoje yra tai, kad, ją išmokę, jūs esate dar labai toli nuo galimybės ją pritaikyti. James R. …
Excerpt
10. Pavyzdžiai 141 vaizdžiau matyti sprendinių elgsenos priklausomybė nuo parametrų (dažniausiai — nuo triukšmo intensyvumo), nes „atsitiktinumo“ įtaka visoms lygtims, priklausančioms nuo parametro, yra identiška. Todėl tų pačių lygčių su skirtingais …
Excerpt
142 10. Pavyzdžiai lėtai artėti prie —o0, kai x — +00. Tai galima interpretuoti taip: tam, kad proceso X* tikimybinė elgsena laikui bėgant stabilizuotųsi, reikia, kad jam „per daug nutolus“ nuo koordinačių pradžios jis būtų pakankamai stipriai stumiamas …
Excerpt
10. Pavyzdžiai 10.1 pav. Funkcija f(x) 4x3 — x? 1 5x drjos potencialas U. Grįžkime dabar prie stacionariojo tankio. Proceso su adityviuoju triukšmu stacio- narųjį tankį galime užrašyti Po(x) = Nexp | — SU). Matome, kad stacionariojo tankio maksimumo …
Excerpt
144 10.3. 10. Pavyzdžiai X, 0 Dy B 2 Ė (5 04 0.6 0.8 ! 10.2 pav. Lygties dX, = f(X,)dr + 0 dB, sprendiniai, kai 0 = Oir o = 0,8. elgseną esant įvairiems c matome 10.4 paveiksle. Pastebime, kad didinant c persi- ritimai per potencialo kalniuką tampa …
Excerpt
10. Pavyzdžiai 145 1 | oEĖS 10.3 pav. Stacionariojo tankio priklausomybė nuo o. Po intervale (a, b). Įsitikinome, kad jis turi pavidalą Polx) = Ž- eXp | / 2 du), x € (a, b). Norėdami panagrinėti, kaip kinta stacionarusis tankis, proporcingai keičiant …
Excerpt
146 10. Pavyzdžiai lik I Ly EU bai 10.4 pav. Lygties dX, = f(X,)dr +0 dB,, Xo = O, sprendiniai su c = 0,8; 1; 1,2. Kaip jau minėjome, difuzinio proceso stacionariojo tankio ekstremumai ir jų padėtis yra svarbios proceso elgsenos charakteristikos. …
Excerpt
— 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 47 f, 70 Jh(t) dt. Taigi, jei f € Cla, b|. o g turi tolydžią išvestinę, tai Styltjeso integralas iš Dao ) egzistuoja ir jame diferencialą dg(7) galima pakeisti formalia jo išraiš- ka g'(r 2 Tačiau tai …
Excerpt
48 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu = BAŽSBAFEKA SDR A …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 49 3.4. Apibrėžimas. Suderintasis atsitiktinis procesas X = (X,, / € [0, T|) vadinamas dip- tiniu procesu, jei egzistuoja intervalo [0, T] skaidinys 0 = t) < h < > > > < /; = T, su kuriuo X, — X. kai E …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 4. E(f; X: dB; f; Y. dB) = E Jj Xi Yrdt. 5. B(/z'X.dB J < 30B(J, 22052 Įrodymas. 1. Visų pirma pastebėsime, kad nemažindami bendrumo laiptinius procesus X ir Y galime laikyti turinčiais tuos pačius …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 51 kaip šio proceso stochastinį integralą i ZX, 1. rj(1) dB, = Aki ZX, dB,. Taigi T T z [a dB, — lo aiBA ir lieka pritaikyti šiam integralui 2-ąją savybę. 3. Turime T 9 5 E |as) =B| YA,AB,) = B Ya, AB DX …
Excerpt
52 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Iš u -———— (X, + Y,)2 eimi 0 į! dt = B [kuna 0 (M) 5. Paprastai ši nelygybė įrodoma pasitelkus martingalų teoriją. Tačiau įmanomas ir tiesioginis įrodymas, panašus į 3 savybės įrodymą. Pastarajame …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 58 Pasinaudoję lygybėmis EAB; = E(AB;)3 = 0, E(AB,)2 = Ar, E(AB;)1 = 3A12, gauname 7 4 Ei ip) = B E(X;X,XPAB;AB;)At +3 B EAT (+) 0 Il 1 Pertvarkykime pirmąją sumą papildydami ją iki sumos pagal visus i, …
Excerpt
54 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Įstatę gautąją lygybę į (*), gauname Iš 4 7 aki "Iš 2 P [an “I a) [kto —aB| Jažar) 0 0 0 0 Iš DA < op ( Įavan) [ste 0 0 Pritaikykime šiam reiškiniui Koši nelygybę: i T 4 T iš 2 E …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 33 ir I 1 Re GL B | xš dr = ||X||? < +00. 0 0 Todėl, remdamiesi Lebego teorema apie mažoruotą konvergavimą (0.11 skyrelis), gau- name * |YN- x| = JB a 0 e 0 2 žingsnis. Dabar pažymėkime Y bet kurį iš …
Excerpt
56 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Remiantis integruojamojo kvadrato funkcijų vidurkinio tolydumo savybe? T |c:- „EVE dt = 0) kai s Į O. 0 Dėl (Y, -; — Y,)2 aprėžtumo ( < 4N?) gauname, kad ir i (H- „— Y)Ždr — O, kai s Į 0. Todėl su bet …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 57 Tada |x-X"| < |X-Y"| + |Y" - Z|+||Z* - X*|| < — 0 n—- A, ir teiginys įrodytas. A c 2 2 oo sk 3.7. Apibrėžimas. Sakykime, X < H?|0, T) ir S;[0, T] > X" X. Atsitiktinio proceso X stochastiniu integralu …